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摘 要：数概念的发生是未来数概念的基础，是从现实世界的有关量的关系中直接或间接地逐步抽象出来的。国外的各派学者持有截然不同的观点，国内的心理学学者也分别从不同的角度进行了研究，由此总结出我国儿童数概念发生发展发展特点。
关键词：数概念；发生发展；关键期
一、数概念发生发展研究的意义
数不是某个东西的名称，它是事物与事物之间的一种相互关系，表明的是一个物体在一个序列中的位置以及在一组物体中包含了多少物体，即人们头脑中对这种物与物间关系的认识［1］。数概念是从现实世界的有关量的关系中直接或间接地逐步抽象出来的，是数学中最基本的概念，是小学生正确进行列式、计算判断、推理等数学活动的基础。数概念的获得不是通过语言教会的，而是儿童通过感知、操作、活动在动作中体验、发现、创造的。
数概念的发生是未来数概念的基础。它不仅涉及认知发展的理论问题，也关系到数概念早期教育的实践问题。关于数概念是怎样发生的问题，目前欧美国家曾作过不少研究。归纳起来有两种对立的观点：一派认为数概念的产生是从对少量数的整体知觉开始，然后才能数数。例如，皮亚杰（J.Piaget）、冯德（Wundt）和克拉赫尔（C.Klahr）、瓦来斯（Wallaee），他们都认为儿童数概念的发生是从整体数的知觉开始，然后才过渡到能逐一数数。持相反观点的，例如盖尔门（Gelman）和泰苛（Tucker），他们认为儿童在完形认数以前已会数数［2］。.
我国心理学工作者通过研究儿童数概念的形式和发展来探索儿童思维发展的规律，其目的是为了了解儿童数概念形成和发展的趋势，探讨儿童思维活动水平和思维结构成熟和发展的特点及其关键年龄问题，摸索儿童思维发展的一般规律，并对儿童的数学教学提出一些建议。
二、国内有关数概念的研究述评
（一）吕静、王伟红对婴幼儿数概念发生的研究
吕静等在1983年对年龄为2—5岁共六个年龄组（2足岁、2.5岁、3足岁、3.5岁、4足岁、5足岁）共六个的被试（每年龄组为20人，男女各半，共110人，2岁组为10人）用纸盒和木珠作为实验材料进行辨数、认数和点数的测试。发现数概念的发生有一定顺序，自辨数、发展到认数、再发展到点数。这三种不同计数方式的成绩都随年龄增长而增长，各年龄儿童都是辨数成绩最好，在3.5岁以前，儿童认数成绩都优于点数；儿童一但掌握点数后，点数成绩就迅速发展，在3.5岁后点数又超过认数。所以3.5岁阶段为认数和点数的转化期。以一个年龄阶段儿童通过50%的人数比例为掌握辨数、认数和点数的某一年龄阶段的关键期。2.5岁到3岁为儿童掌握5以内辨数的关键期；3岁到3.5岁为儿童掌握小数目“3”的认数关键期、而掌握大一些数4和5的认数关键期要到4岁到5岁；3.5岁到4岁为儿童掌握点数的关键期。男、女儿童在数概念的发生上，各项目中均没有显著性差别。
吕静还研究了表象在儿童数概念发展中的作用。采用个别试验法让每个儿童解答容易唤起不同类型表象的应用题，得出结论为：数概念的发展是从直接感知到间接感知，从具体到抽象的过程。表象在数概念形成和发展中，常起着桥梁作用。儿童常凭籍表象帮助问题解决。数概念是在具体和抽象相互作用中形成发展的，根据抽象文字和题意，有时可引起头脑中的表象，外化为具体形象，帮助儿童思考。但是相应表象的唤起，必须有一定的数概念作基础。所以表象或具体形象和数概念常是相辅相成的。随着年龄增长，知识经验的扩大加深，儿童表象在数概念发展中所起的作用也就越来越大。
由此可以看出，儿童数概念的发生，始于模糊的知觉，开始只能辨别多和少，不会精确地说出有几个物体。在模糊的认识基础上，逐渐能认识物体数目的内部关系，产生了对物体整个数目的知觉。这就是我们在日常中看到婴幼儿还不会数数，但知道根据你说的少量数目，拿出相应数2个或3个的物体来。最后才能进行有分析的逐一点数［2］。
（二）郑为川、邢少领对0一2岁儿童数概念发生的研究
郑为川等1994年用追踪法随机抽取1岁、1岁半、2岁三个年龄组的儿童各30名，男女对半，家庭教育条件分良好、一般、较差三种，研究总结出0—2岁儿童的数概念发生经历了三个阶段：原始的多少概念（l岁左右）、机械唱数及图形认数（1岁半左右）、理解具体1（2岁左右）。
在以自我为中心的、原始的多少概念阶段儿童能对数量不多且差异较大的多与少或大与小做出笼统的认知，可优先选择出多的或大的那一方。且具有原始性、有限性、自我中心性三个特点。以语音为中心的唱数及以图形为中心的认数阶段的儿童，能在成人的教导下唱数并认数1—5甚至1—10的数字，但水平不高，同时有唱数的机械性和语音中心性、认数的图形中心性的特点。儿童到了2岁左右，能在具体形象的支持下来理解1，且将此作为数概念正式产生的标志［3］。
智力、成熟与教育的交互作用决定着儿童数概念的发生，但它们在不同阶段所起作用的大小不可等同看待。在儿童数概念的发生上个别差异很大，而性别差异则不存在。
（三）林崇德对儿童数概念的研究
林崇德采用综合调查法对0—7岁1005名儿童数概念的发展进行了研究。0—7岁儿童对数概念的掌握表现为五级水平：第I级是掌握计数前的“感知”水平。第Ⅱ级是“口头数数”的水平。第Ⅲ级是“给物说数”的水平。第Ⅳ级是“按数取物”的水平。第V级是掌握数概念的水平。儿童数概念的形成和发展有明显的年龄特征，2—3岁，5—6岁是儿童形成和发展数概念的两个关键年龄阶段；计数能力的出现不等于数概念的形成，计数的程度也不等于掌握数概念的程度；数概念的发展过程中，儿童对于一个数概念的获得所花费的时间并不一样；儿童在数概念的形成和发展中存在着个体差异，并且这种差异随着年龄增加而增大。
由此可以看出，0—7岁儿童数概念、整个思维水平、思维结构和思维的智力品质等方面的发展，都存在着年龄特征和关键年龄，都表现出年龄特征的稳定性与可变性的统一［4］。
（四）刘范、沈家鲜等对国内十个地区7—12岁儿童数学概念初步研究
刘范等探讨了我国十个地区969名7—12岁儿童在认数、数序和系列、数的组成、运算和应用等四个方面的发展情况，并对儿童数学概念和运算能力发展中知识学习与数概念发展的关系、发展的过程、环境的影响、发展的阶段性等方面进行了讨论，7—12岁儿童的数学概念和运算能力的整个发展过程中，大体表现出三个不同的阶段，每一个阶段儿童所掌握的数学概念的范围（广度）和深度都有别于其它阶段。（1）7—8岁左右（低年级）的阶段这一阶段的儿童一般来说，初步形成三位以内整数概念系统，可以逐步掌握三、四位数。（2）9—10岁左右（中年级）的阶段这一阶段儿童整数、小数概念系统正处于巩固和形成的过程中，基本上能掌握万以上整数，小数和分数概念正在形成或开始形成中。（3）11—12岁左右（高年级）的阶段这阶段的儿童整数、小数、分数的概念系统逐步趋向统一［5］。除个别项目外，一般都能较好地掌握，分数概念也已基本掌握。这一阶段的儿童对整数、小数、分数的概念系统已逐步形成。
（五）韩恩荣、周卫等对固原地区小学儿童数概念发展的调查
韩恩荣、周卫等1980年从固原县城三种不同类型的小学，在每校每年级各抽取了十名8—12岁的学生采用上述刘范等研究方案中方法和试题，对此地区的学儿童进行数概念发展的调查分析。
得出结论为：此区8~12岁儿童的数概念及运用能力，是在教学的条件下随年龄的增长而逐渐扩展和加深的且教学对8—12岁儿童数概念和运算能力的发展起决定性作用［6］。小学儿童数概念的掌握和运算能力的发展，是同他们的思维水平密切相联的。儿童在掌握数概念的过程中，才能不断提高分析、综合、比较、抽象、概括、判断、推理的思维水平，而思维水平的提高又推动着数概念的发展。
（六）近年来的相关研究
幼儿数概念的形成是从感知和动作开始的，王采栾认为要充分利用各种感官感知数量，随时随地形成幼儿的数概念。教幼儿学习数的组成的过程，也是幼儿数概念的形成过程、并且游戏在幼儿数概念形成过程中起着重要作用，可运用文学、艺术等形式，对幼儿进行数学教育，促使幼儿数概念的形成［1］。张明从幼儿数概念获得的两种计算教学法这一角度研究发现，通过操作游戏的计算教学法会达到超过传统教学法所能达到的数概念水平。这一研究是从皮亚杰的理性主义观点出发来验证并说明儿童数概念获得是主体自身建构的结果［7］。倪玉菁对五、六年级小学生分数意义和性质的理解进行的研究表明，五、六年级学生能够掌握分数所代表的部分和整体的意义，但还不能很好地掌握分数的测量意义［8］。
三、我国儿童数概念发生发展发展特点
从以上的介绍和分析中，我们可以得出我国儿童数概念发生发展特点。
首先，数概念的发生有一定顺序，且不同计数方式有某一年龄阶段的关键期，但各项成绩间均无性别差异。儿童数概念的发生，始于模糊的知觉，开始只能辨别多和少，（即辨数）不会精确地说出有几个物体。儿童在模糊的认识基础上，逐渐能认识物体数目的内部关系，产生了对物体整个数目的知觉（即认数）。
其次，儿童数运算能力的形成和发展有着明显的年龄特征，七岁前儿童运算能力的形成与发展是和数概念形成与发展一致的。儿童从学会认数到学会运用数，这是整个发展的趋势。这个趋势可以推论，儿童的思维的发展是从学会认识概念到学会运用概念。
第三，儿童数概念的发展是同自身的思维水平密切相关的，两者是相互作用的。智力、成熟和教育都对儿童的数概念的发生发展起着不同程度的作用。
参考文献：
［1］王采栾，浅谈幼儿数概念的形成，平顶山师专学报2001，8。
［2］吕静，王伟红.婴幼儿数概念的发生的研究。
［3］郑为川，邢少领.对0—2岁儿童数概念发生的研究，山西大学学报（哲学社会科学版）1994，3。
［4］林崇德，学龄前儿童数概念与运算能力发展。
［5］刘范，吕静，沈家鲜等.内十个地区7—12岁儿童数学概念和运算能力发展的初步研究。
［6］韩恩荣，周卫等.固原地区小学儿童数概念和运算能力发展的调查。
［7］张明，关于幼儿数概念获得的两种计算教学法之比较研究，学前教育研究。
［8］方筠君，数概念不是教会的，山东教育，2001，1。
关键词：数概念；发生发展；关键期
一、数概念发生发展研究的意义
数不是某个东西的名称，它是事物与事物之间的一种相互关系，表明的是一个物体在一个序列中的位置以及在一组物体中包含了多少物体，即人们头脑中对这种物与物间关系的认识［1］。数概念是从现实世界的有关量的关系中直接或间接地逐步抽象出来的，是数学中最基本的概念，是小学生正确进行列式、计算判断、推理等数学活动的基础。数概念的获得不是通过语言教会的，而是儿童通过感知、操作、活动在动作中体验、发现、创造的。
数概念的发生是未来数概念的基础。它不仅涉及认知发展的理论问题，也关系到数概念早期教育的实践问题。关于数概念是怎样发生的问题，目前欧美国家曾作过不少研究。归纳起来有两种对立的观点：一派认为数概念的产生是从对少量数的整体知觉开始，然后才能数数。例如，皮亚杰（J.Piaget）、冯德（Wundt）和克拉赫尔（C.Klahr）、瓦来斯（Wallaee），他们都认为儿童数概念的发生是从整体数的知觉开始，然后才过渡到能逐一数数。持相反观点的，例如盖尔门（Gelman）和泰苛（Tucker），他们认为儿童在完形认数以前已会数数［2］。.
我国心理学工作者通过研究儿童数概念的形式和发展来探索儿童思维发展的规律，其目的是为了了解儿童数概念形成和发展的趋势，探讨儿童思维活动水平和思维结构成熟和发展的特点及其关键年龄问题，摸索儿童思维发展的一般规律，并对儿童的数学教学提出一些建议。
二、国内有关数概念的研究述评
（一）吕静、王伟红对婴幼儿数概念发生的研究
吕静等在1983年对年龄为2—5岁共六个年龄组（2足岁、2.5岁、3足岁、3.5岁、4足岁、5足岁）共六个的被试（每年龄组为20人，男女各半，共110人，2岁组为10人）用纸盒和木珠作为实验材料进行辨数、认数和点数的测试。发现数概念的发生有一定顺序，自辨数、发展到认数、再发展到点数。这三种不同计数方式的成绩都随年龄增长而增长，各年龄儿童都是辨数成绩最好，在3.5岁以前，儿童认数成绩都优于点数；儿童一但掌握点数后，点数成绩就迅速发展，在3.5岁后点数又超过认数。所以3.5岁阶段为认数和点数的转化期。以一个年龄阶段儿童通过50%的人数比例为掌握辨数、认数和点数的某一年龄阶段的关键期。2.5岁到3岁为儿童掌握5以内辨数的关键期；3岁到3.5岁为儿童掌握小数目“3”的认数关键期、而掌握大一些数4和5的认数关键期要到4岁到5岁；3.5岁到4岁为儿童掌握点数的关键期。男、女儿童在数概念的发生上，各项目中均没有显著性差别。
吕静还研究了表象在儿童数概念发展中的作用。采用个别试验法让每个儿童解答容易唤起不同类型表象的应用题，得出结论为：数概念的发展是从直接感知到间接感知，从具体到抽象的过程。表象在数概念形成和发展中，常起着桥梁作用。儿童常凭籍表象帮助问题解决。数概念是在具体和抽象相互作用中形成发展的，根据抽象文字和题意，有时可引起头脑中的表象，外化为具体形象，帮助儿童思考。但是相应表象的唤起，必须有一定的数概念作基础。所以表象或具体形象和数概念常是相辅相成的。随着年龄增长，知识经验的扩大加深，儿童表象在数概念发展中所起的作用也就越来越大。
由此可以看出，儿童数概念的发生，始于模糊的知觉，开始只能辨别多和少，不会精确地说出有几个物体。在模糊的认识基础上，逐渐能认识物体数目的内部关系，产生了对物体整个数目的知觉。这就是我们在日常中看到婴幼儿还不会数数，但知道根据你说的少量数目，拿出相应数2个或3个的物体来。最后才能进行有分析的逐一点数［2］。
（二）郑为川、邢少领对0一2岁儿童数概念发生的研究
郑为川等1994年用追踪法随机抽取1岁、1岁半、2岁三个年龄组的儿童各30名，男女对半，家庭教育条件分良好、一般、较差三种，研究总结出0—2岁儿童的数概念发生经历了三个阶段：原始的多少概念（l岁左右）、机械唱数及图形认数（1岁半左右）、理解具体1（2岁左右）。
在以自我为中心的、原始的多少概念阶段儿童能对数量不多且差异较大的多与少或大与小做出笼统的认知，可优先选择出多的或大的那一方。且具有原始性、有限性、自我中心性三个特点。以语音为中心的唱数及以图形为中心的认数阶段的儿童，能在成人的教导下唱数并认数1—5甚至1—10的数字，但水平不高，同时有唱数的机械性和语音中心性、认数的图形中心性的特点。儿童到了2岁左右，能在具体形象的支持下来理解1，且将此作为数概念正式产生的标志［3］。
智力、成熟与教育的交互作用决定着儿童数概念的发生，但它们在不同阶段所起作用的大小不可等同看待。在儿童数概念的发生上个别差异很大，而性别差异则不存在。
（三）林崇德对儿童数概念的研究
林崇德采用综合调查法对0—7岁1005名儿童数概念的发展进行了研究。0—7岁儿童对数概念的掌握表现为五级水平：第I级是掌握计数前的“感知”水平。第Ⅱ级是“口头数数”的水平。第Ⅲ级是“给物说数”的水平。第Ⅳ级是“按数取物”的水平。第V级是掌握数概念的水平。儿童数概念的形成和发展有明显的年龄特征，2—3岁，5—6岁是儿童形成和发展数概念的两个关键年龄阶段；计数能力的出现不等于数概念的形成，计数的程度也不等于掌握数概念的程度；数概念的发展过程中，儿童对于一个数概念的获得所花费的时间并不一样；儿童在数概念的形成和发展中存在着个体差异，并且这种差异随着年龄增加而增大。
由此可以看出，0—7岁儿童数概念、整个思维水平、思维结构和思维的智力品质等方面的发展，都存在着年龄特征和关键年龄，都表现出年龄特征的稳定性与可变性的统一［4］。
（四）刘范、沈家鲜等对国内十个地区7—12岁儿童数学概念初步研究
刘范等探讨了我国十个地区969名7—12岁儿童在认数、数序和系列、数的组成、运算和应用等四个方面的发展情况，并对儿童数学概念和运算能力发展中知识学习与数概念发展的关系、发展的过程、环境的影响、发展的阶段性等方面进行了讨论，7—12岁儿童的数学概念和运算能力的整个发展过程中，大体表现出三个不同的阶段，每一个阶段儿童所掌握的数学概念的范围（广度）和深度都有别于其它阶段。（1）7—8岁左右（低年级）的阶段这一阶段的儿童一般来说，初步形成三位以内整数概念系统，可以逐步掌握三、四位数。（2）9—10岁左右（中年级）的阶段这一阶段儿童整数、小数概念系统正处于巩固和形成的过程中，基本上能掌握万以上整数，小数和分数概念正在形成或开始形成中。（3）11—12岁左右（高年级）的阶段这阶段的儿童整数、小数、分数的概念系统逐步趋向统一［5］。除个别项目外，一般都能较好地掌握，分数概念也已基本掌握。这一阶段的儿童对整数、小数、分数的概念系统已逐步形成。
（五）韩恩荣、周卫等对固原地区小学儿童数概念发展的调查
韩恩荣、周卫等1980年从固原县城三种不同类型的小学，在每校每年级各抽取了十名8—12岁的学生采用上述刘范等研究方案中方法和试题，对此地区的学儿童进行数概念发展的调查分析。
得出结论为：此区8~12岁儿童的数概念及运用能力，是在教学的条件下随年龄的增长而逐渐扩展和加深的且教学对8—12岁儿童数概念和运算能力的发展起决定性作用［6］。小学儿童数概念的掌握和运算能力的发展，是同他们的思维水平密切相联的。儿童在掌握数概念的过程中，才能不断提高分析、综合、比较、抽象、概括、判断、推理的思维水平，而思维水平的提高又推动着数概念的发展。
（六）近年来的相关研究
幼儿数概念的形成是从感知和动作开始的，王采栾认为要充分利用各种感官感知数量，随时随地形成幼儿的数概念。教幼儿学习数的组成的过程，也是幼儿数概念的形成过程、并且游戏在幼儿数概念形成过程中起着重要作用，可运用文学、艺术等形式，对幼儿进行数学教育，促使幼儿数概念的形成［1］。张明从幼儿数概念获得的两种计算教学法这一角度研究发现，通过操作游戏的计算教学法会达到超过传统教学法所能达到的数概念水平。这一研究是从皮亚杰的理性主义观点出发来验证并说明儿童数概念获得是主体自身建构的结果［7］。倪玉菁对五、六年级小学生分数意义和性质的理解进行的研究表明，五、六年级学生能够掌握分数所代表的部分和整体的意义，但还不能很好地掌握分数的测量意义［8］。
三、我国儿童数概念发生发展发展特点
从以上的介绍和分析中，我们可以得出我国儿童数概念发生发展特点。
首先，数概念的发生有一定顺序，且不同计数方式有某一年龄阶段的关键期，但各项成绩间均无性别差异。儿童数概念的发生，始于模糊的知觉，开始只能辨别多和少，（即辨数）不会精确地说出有几个物体。儿童在模糊的认识基础上，逐渐能认识物体数目的内部关系，产生了对物体整个数目的知觉（即认数）。
其次，儿童数运算能力的形成和发展有着明显的年龄特征，七岁前儿童运算能力的形成与发展是和数概念形成与发展一致的。儿童从学会认数到学会运用数，这是整个发展的趋势。这个趋势可以推论，儿童的思维的发展是从学会认识概念到学会运用概念。
第三，儿童数概念的发展是同自身的思维水平密切相关的，两者是相互作用的。智力、成熟和教育都对儿童的数概念的发生发展起着不同程度的作用。
参考文献：
［1］王采栾，浅谈幼儿数概念的形成，平顶山师专学报2001，8。
［2］吕静，王伟红.婴幼儿数概念的发生的研究。
［3］郑为川，邢少领.对0—2岁儿童数概念发生的研究，山西大学学报（哲学社会科学版）1994，3。
［4］林崇德，学龄前儿童数概念与运算能力发展。
［5］刘范，吕静，沈家鲜等.内十个地区7—12岁儿童数学概念和运算能力发展的初步研究。
［6］韩恩荣，周卫等.固原地区小学儿童数概念和运算能力发展的调查。
［7］张明，关于幼儿数概念获得的两种计算教学法之比较研究，学前教育研究。
［8］方筠君，数概念不是教会的，山东教育，2001，1。