【摘要】根据我们选用的教材和学生的数学基础状况,在教学中如何使用由浅入深的教学方法,使学生很好地理解和掌握三角函数的定义域有关概念,是本文探讨的话题。
　　【关键词】三角函数的定义域 轴线角 主值区间
　　
　　Talk about the field of definitions of trigonometric functions
　　Wang Dianjun
　　【Abstract】According to the teaching material that we have chosen and the basic situation of students’ mathematics, how to apply the method of teaching from the simple to the complex in teaching and make students understand and master the relational concepts of the field of definitions of trigonometric functions is the subject of discussion in the paper.
　　【Keywords】Field of definitions of trigonometric functions Axes angle Range of main value
　　
　　数学教材三角部分中的同角三角函数间的关系一节有着“上面的关系式都是对于使它的两边有意义的那些角而说的,以后遇到的关系式也是这样。”这样一段非常重要的话。学生如果对这段话没有充分的注意和深刻的理解,在以后对待三角函数的恒等变换时就会不注意自变量的允许值的扩大与缩小;在运用三角公式时往往不注意公式的适用范围。应该肯定:三角函数定义域的教学是加强函数概念教学的一个很重要的环节。为了加强三角函数定义域的教学,笔者针对选用的课本和学生的实际情况对教材的内容做了点简单的修改,进行了尝试,现将试教情况介绍如下:
　　1.三角函数定义域教学的准备工作。为了更利于说明三角函数的定义域,从而系统地加强函数概念的教学,首先讲授角的形成与度量,并在这一章中增加了三角函数定义域所需要的准备知识:终边相同角的表示法( 或2kπ+α,k为任意整数)和终边与坐标轴重合的角的表示法( 或
　　 ; 或 ; 或 ; 或 ,k为任意整数)。
　　用图形表示为如图:
　　
　　通过直观的图像,再用代数方法将上列四种角合并成两大类(n为整数):
　　①终边与x轴重合的角表示为n180°(或nπ)。
　　②终边与y轴重合的角表示为n180°+90°(或 )。
　　最后,再将n180°(或nπ)与n180°+90°(或 )合并成k90°(或 )。讲解时可以边讲边列表如下:
　　在进行代数解析式归纳的同时,还须用教具在图上演示以取得直观易懂之效。务使学生明确k和n是一切整数,包括0和负整数在内。讲完终边与坐标轴重合的角后,布置下列问题作为课后作业与练习,对于巩固这部分的知识和顺利学习三角函数的定义域有很大的好处:
　　若始边与横轴正向重合(n是一切整数):
　　①试写出nπ这些角的终边上异于原点0的任意一点p的坐标,并说明其符号。
　　②试写出 这些角的终边上异于原点0的任意一点p的坐标,并说明其符号。
　　2.三角函数的定义域的教学。
　　2.1 在讲三角函数的定义时就应同时给出它们的定义域。在课本中是使用坐标定义三角函数的。依照这种定义,可以直接指出三角函数自变量的所有可取值的集合,确定三角函数的定义域主要应该抓住“当分母等于0时比值无意义”这一关键来启发学生自己得出来。具体做法可以在给出: , , , , , 后,首先指出:因为r=op>0,故函数sinα和cosα在自变量α是任何数值的时候都有确定的值和它对应,所以函数sinα和cosα的定义域是所有实数的集合。然后向学生说明,对于函数tgα、ctgα、secα和cscα相应比的分母可能为零,当分母等于0时这些比值便失去意义,亦即这些三角函数失去了意义。因此,我们只要剔除掉使比值失去意义的那些个角,就可以得到这些三角函数的定义域了。经过这些启发,加之学生在课后练习中已作过求nπ和 这些角的终边上任意一点p的坐标的练习,因此学生不难自己得出结论:
　　①函数tgα及secα的定义域是不等于 的所有实数的集合。
　　②函数ctgα及cscα的定义域是不等于nπ的所有实数的集合。
　　最后可以总结如下:
　　 ,(α可为一切实数), ,(α≠nπ),
　　 ,(α可为一切实数), ,( ),
　　 ,( ), ,(α≠nπ)。
　　在指出三角函数的定义域之前,显然要先树立下列两个概念:
　　①三角函数里的自变量可以用角度表示,也可以用弧度表示。三角函数的自变量也可以看作表示弧与角的大小的数。
　　②代数中的函数定义域的概念,是使函数表达式有意义的自变量所有的值的集合,叫做函数的定义域。
　　在指出三角函数的定义域以后,再介绍一下数轴的表示法和区间符号表示法是有好处的,因为这两种表示法直观明了,这对以后表示函数的定义域是很方便的。例如函数tgα的定义域是从所有实数的集合中去掉 形式的数,那么剩下的是无穷多个开区间…( , ),( , ),( , ),…的集合就是tgα的定义域,如下图所示:
　　 由于刚刚使学生获得三角函数的概念,对三角函数的值域,符号还未集中系统讲授,所以在讲完三角函数定义域后,只要布置类似下列一些简单的练习便可以初步巩固三角函数定义域的概念。
　　(1)当-720°≤α≤720°时,问使下列函数失去意义的角α有哪些:
　　①cosα ②cscα ③tgα
　　④secα ⑤ctgα ⑥sinα
　　(2)求下列各三角函数的定义域:
　　①y=tg2x;②y=tg ;③y=ctg4x;
　　④y=ctg ;⑤y=sec2x;⑥y=csc
　　2.2 不能认为在定义三角函数时给出它们的定义域就算三角函数定义域的教学目的已经达到了,恰恰相反,为加深和巩固对三角函数的定义域的认识,还需要在整个三角函数教学的过程中不断地阐述和练习。下面根据教材的程序谈谈自己在教学中对这个问题的一些认识和做法。
　　2.2.1 通过三角函数图像可以形象地巩固三角函数的定义域。讲完三角函数的图像后,可以向学生说明,角α为任意实数时,sinα和cosα都有对应的确定的正弦曲线和余弦曲线,因此函数sinα和cosα的定义域是所有实数的集合,然后向学生说明,对于函数tgα、ctgα、secα、cscα有时函数图像是不存在的,这样就可以启发学生再一次根据形象的三角函数图像更直观地得到这四个三角函数的定义域。经验证明:通过三角函数图像巩固三角函数的定义域是很有成效的。学生反映:“用想象三角函数图像的方法去找出三角函数的定义域要比通过坐标方法去找快捷得多,而且也容易准确无误”。这种反应说明了三角函数教学中应用数形结合的重要性。
　　2.2.2 在讲完三角函数值域和同角三角函数间的关系以后,由于学生已经掌握住:当α=nπ时,sinα=0,及当 时,cos=0,便可以根据tgα= ,ctgα= ,secα= 及cscα= 说明这些关系式必须当分母不为0时才能成立,从而使学生又一次抓住这四个关系式,通过理解进一步巩固函数tgα、ctgα、secα及cscα的定义域。对于八个关系式中只有sin2α+cos2α=1是绝对恒等式,其它七个关系式都是条件恒等式,这八个关系式在三角函数的学习中起着非常重要的作用。关系式中角所限制的范围应该逐个让学生说清楚。
　　2.2.3 三角函数定义域的概念经过了两次巩固以后,就可以选择一些比较复杂的求函数定义域的习题,让学生练习,以巩固三角函数定义域的概念,并培养学生的分析问题和解决问题的能力。比如:
　　(1)求下列各函数的定义域:
　　① ;② ;
　　③ ;④ ;
　　⑤ ;⑥ ;
　　⑦ ;⑧
　　(2)试说明下列关系式由左式至右式,函数的定义域是扩大了还是缩小了,还是既没扩大又没缩小:
　　①tgα= ;② =ctgα
　　应该启发学生指出,求三角函数定义域时必须注意到分母不为零和偶次方根的被开方数应该大于或等于零。
　　2.2.4 在讲诱导公式时也要提醒学生注意三角函数的定义域。例如tg(180°-α)=-tgα对于α≠k180°+90°的角才成立。
　　2.2.5 和角公式较多,是三角函数恒等变换的基础,应该注意函数的定义域,特别是关于正切函数的变换,必须引导学生逐一地进行分析,不仅要指明公式的适用范围,也要辨明通过变换是扩大了定义域的范围还是缩小了定义域的范围。例如:
　　tg(α+β)= =
　　=
　　最后一步是分子、分母同除以cosαcosβ的结果,所以当cosα或cosβ是零,即α或β等于 ,就不适合这个公式。因此只要α或β中有一个是 时,我们就不能应用上例公式,而应用诱导公式来简化它。同样,根据正切函数的定义域,应该同时指出α+β= ,上例公式也是不能成立的。
　　2.2.6 在进行反三角函数主值区间的教学时,应该结合三角函数的定义域使学生深刻认识到为什么不选择开区间(0,π)而选开区间( , )作为反正切函数的主值区间,为什么不选择开区间( , )而选开区间(0,π)作为反余切函数的主值区间,也应该让学生根据三角函数的定义域来辨别,为什么 ≤arcsinx≤ ,而 　　2.3 在代数中学到的对数函数的性质时也可以结合对数函数的定义域检查与巩固三角函数的定义域。例如下列一些题目就可以起到这样的作用。
　　求下列函数的定义域:
　　①y=lgsinx;②y=lgcosx;
　　③y=lgtgx;④y=lgctgx;
　　⑤y=lg(-tgx);⑥y=lgIctgxI