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平面向量在历届高考题中很少单独出现，这部分试题难度不大，但从近年高考来看平面向量与其他章节的综合题已经大量出现，且有一定难度. 因此，在复习中一方面要重视教材的基础作用，加强基本知识的学习，做到概念清楚、运算准确. 对定比分点、图形的平移等掌握公式及寻求解题规律；另一方面，也要注意综合能力的训练. 由于平面向量融数、形于一体，具有代数形式和几何形式的双重身份，因而成为联系数与形的重要纽带，容易与函数、三角函数、解析几何、数列、不等式等许多重要内容交汇综合，因此在复习时要特别注意向量与三角函数、解析几何等相关联问题的解决方法，使向量真正成为解数学题的一件利器.
一、向量的基本概念与运算问题
例1 已知向量[a=(1,2)]，[b=(-2,-4)]，[|c|=5]，若[(a+b)⋅c=52]，則[a]与[c]的夹角为（ ）
A. 30° B. 60°
C. 120° D. 150°
答案 B.
点拨 有关纯向量的基本概念与运算问题经常出现在选择题与填空题中，主要考查向量的坐标运算、数量积运算、模的运算及几何意义，两向量共线、垂直的充要条件等基本知识.
例2 在[△ABC]中，[O]为中线[AM]上的一个动点，若[AM=2]，则[OA⋅(OB+OC)]的最小值是 .
分析 构造函数是求最值的常用方法，关键是引入合适的变量[x].
解 如图，设[|OA|=x]，则[|OM|=2-x](0≤[x]≤2).
由M为BC的中点，知[OB+OC=2OM]，而
[OA⋅(OB+OC)][=OA⋅2OM=2x(2-x)cos180°]
[=2x2-4x=2(x-1)2-2(0≤x≤2)].
所以当[x=1]时，取最小值–2.
点拨 （1）与平面向量有关的最值问题常常有两种解法，一是利用平面几何性质求解，二是构造函数求解；(2)解平面向量与平面几何综合题要注意：一要利用向量共线、垂直的充要条件及平面向量基本定理求解，二要注意分清三角形内心、重心、外心、垂心、中线、高、角平分线等有关概念,掌握它们的几何性质.
二、与平面向量有关的函数问题
例3 已知向量[m→=(a-sinθ,-12)]，[n→=(12,cosθ)].
（1）当[a=22]，且[m→⊥n→]时，求[sin2θ]的值；
（2）当[a=0]，且[m→]∥[n→]时，求[tanθ]的值.
分析 将向量平行与垂直的充要条件的坐标形式代入，再三角变形.
解 （1）当[a=22]时，[m→=(22-sinθ,-12)]，
[∵][m→⊥n→]， [∴][m→⋅n→=0]，
得[sinθ+cosθ=22]，
两边平方得[1+sin2θ=12]，因此[sin2θ=-12].
（2）当[a=0]时，[m→=(-sinθ,-1)]，
由[m→]∥[n→]，得[sinθcosθ=14,]即[sin2θ=12].
[∵sin2θ=2sinθcosθsin2θ+cos2θ=2tanθ1+tan2θ]，
[∴][tanθ=2+3]或 [2-3].
点拨 （1）理解平面向量的平行和垂直关系，并合理转化为三角函数变形求值问题.
（2）向量与函数的综合题也是通过坐标来结合的，我们可以把问题先通过向量的坐标运算转化为代数关系式，再利用函数的单调性、值域，导数等知识实现由已知向未知的过度，进而运用相关知识来求解.
三、平面向量与解析几何的综合问题
例4 已知[F1]、[F]椭圆[x26+y22=1]的两个焦点，过点[F]的直线[BC]交椭圆于[B、C]两点，
（1）[OM=12(OC+OB)]，求点[M]的轨迹方程；
（2）若相应于焦点[F]的准线[l]与[x]轴相交于点[A]，[|OF|=2|FA|]，过点[A]的直线与椭圆相交于[P、Q]两点. 设[AP=λAQ]（[λ>1]），过点[P]且平行于准线[l]的直线与椭圆相交于另一点[M]，证明:[FM=-λFQ].
分析 第一问利用向量相等的充要条件得到坐标的两个方程，消参可得，也可以用设而不求的方法直接得出；第二问方法类似.
解 （1）[(x-1)2+3y2=1].
（2）证明：[AP=(x1-3, y1), AQ=(x2-3, y2)]. 由已知得方程组[x1-3=λ(x2-3),y1=λy2,x216+y212=1,x226+y222=1.]
注意[λ>1]，解得[x2=5λ-12λ].
因为[F(2, 0), M(x1, -y1)]，
故[FM=(x1-2, -y1)=(λ(x2-3)+1, -y1)]
[=(1-λ2, -y1)=-λ(λ-12λ, y2)].
而[FQ][=(x2-2, y2)=(λ-12λ, y2)]，
所以[FM=-λFQ].
点拨 （1）注意挖掘向量语言中蕴含的几何条件；（2）利用坐标运算将几何转化为代数问题，再用代数方法解决.
四、平面向量在不等式证明中的应用
例5 已知[0 分析 根据左右两边的结构，构造合适的向量使向量不等式[m⋅n≤mn]出现.
证明 设[m=ax,b1-x]，[n=(x,1-x)]，
则[m=a2x+b21-x]， [n=1]，
[m⋅n=a+b.]
由[m⋅n≤mn]，得
[a2x+b21-x≥a+b]，即[a2x+b21-x≥(a+b)2.]
点拨 柯西不等式是选修4-5的内容，而它的向量形式更便于理解和应用.
五、向量在物理中的应用
例6 一条河流的两岸平行，河的宽度[d=]500m，一艘船从[A]处出发到河对岸. 已知船的速度[|v1|=]10km/h，水流的速度[|v2|=]2km/h. 问：（1）行驶航程最短时，所用的时间是多少？（2）行驶时间最短时，所用的时间是多少？
分析 速度是向量，速度的分解满足平行四边形法则. （1）行驶航程最短时，即保证船只在垂直对面的方向上行驶，此时合速度的方向和河岸垂直. （2）行驶时间最短时，即保证其中船的分速度朝向对岸，此时，船只停靠位置在对岸的下游，如图所示.
解 （1）根据题意[v1→+v2→=v→, v2→⊥v→]，
则[|v→|=(v1→)2-(v2→)2=102-22=46.]
则有[t=sv→=50046=12566s.]
（2）[t=sv1→=0.510=0.05h=3分钟.]
点拨 在物理学中，作用力、位移、速度、加速度等物理量都是向量，它们的合成与分解都可用平行四边形法则和三角形法则.
例7 已知力[F]与水平方向的夹角为[30°]（斜向上），[F]的大小为[50N]，[F]拉着一个重[80N]的木块在摩擦因数[μ=0.02]的水平面上运动了[20mm]，问[F]、摩擦力[f]所做的功分别为多少？
分析 “功”是作用力与位移的数量积.
解 设木块的位移为[s]，
则[F⋅s=F•scos30°=50×20×32=5003J,]
[F在竖直方向上的分力的大小为]
[Fsin30°=50×12=25(N),]
[f=(80-25)×0.02=1.1(N)，]
[所以f⋅s=f•scos180°=1.1×20×(-1)=-22(J)]
[即F,f所做的功分别是5003J、-22J]
点拨 用向量方法解决物理问题的步骤：一是把物理问题中的相关量用向量表示；二是转化为向量问题的模型，通过向量运算解决问题；三是将结果还原成物理问题.
六、以平面向量为载体的数列问题
例8 设[{an}]为首项是–10，公差是2的等差数列，[{bn}]为首项是[-12]，公差是[12]的等差数列，O是原点，向量[OA=(-1,1),OB=(1,1)]，点列{Pn}满足[OPn=an⋅OA+bn⋅OB]([n∈]N*).
（1）证明：[P1，P2，…，Pn]共线；
（2）若点[Pk(k∈N*)]表示点列[{Pn}]中处于第一象限的点，求[k]的值.
分析 第一问用向量平行的充要条件即可；第二问用向量的坐标形式求解.
解 （1）[an=-10+(n-1)×2=2n-12,]
[bn=-12+(n-1)×12=12n-1]，
所以[OP1=a1⋅OA+b1⋅OB]
[=-10(-1, 1)+(-12)(1,1)=(192,-212)]，
[OPn=(2n-12)(-1,1)+(12n-1)(1,1)]
[=(-3n2+11,52n-13).]
所以[P1Pn=OPn-OP1=(-32n+32,5n2-52)]
[=n-12(-3,5)=λ][c]，
[λ=n-12,][c=(-3,5)]，故[P1，P2，…，Pn]共线.
（2）因为[Pk=(-32k+11,52k-13)]在第一象限，所以[11-32k>0,52k-13>0⇒515 所以[k=6,7.]
点拨 向量与数列综合要注意与纯数列问题的区别与联系，此类问题可转化为纯数列或纯向量问题讨论，而向量求和须应用向量的坐标运算转化为纵、横坐标构建的数列求和问题.
充分认识平面向量具有几何形式和代数形式的双重身份，重视向量的工具作用. 利用向量解题的基本思路有两种，一是几何法：利用向量的加减法的法则，抓住几何特征解题；二是坐标法：建立适当的坐标系，利用向量的坐标运算解题. 涉及到的向量知识有：（1）向量的坐标表示及加减法，数乘向量；（2）向量的数量积；（3）向量平行，垂直的充要条件；（4）向量的模与夹角；（5）三角形的四心与向量有关的结论. 如果题设中没有向量，则需要有向量的应用意识，强化知识的联系，善于构造向量解决问题.
【专题训练五】
1. 已知[△ABC]的三个顶点[A、B、C]及所在平面内一点[P]满足[PA+PB+PC=AB]，则点[P]与[△ABC]的关系为( )
A. [P]在[△ABC]内部
B. [P]在[△ABC]外部
C. [P]在[AB]边所在直线上
D. [P]在[△ABC]的[AC]边的一个三等分点上
2. 已知向量[OP=(1,1),OP1=(4,-4)]，且[P2]点分有向线段[PP1] 所成的比为－2，则[OP2]的坐标是( )
A. ([-52,32)] B. ([52,-32])
C. （7，－9） D. （9，－7）
3. 设平面上有四个互异的点[A、B、C、D，]已知（[DB+DC-2DA)⋅(AB-AC)=0,]则[△ABC]的形状是( )
A. 直角三角形 B. 等腰三角形
C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形
4. 已知[P]是以[F1、F2]为焦点的椭圆[x2a2+y2b2=1]（[a>b>0]）上一点，若[PF1⋅PF2=0]，[tan∠PF1F2=12]，则椭圆的离心率为（ ）
A. [12] B. [23]
C. [13] D. [53]
5. 已知向量[OB=]（2，0），[OC=]（2，2），[CA]=（[2]cosα，[2]sinα），则向量[OA]与[OB]的夹角范围为（ ）
A.[0,π4] B.[π4,5π12] C.[5π12,π2] D.[π12,5π12]
6. 把一个函数图象按向量[a=(π3,-2)]平移后，得到的图象的表达式为[y=sin(x+π6)-2]，则原函数的解析式为 .
7. 已知[M＝(1+cos2x，1)]，[N＝(1，3sin2x+a)][(x，a∈R，a]是常数)，且[y=OM]•[ON] ([O]是坐标原点)（1）求[y]关于[x]的函数关系式[y=f(x)]；
（2）若[x∈[0，π2]]，[f(x)]的最大值为4，求[a]的值，并说明此时[f(x)]的图象可由[y=2sin(x+π6])的图象经过怎样的变换而得到？
8. 已知二次函数[f(x)]对任意[x∈R]，都有[f (1-x)][=f (1+x)]成立，设向量[a=(sinx,2)], [b=(2sinx,12]),[c=(cos2x,1),d=(1,2). ]
（1）分别求[a⋅b]和[c⋅d]的取值范围；
（2）当[x∈[0,π]]时，求不等式[f(a⋅b)>f(c⋅d)]的解集.
9. 已知[i、j]分别是[x]轴，[y]轴方向上的单位向量， [OA1=j, OA2=10j, 且 An-1An=3AnAn+1]
[(n=2,3,4,⋯). 在射线 y=x, x≥0上从下到上依次有][Bn,n=1,2,3,⋯,OB1=3i+3j,][且Bn-1Bn][=22(n=][2,3,4⋯).]
（1）求[A4A5]；（2）求[OAn]，[OBn]；（3）求四边形[AnAn+1Bn+1Bn]面积的最大值.
10. 如图，四边形[MNPQ]是[⊙C]的内接梯形，[C]是圆心，[C]在[MN]上，向量[CM]与[PN]的夹角为120°，[QC⋅•QM=2.]
（1）求[⊙C]的方程；
（2）求以[M、N]為焦点且过点[P、Q]的椭圆的方程.
11. 如图，已知椭圆[C:6x2+10y2=15m2(m>0)]，经过椭圆[C]的右焦点[F]且斜率为[k(k≠0)]的直线l交椭圆[C]于[A、B]两点，[M]为线段[AB]的中点，设[O]为椭圆的中心，射线[OM]交椭圆于[N]点.
（1）是否存在[k]，使对任意[m>0]，总有[OA+OB=ON]成立？若存在，求出所有[k]的值；
（2）若[OA⋅•OB=-12(m3+4m)]，求实数[k]的取值范围.
12. 设抛物线[y2=2px(p>0)]的焦点为[F]，准线与[x]轴交点为[Q]，过[Q]点的直线[l]交抛物线于[A、B]两点.
（1）直线[l]的斜率为[22]，求证：[FA⋅FB=0].
（2）设直线[FA、FB]的斜率为[kFA]、[kFB]探究[kFB]与[kFA]之间的关系并说明理由.
【参考答案】
1. D 2. C 3. B 4. D 5. D 6. [y=cosx]
7. （1）[f(x) =1+cos2x+3sin2x+a]
（2）将[y=2sin(x+π6])的图象的每一点的横坐标缩短到原来的一半，纵坐标保持不变，再向上平移2个单位长度可得[f(x)=2sin(2x+π6])+2的图象
8. （1）[a⋅b=2sin2x+1≥1,]
[c⋅d=2cos2x+1≥1 ] （2）[[0,π4)⋃(3π4,π]]
9. （1）[A4A5=13j] （2）[OAn=29-(13)n-42j][OBn][=(2n+1)i][+(2n+1)j] （3）[472]
10. （1）[x2+y2=4] （2）[x24+23+y223=1]
11. （1）存在 （2）[-77≤k≤77且k≠0.]
12. （1）略 （2）[kFA=-kFB或kFA+kFB=0]
一、向量的基本概念与运算问题
例1 已知向量[a=(1,2)]，[b=(-2,-4)]，[|c|=5]，若[(a+b)⋅c=52]，則[a]与[c]的夹角为（ ）
A. 30° B. 60°
C. 120° D. 150°
答案 B.
点拨 有关纯向量的基本概念与运算问题经常出现在选择题与填空题中，主要考查向量的坐标运算、数量积运算、模的运算及几何意义，两向量共线、垂直的充要条件等基本知识.
例2 在[△ABC]中，[O]为中线[AM]上的一个动点，若[AM=2]，则[OA⋅(OB+OC)]的最小值是 .
分析 构造函数是求最值的常用方法，关键是引入合适的变量[x].
解 如图，设[|OA|=x]，则[|OM|=2-x](0≤[x]≤2).
由M为BC的中点，知[OB+OC=2OM]，而
[OA⋅(OB+OC)][=OA⋅2OM=2x(2-x)cos180°]
[=2x2-4x=2(x-1)2-2(0≤x≤2)].
所以当[x=1]时，取最小值–2.
点拨 （1）与平面向量有关的最值问题常常有两种解法，一是利用平面几何性质求解，二是构造函数求解；(2)解平面向量与平面几何综合题要注意：一要利用向量共线、垂直的充要条件及平面向量基本定理求解，二要注意分清三角形内心、重心、外心、垂心、中线、高、角平分线等有关概念,掌握它们的几何性质.
二、与平面向量有关的函数问题
例3 已知向量[m→=(a-sinθ,-12)]，[n→=(12,cosθ)].
（1）当[a=22]，且[m→⊥n→]时，求[sin2θ]的值；
（2）当[a=0]，且[m→]∥[n→]时，求[tanθ]的值.
分析 将向量平行与垂直的充要条件的坐标形式代入，再三角变形.
解 （1）当[a=22]时，[m→=(22-sinθ,-12)]，
[∵][m→⊥n→]， [∴][m→⋅n→=0]，
得[sinθ+cosθ=22]，
两边平方得[1+sin2θ=12]，因此[sin2θ=-12].
（2）当[a=0]时，[m→=(-sinθ,-1)]，
由[m→]∥[n→]，得[sinθcosθ=14,]即[sin2θ=12].
[∵sin2θ=2sinθcosθsin2θ+cos2θ=2tanθ1+tan2θ]，
[∴][tanθ=2+3]或 [2-3].
点拨 （1）理解平面向量的平行和垂直关系，并合理转化为三角函数变形求值问题.
（2）向量与函数的综合题也是通过坐标来结合的，我们可以把问题先通过向量的坐标运算转化为代数关系式，再利用函数的单调性、值域，导数等知识实现由已知向未知的过度，进而运用相关知识来求解.
三、平面向量与解析几何的综合问题
例4 已知[F1]、[F]椭圆[x26+y22=1]的两个焦点，过点[F]的直线[BC]交椭圆于[B、C]两点，
（1）[OM=12(OC+OB)]，求点[M]的轨迹方程；
（2）若相应于焦点[F]的准线[l]与[x]轴相交于点[A]，[|OF|=2|FA|]，过点[A]的直线与椭圆相交于[P、Q]两点. 设[AP=λAQ]（[λ>1]），过点[P]且平行于准线[l]的直线与椭圆相交于另一点[M]，证明:[FM=-λFQ].
分析 第一问利用向量相等的充要条件得到坐标的两个方程，消参可得，也可以用设而不求的方法直接得出；第二问方法类似.
解 （1）[(x-1)2+3y2=1].
（2）证明：[AP=(x1-3, y1), AQ=(x2-3, y2)]. 由已知得方程组[x1-3=λ(x2-3),y1=λy2,x216+y212=1,x226+y222=1.]
注意[λ>1]，解得[x2=5λ-12λ].
因为[F(2, 0), M(x1, -y1)]，
故[FM=(x1-2, -y1)=(λ(x2-3)+1, -y1)]
[=(1-λ2, -y1)=-λ(λ-12λ, y2)].
而[FQ][=(x2-2, y2)=(λ-12λ, y2)]，
所以[FM=-λFQ].
点拨 （1）注意挖掘向量语言中蕴含的几何条件；（2）利用坐标运算将几何转化为代数问题，再用代数方法解决.
四、平面向量在不等式证明中的应用
例5 已知[0
证明 设[m=ax,b1-x]，[n=(x,1-x)]，
则[m=a2x+b21-x]， [n=1]，
[m⋅n=a+b.]
由[m⋅n≤mn]，得
[a2x+b21-x≥a+b]，即[a2x+b21-x≥(a+b)2.]
点拨 柯西不等式是选修4-5的内容，而它的向量形式更便于理解和应用.
五、向量在物理中的应用
例6 一条河流的两岸平行，河的宽度[d=]500m，一艘船从[A]处出发到河对岸. 已知船的速度[|v1|=]10km/h，水流的速度[|v2|=]2km/h. 问：（1）行驶航程最短时，所用的时间是多少？（2）行驶时间最短时，所用的时间是多少？
分析 速度是向量，速度的分解满足平行四边形法则. （1）行驶航程最短时，即保证船只在垂直对面的方向上行驶，此时合速度的方向和河岸垂直. （2）行驶时间最短时，即保证其中船的分速度朝向对岸，此时，船只停靠位置在对岸的下游，如图所示.
解 （1）根据题意[v1→+v2→=v→, v2→⊥v→]，
则[|v→|=(v1→)2-(v2→)2=102-22=46.]
则有[t=sv→=50046=12566s.]
（2）[t=sv1→=0.510=0.05h=3分钟.]
点拨 在物理学中，作用力、位移、速度、加速度等物理量都是向量，它们的合成与分解都可用平行四边形法则和三角形法则.
例7 已知力[F]与水平方向的夹角为[30°]（斜向上），[F]的大小为[50N]，[F]拉着一个重[80N]的木块在摩擦因数[μ=0.02]的水平面上运动了[20mm]，问[F]、摩擦力[f]所做的功分别为多少？
分析 “功”是作用力与位移的数量积.
解 设木块的位移为[s]，
则[F⋅s=F•scos30°=50×20×32=5003J,]
[F在竖直方向上的分力的大小为]
[Fsin30°=50×12=25(N),]
[f=(80-25)×0.02=1.1(N)，]
[所以f⋅s=f•scos180°=1.1×20×(-1)=-22(J)]
[即F,f所做的功分别是5003J、-22J]
点拨 用向量方法解决物理问题的步骤：一是把物理问题中的相关量用向量表示；二是转化为向量问题的模型，通过向量运算解决问题；三是将结果还原成物理问题.
六、以平面向量为载体的数列问题
例8 设[{an}]为首项是–10，公差是2的等差数列，[{bn}]为首项是[-12]，公差是[12]的等差数列，O是原点，向量[OA=(-1,1),OB=(1,1)]，点列{Pn}满足[OPn=an⋅OA+bn⋅OB]([n∈]N*).
（1）证明：[P1，P2，…，Pn]共线；
（2）若点[Pk(k∈N*)]表示点列[{Pn}]中处于第一象限的点，求[k]的值.
分析 第一问用向量平行的充要条件即可；第二问用向量的坐标形式求解.
解 （1）[an=-10+(n-1)×2=2n-12,]
[bn=-12+(n-1)×12=12n-1]，
所以[OP1=a1⋅OA+b1⋅OB]
[=-10(-1, 1)+(-12)(1,1)=(192,-212)]，
[OPn=(2n-12)(-1,1)+(12n-1)(1,1)]
[=(-3n2+11,52n-13).]
所以[P1Pn=OPn-OP1=(-32n+32,5n2-52)]
[=n-12(-3,5)=λ][c]，
[λ=n-12,][c=(-3,5)]，故[P1，P2，…，Pn]共线.
（2）因为[Pk=(-32k+11,52k-13)]在第一象限，所以[11-32k>0,52k-13>0⇒515
点拨 向量与数列综合要注意与纯数列问题的区别与联系，此类问题可转化为纯数列或纯向量问题讨论，而向量求和须应用向量的坐标运算转化为纵、横坐标构建的数列求和问题.
充分认识平面向量具有几何形式和代数形式的双重身份，重视向量的工具作用. 利用向量解题的基本思路有两种，一是几何法：利用向量的加减法的法则，抓住几何特征解题；二是坐标法：建立适当的坐标系，利用向量的坐标运算解题. 涉及到的向量知识有：（1）向量的坐标表示及加减法，数乘向量；（2）向量的数量积；（3）向量平行，垂直的充要条件；（4）向量的模与夹角；（5）三角形的四心与向量有关的结论. 如果题设中没有向量，则需要有向量的应用意识，强化知识的联系，善于构造向量解决问题.
【专题训练五】
1. 已知[△ABC]的三个顶点[A、B、C]及所在平面内一点[P]满足[PA+PB+PC=AB]，则点[P]与[△ABC]的关系为( )
A. [P]在[△ABC]内部
B. [P]在[△ABC]外部
C. [P]在[AB]边所在直线上
D. [P]在[△ABC]的[AC]边的一个三等分点上
2. 已知向量[OP=(1,1),OP1=(4,-4)]，且[P2]点分有向线段[PP1] 所成的比为－2，则[OP2]的坐标是( )
A. ([-52,32)] B. ([52,-32])
C. （7，－9） D. （9，－7）
3. 设平面上有四个互异的点[A、B、C、D，]已知（[DB+DC-2DA)⋅(AB-AC)=0,]则[△ABC]的形状是( )
A. 直角三角形 B. 等腰三角形
C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形
4. 已知[P]是以[F1、F2]为焦点的椭圆[x2a2+y2b2=1]（[a>b>0]）上一点，若[PF1⋅PF2=0]，[tan∠PF1F2=12]，则椭圆的离心率为（ ）
A. [12] B. [23]
C. [13] D. [53]
5. 已知向量[OB=]（2，0），[OC=]（2，2），[CA]=（[2]cosα，[2]sinα），则向量[OA]与[OB]的夹角范围为（ ）
A.[0,π4] B.[π4,5π12] C.[5π12,π2] D.[π12,5π12]
6. 把一个函数图象按向量[a=(π3,-2)]平移后，得到的图象的表达式为[y=sin(x+π6)-2]，则原函数的解析式为 .
7. 已知[M＝(1+cos2x，1)]，[N＝(1，3sin2x+a)][(x，a∈R，a]是常数)，且[y=OM]•[ON] ([O]是坐标原点)（1）求[y]关于[x]的函数关系式[y=f(x)]；
（2）若[x∈[0，π2]]，[f(x)]的最大值为4，求[a]的值，并说明此时[f(x)]的图象可由[y=2sin(x+π6])的图象经过怎样的变换而得到？
8. 已知二次函数[f(x)]对任意[x∈R]，都有[f (1-x)][=f (1+x)]成立，设向量[a=(sinx,2)], [b=(2sinx,12]),[c=(cos2x,1),d=(1,2). ]
（1）分别求[a⋅b]和[c⋅d]的取值范围；
（2）当[x∈[0,π]]时，求不等式[f(a⋅b)>f(c⋅d)]的解集.
9. 已知[i、j]分别是[x]轴，[y]轴方向上的单位向量， [OA1=j, OA2=10j, 且 An-1An=3AnAn+1]
[(n=2,3,4,⋯). 在射线 y=x, x≥0上从下到上依次有][Bn,n=1,2,3,⋯,OB1=3i+3j,][且Bn-1Bn][=22(n=][2,3,4⋯).]
（1）求[A4A5]；（2）求[OAn]，[OBn]；（3）求四边形[AnAn+1Bn+1Bn]面积的最大值.
10. 如图，四边形[MNPQ]是[⊙C]的内接梯形，[C]是圆心，[C]在[MN]上，向量[CM]与[PN]的夹角为120°，[QC⋅•QM=2.]
（1）求[⊙C]的方程；
（2）求以[M、N]為焦点且过点[P、Q]的椭圆的方程.
11. 如图，已知椭圆[C:6x2+10y2=15m2(m>0)]，经过椭圆[C]的右焦点[F]且斜率为[k(k≠0)]的直线l交椭圆[C]于[A、B]两点，[M]为线段[AB]的中点，设[O]为椭圆的中心，射线[OM]交椭圆于[N]点.
（1）是否存在[k]，使对任意[m>0]，总有[OA+OB=ON]成立？若存在，求出所有[k]的值；
（2）若[OA⋅•OB=-12(m3+4m)]，求实数[k]的取值范围.
12. 设抛物线[y2=2px(p>0)]的焦点为[F]，准线与[x]轴交点为[Q]，过[Q]点的直线[l]交抛物线于[A、B]两点.
（1）直线[l]的斜率为[22]，求证：[FA⋅FB=0].
（2）设直线[FA、FB]的斜率为[kFA]、[kFB]探究[kFB]与[kFA]之间的关系并说明理由.
【参考答案】
1. D 2. C 3. B 4. D 5. D 6. [y=cosx]
7. （1）[f(x) =1+cos2x+3sin2x+a]
（2）将[y=2sin(x+π6])的图象的每一点的横坐标缩短到原来的一半，纵坐标保持不变，再向上平移2个单位长度可得[f(x)=2sin(2x+π6])+2的图象
8. （1）[a⋅b=2sin2x+1≥1,]
[c⋅d=2cos2x+1≥1 ] （2）[[0,π4)⋃(3π4,π]]
9. （1）[A4A5=13j] （2）[OAn=29-(13)n-42j][OBn][=(2n+1)i][+(2n+1)j] （3）[472]
10. （1）[x2+y2=4] （2）[x24+23+y223=1]
11. （1）存在 （2）[-77≤k≤77且k≠0.]
12. （1）略 （2）[kFA=-kFB或kFA+kFB=0]