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[摘 要] 本文简单的介绍了小角度法和极坐标法定义，为了对比两种方法的精度，推导出了两者的精度计算公式。分析了在100m内，小角度法和极坐标法的精度，并对其精度进行了对比分析，得出在1°以内，小角度法和极坐标法测量精度基本相等，其它条件下，小角度法测量精度高于极坐标法测量精度。
[关键字] 小角度法 极坐标法 100m 精度
建筑基坑各项监测项目中，顶部水平位移监测比较重要，水平位移监测方法也比较多，例如小角度法、极坐标法、前方交会法、后方交会法、后方交会法、测边交会法、导线法、自由设站法、单站改正法等[1]～[6]。本文主要以采用测角精度为2″，测距精度为2mm+2ppm，测2测回的小角度法和极坐标法分析其精度，并进行对比分析。
1.小角度法精度
小角度法是利用全站仪精确测出基准线与置站点到观测点视线之间的微小角度[1][2]。
图1 小角度法
如图1，A、B为基准点，其中A为置站点，B为置镜点，两点构成一条基准线，P点为监测点，P′为变形后监测点，可知，代人小角度法计算式得P点变形量为
式中：—P点位移量；
—A至P点距离。
上式微分可得
则
=
因为采用测角精度为2″，测距精度为2mm+2ppm，测2个测回， 当，S=100m，则，mm，前一项值为0.94，后一项值为4.66×10-8，相对前一项数值很小，可以忽略此项，所以
可以看出，小角法精度仅与监测点到测站点的距离和仪器标称测角精度有关，跟监测点至置站点连线与基准线间微小角的大小无关。
2.极坐标法精度
极坐标法是利用数学中的极坐标原理，以两个已知点为极轴，以其中一个点为极点建立极坐标系，测定观测点到极点的距离，测定观测点与极点连线和极轴的夹角的方法。（如图2）
图2 极坐标法
A、B为已知点，C为监测点，测定角度和边长S，根据公式，可得C点坐标：
微分得
则
因为监测点C沿X和Y方向的变形量为
所以监测点C沿X和Y方向的变形量的精度为
可以看出，监测点C沿X和Y方向变形量的精度不仅与距离有关，还与角度有关。
3.精度分析
3.1 小角度法精度分析
采用测角精度为2″，测距精度为2mm+2ppm，测2测回，小角度法测量中误差如表1。可以看出，距离越远，测量误差越大，但在100m以内，测量中误差不会超过1mm。
3.2 极坐标法精度分析
如图3所示为基坑示意图，假设基坑为长宽均为100m，在A点置站，以AB方向为X方向，采用极坐标法一站测量基坑的变形时，东面和西门只需Y方向的坐标值，南面和背面则需要X方向的坐标值。西面和南面为本次坐标减去上次坐标，东面和北面为上次坐标减去本次坐标，当相减数值为正值时，表明向基坑内方向位移，为负值时，则表明向基坑外方向位移。
图3 基坑示意图
采用极坐标法测量南面和西面水平位移变形时，其测量中误差如表2。角度相同时，距离越大，测量中误差越大；距离相等时，角度越大，测量中误差也越大。
采用极坐标法测量东面和北面水平位移变形时，测量中误差见表3 。
（1）基坑长和宽相等时，从西北至东南这一条对角线上的数据可以看出，北面的测量中误差随角度的增大而减小，东面的测量误差随角度的减小而减小，两侧的测量误差越靠近东北角，测量误差越小，但总体误差还是很大。
（2）当基坑长和宽不固定，且南面和北面基坑边更长时。北面：角度相同的条件下，距离越远，测量中误差越大；距离相等时，角度越大，测量中误差越小。东面：角度小的有些数据不可采用，但总体趋势为，角度相同条件下，距离越远，测量中误差越大；距离相等时，角度越小，测量中误差越小。
（3）当基坑长和宽不固定，且东面和西面基坑边更长时。北面：角度大的有些数据不可采用，但總体趋势为，角度相同的条件下，距离越远，测量中误差越大；距离相等时，角度越大，测量中误差越小。东面：角度相同条件下，距离越远，测量中误差越大；距离相等时，角度越小，测量中误差越小。
3.3 精度对比分析
南面和西面极坐标法与小角度法测量中误差差值如表4，距离相等的条件下，角度越大，差值越大，表明角度越大，小角法精度相对极坐标法精度越高，但在1°以内，小角度法和极坐标法测量误差基本相等；角度相等的条件下，距离越小，差值越大，表明距离越近，小角度法相对极坐标法精度越高。
东面和北面，极坐标法测量中误差都在2mm左右，而小角度法测量中误差小于1mm，表明采用小角度法精度更高，更能减小测量误差，满足测量精度要求。
4.结论
经过以上分析，可以得出以下几点结论：距离越远，小角度法和极坐标法测量中误差越大；
（1）在100m以内，小角度法测量中误差不超过1mm。100m以内，角度为0°～5°和85°～90°以内，极坐标测量中误差也不超过1mm。并且角度相同时，距离越远，小角度法和极坐标法测量中误差越大；
（2）采用极坐标法一站测基坑水平位移时，不在置站点附近的另两侧基坑边测量中误差较大，且离置站点对角线另一侧基坑角越近，测量中误差越小；
（3）总体上小角度法测量精度高于极坐标法测量精度，在1°以内，小角度法和极坐标法测量精度基本相等，1°～5°范围内，距离越小，小角度法精度越高。
参考文献：
[1]朱建军，贺跃光，曾卓乔编著.变形测量的理论与方法[M].长沙:中南大学出版社,2003.8.
[2]白迪谋编著. 工程建筑物变形观测和变形分析[M].成都:西南交通大学出版社, 2002年10月第1版.
[3]夏才初等编著. 土木工程监测技术[M]. 中国建筑工业出版社, 2001年07月第1版.
[4]章书寿 华锡生.工程测量[M]. 水利电力出版社, 1994年10月第1版.
[5]金建平,赵仲荣.自由设站法在深基坑水平位移监测中的应用与分析[J].勘察科学技术,2008年第5期.
[6]黄北华.单站改正法在位移测量中的应用[J].浙江水里科技,1999年增刊.
[关键字] 小角度法 极坐标法 100m 精度
建筑基坑各项监测项目中，顶部水平位移监测比较重要，水平位移监测方法也比较多，例如小角度法、极坐标法、前方交会法、后方交会法、后方交会法、测边交会法、导线法、自由设站法、单站改正法等[1]～[6]。本文主要以采用测角精度为2″，测距精度为2mm+2ppm，测2测回的小角度法和极坐标法分析其精度，并进行对比分析。
1.小角度法精度
小角度法是利用全站仪精确测出基准线与置站点到观测点视线之间的微小角度[1][2]。
图1 小角度法
如图1，A、B为基准点，其中A为置站点，B为置镜点，两点构成一条基准线，P点为监测点，P′为变形后监测点，可知，代人小角度法计算式得P点变形量为
式中：—P点位移量；
—A至P点距离。
上式微分可得
则
=
因为采用测角精度为2″，测距精度为2mm+2ppm，测2个测回， 当，S=100m，则，mm，前一项值为0.94，后一项值为4.66×10-8，相对前一项数值很小，可以忽略此项，所以
可以看出，小角法精度仅与监测点到测站点的距离和仪器标称测角精度有关，跟监测点至置站点连线与基准线间微小角的大小无关。
2.极坐标法精度
极坐标法是利用数学中的极坐标原理，以两个已知点为极轴，以其中一个点为极点建立极坐标系，测定观测点到极点的距离，测定观测点与极点连线和极轴的夹角的方法。（如图2）
图2 极坐标法
A、B为已知点，C为监测点，测定角度和边长S，根据公式，可得C点坐标：
微分得
则
因为监测点C沿X和Y方向的变形量为
所以监测点C沿X和Y方向的变形量的精度为
可以看出，监测点C沿X和Y方向变形量的精度不仅与距离有关，还与角度有关。
3.精度分析
3.1 小角度法精度分析
采用测角精度为2″，测距精度为2mm+2ppm，测2测回，小角度法测量中误差如表1。可以看出，距离越远，测量误差越大，但在100m以内，测量中误差不会超过1mm。
3.2 极坐标法精度分析
如图3所示为基坑示意图，假设基坑为长宽均为100m，在A点置站，以AB方向为X方向，采用极坐标法一站测量基坑的变形时，东面和西门只需Y方向的坐标值，南面和背面则需要X方向的坐标值。西面和南面为本次坐标减去上次坐标，东面和北面为上次坐标减去本次坐标，当相减数值为正值时，表明向基坑内方向位移，为负值时，则表明向基坑外方向位移。
图3 基坑示意图
采用极坐标法测量南面和西面水平位移变形时，其测量中误差如表2。角度相同时，距离越大，测量中误差越大；距离相等时，角度越大，测量中误差也越大。
采用极坐标法测量东面和北面水平位移变形时，测量中误差见表3 。
（1）基坑长和宽相等时，从西北至东南这一条对角线上的数据可以看出，北面的测量中误差随角度的增大而减小，东面的测量误差随角度的减小而减小，两侧的测量误差越靠近东北角，测量误差越小，但总体误差还是很大。
（2）当基坑长和宽不固定，且南面和北面基坑边更长时。北面：角度相同的条件下，距离越远，测量中误差越大；距离相等时，角度越大，测量中误差越小。东面：角度小的有些数据不可采用，但总体趋势为，角度相同条件下，距离越远，测量中误差越大；距离相等时，角度越小，测量中误差越小。
（3）当基坑长和宽不固定，且东面和西面基坑边更长时。北面：角度大的有些数据不可采用，但總体趋势为，角度相同的条件下，距离越远，测量中误差越大；距离相等时，角度越大，测量中误差越小。东面：角度相同条件下，距离越远，测量中误差越大；距离相等时，角度越小，测量中误差越小。
3.3 精度对比分析
南面和西面极坐标法与小角度法测量中误差差值如表4，距离相等的条件下，角度越大，差值越大，表明角度越大，小角法精度相对极坐标法精度越高，但在1°以内，小角度法和极坐标法测量误差基本相等；角度相等的条件下，距离越小，差值越大，表明距离越近，小角度法相对极坐标法精度越高。
东面和北面，极坐标法测量中误差都在2mm左右，而小角度法测量中误差小于1mm，表明采用小角度法精度更高，更能减小测量误差，满足测量精度要求。
4.结论
经过以上分析，可以得出以下几点结论：距离越远，小角度法和极坐标法测量中误差越大；
（1）在100m以内，小角度法测量中误差不超过1mm。100m以内，角度为0°～5°和85°～90°以内，极坐标测量中误差也不超过1mm。并且角度相同时，距离越远，小角度法和极坐标法测量中误差越大；
（2）采用极坐标法一站测基坑水平位移时，不在置站点附近的另两侧基坑边测量中误差较大，且离置站点对角线另一侧基坑角越近，测量中误差越小；
（3）总体上小角度法测量精度高于极坐标法测量精度，在1°以内，小角度法和极坐标法测量精度基本相等，1°～5°范围内，距离越小，小角度法精度越高。
参考文献：
[1]朱建军，贺跃光，曾卓乔编著.变形测量的理论与方法[M].长沙:中南大学出版社,2003.8.
[2]白迪谋编著. 工程建筑物变形观测和变形分析[M].成都:西南交通大学出版社, 2002年10月第1版.
[3]夏才初等编著. 土木工程监测技术[M]. 中国建筑工业出版社, 2001年07月第1版.
[4]章书寿 华锡生.工程测量[M]. 水利电力出版社, 1994年10月第1版.
[5]金建平,赵仲荣.自由设站法在深基坑水平位移监测中的应用与分析[J].勘察科学技术,2008年第5期.
[6]黄北华.单站改正法在位移测量中的应用[J].浙江水里科技,1999年增刊.