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[摘 要]“平均数”的教学应让学生学习哪些本质？平均数是数据的代表，反映的是一组数据的集中趋势，平均数常用于统计对象的一般水平，它既可以反映出一组数量的一般情况，也可以用来进行不同组数量的比较，以看出组与组之间的差别。求平均数是分析数据的一种重要方法，在日常生活中，特别是工农业生产中经常要用到，如平均成绩、平均身高、平均产量、平均速度等。教学中应如何把握这些学科本质？可以“小研究学习”的方式，让学生在研究、交流、反思中自然领悟和把握。
[关键词]平均数 移多补少 易变性
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2015）14-014
A.课前学生进行前置性小研究。（研究单详见前文附录）
B.课堂学习与交流过程
一、小组交流，分享各自研究成果
师：这节课，我们学习一个新的数学知识，大家知道是什么吗？
师：关于“平均数”的知识，课前我们已经做了一个小研究，请大家拿出来，4人小组相互交流一下，在交流中如果遇到不一样的想法，可以商量商量，再做适当的修改。开始吧！”（时间5分钟左右）
二、全班交流
1.感受平均数的意义，掌握平均数的求法
师：哪个小组愿意与大家分享自己的研究成果？
生1：下面由我们小组来与大家交流。我先汇报我的想法。我觉得C组应该是冠军，因为C组的平均数最大。我算了一下，A组的平均数是4个，用（3 8 1）÷3=4（个）；B组的平均数也是4个，用（3 5 4 4）÷4=4（个）；C组的平均数是5个，用（4 5 6）÷3=5（个）。
生2：我不同意生1的想法，我觉得A组应该是冠军，因为他们说得对，最大数8在他们组啊！
（这时，班上大多数学生都举起了手）
生3：最大数在他们组，可是最小数1也在他们组啊！所以不能看单个人的数量，而要看整个组的水平！
生4：对，不能看某个人的数量，因为他不代表整个组的水平。
生5：同样，B组的说法也不对，虽然他们小组的总数最多，但他们小组的人数最多，平均摊到每个人的头上只有4个，而C组摊到每个人的头上是5个。所以我同意C组是冠军。
师：这个“摊”字挺有意思！摊字还可以怎么解释？
生6：摊就是平均的意思，平均就是让每个人都一样多！
师：多形象的一个字啊！让我们对一个科学的概念得到很好的理解，谢谢你！
师：孩子们，我们来把刚才大家的发言整理一下。A、B、C组都想用一个数据来代表自己组的水平（板书：数据代表），回忆一下，三个组的数据代表分别是什么？
生7：A组的代表是最大数，B组的代表是总数，C组的代表是平均数。
师：没错，在不同的场合下，最大数、总数和平均数都可以作为一组数据的代表，那在这种情况下，谁做数据代表更合适呢？
生：平均数。
师：平均数反映了一组数据的集中趋势，代表了这组数据的整体水平。
师：刚才生1同学介绍了求平均数的方法，谁来概括一下，她是怎么求平均数的？
生8：先求总数，再除以个数。
师：大家同意吗？（板书：平均数=总数÷个数）
生9：我来补充，求平均数还可以这样想，比如C组，把王宇的6个，移一个给李小钢，这样，3个人就都是5个了，那么平均数就是5了。
师：你是一个很善于思考、善于观察的孩子！那生9的这种方法，谁来给它取一个名字？
生10：取大给小。
生11：移多补少。
师：真好！这两个名称意义都表达了同一个意思。数学上规范的名称叫“移多补少”！
2.灵活运用平均数的求法，进一步感受平均数的“易变性”
师：小研究的第2题，哪个小组愿意与大家交流？
生12：下面由我们小组来与大家交流。我认为D组可能得冠军，也可能得不到。
生13：对，我来补充，刚才C组是冠军，平均数是5个，现在D组4个人来投，总数要达到20个，平均数才正好是5个，现在前3个人的总数是6 5 3=14个，14个与20个相差6个，第4个人如果投6个，平均数就是5个，正好与C组并列冠军，要想得绝对冠军，平均数就必须超过5个，那第4个人至少要投7个。
生14：对，我来小结一下，这里有3种情况。如果第4个人投了6个，平均数就正是5个，与C组是并列冠军；如果小于6个，平均数小于5个，就得不到冠军；如果大于6个，平均数大于5个，就是绝对冠军。
师：噢，听了这个小组的发言，大家有没有感觉到，左右D组能不能得冠军的个数只是区区的1个，多1个与少1个，结果完全不一样，看来平均数是易变的，难怪有人这样形容平均数“平均数这东西很敏感，任何一个数据的风吹草动，都会使平均数发生变化”。现在看来，这话有道理吗？
3.进一步理解平均数“介于大数与小数之间”等特性
师：孩子们，让我们一起来交流第3题，相信大家对平均数的认识会更深一层。
生15：我认为图3是对的。因为图1的虚线取的是最小数，平均数不可能是最小数，图4的虚线取的是最大数，平均数也不可能是最大数，图2多的部分拿给少的部分不够分，所以我觉得是图3是对的。
生16：我同意生15的想法。我根据5个人的多少，分别假设了他们投球的个数，用具体的数算一下就知道了。
师：大家同意吗？其实，生16介绍的这种方法，老师预先也准备了，大家一起来感受一下。
师：用图中的具体数据计算一下，哪一幅图是正确的呢？
师：通过对这道题的研究，你对平均数又有哪些新的认识呢？ 生17：平均数大于最小数，小于最大数。
生18：平均数介于最大数和最小数之间。
生19：平均数是个中间数。
4.进一步理解“平均数是一组数据的集中趋势，个别数值不能代表整体水平”等特性
师：你觉得黑马说得有道理吗？（学生交流略）
师：孩子们，这个故事还没有结束呢。请看续节——
师：你觉得黄马说得有道理吗？（学生交流略）
师：听了这个故事，你觉得有哪些收获要与大家分享呢？
【课后反思】
“小研究学习”的课堂，不仅要关注学生的学，更应关注学科特质的提炼与表达，要让学科的本质占领课堂的主阵地，要体现出浓浓的“数学味”。
就平均数而言，“数学味”体现在重在突显概念的本质。
置于整体，概念的特点更能显现。众所周知，同样看一个事物，从局部看局部，从整体看局部，后者显然更为清楚。而在数学学习的过程中，也有同样的道理。平均数是什么呢？我们需要一个全景式的了解，统计学认为，描述一组数据的特征量有三种：差异量，集中量和相关量。集中量就是表示一组数据的典型水平或集中趋势的量。集中量又分为众数，中位数与平均数。平均数又分为加权平均数，调和平均数和算术平均数。从现实情况看，小学生学习的平均数更多的是指算术平均数，较复杂的平均数中有加权平均数。有一个这样整体系统的认识，教学中更能抓住其本质特征。从这些背景知识中，可以发现：平均数是众多集中量（小学生讲“代表数”比较容易理解）中的一个，并不唯一。反思第一环节，在学生判断哪一组得冠军的环节，要找一个能代表小组意见的分数时，从学生的回答中，我们可以看到除了平均数还有总数和最大数的影响，这就是一个概念形成的真实的整体背景。
丰富经历，概念的形成更加完整。平均数是一种反映一组数据集中趋势的统计量，是描述数据的重要统计指标之一，理解平均数的统计意义是教学的关键，有经历，才会有体验。纵观全课，四个教学场景各有侧重，将学生置于全方位的“场域”之中。引导学生通过辨析讨论，体会“平均数肯定在最大数与最小数之间”“平均数有时会受到极端数据的影响”“平均数是一个特征数，并不是所有数都是这个数”等特点，进一步理解平均数的实际意义，这样的教学，有助于学生今后理解用平均数表示的数据的特征，并且在进行数据分析时能想到用平均数刻画数据。
加强联系，概念的价值更为丰实。数学联系，就本节课教学设计而言，主要指数学与其他学科的联系，以及数学与德育的联系。本节课上，在数学学习的过程中，要丰富数学学习的素材，让数学与德育的联系并非只是停留在形式。在课堂上，当听完新“小马过河”的故事时，学生不仅对黄马和黑马赋予了人的个性特点，同时联想现实生活中的一些“平均数”，如重点中学的学生平均分数比一般学校高，那么是否就是就读重点中学好；好的单位平均工资比一般单位好，那么是否要选择好单位就业，以及“宁当鸡头不作凤尾”的俗语，都是对学生的学习和生活有着长远的教育意义的。“作为教育任务的数学”承载的不只是数学的学习。虽然我们也反对“去数学化”，反对数学与其他学科的牵强联系，也不赞成“贴标签式的德育渗透”，但我们认同和倡导用儿童所能接受并喜欢接受的方式，加强联系，渗透德育，真正实现“数学教学，不只教学数学。”
（责编 金 铃）
[关键词]平均数 移多补少 易变性
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2015）14-014
A.课前学生进行前置性小研究。（研究单详见前文附录）
B.课堂学习与交流过程
一、小组交流，分享各自研究成果
师：这节课，我们学习一个新的数学知识，大家知道是什么吗？
师：关于“平均数”的知识，课前我们已经做了一个小研究，请大家拿出来，4人小组相互交流一下，在交流中如果遇到不一样的想法，可以商量商量，再做适当的修改。开始吧！”（时间5分钟左右）
二、全班交流
1.感受平均数的意义，掌握平均数的求法
师：哪个小组愿意与大家分享自己的研究成果？
生1：下面由我们小组来与大家交流。我先汇报我的想法。我觉得C组应该是冠军，因为C组的平均数最大。我算了一下，A组的平均数是4个，用（3 8 1）÷3=4（个）；B组的平均数也是4个，用（3 5 4 4）÷4=4（个）；C组的平均数是5个，用（4 5 6）÷3=5（个）。
生2：我不同意生1的想法，我觉得A组应该是冠军，因为他们说得对，最大数8在他们组啊！
（这时，班上大多数学生都举起了手）
生3：最大数在他们组，可是最小数1也在他们组啊！所以不能看单个人的数量，而要看整个组的水平！
生4：对，不能看某个人的数量，因为他不代表整个组的水平。
生5：同样，B组的说法也不对，虽然他们小组的总数最多，但他们小组的人数最多，平均摊到每个人的头上只有4个，而C组摊到每个人的头上是5个。所以我同意C组是冠军。
师：这个“摊”字挺有意思！摊字还可以怎么解释？
生6：摊就是平均的意思，平均就是让每个人都一样多！
师：多形象的一个字啊！让我们对一个科学的概念得到很好的理解，谢谢你！
师：孩子们，我们来把刚才大家的发言整理一下。A、B、C组都想用一个数据来代表自己组的水平（板书：数据代表），回忆一下，三个组的数据代表分别是什么？
生7：A组的代表是最大数，B组的代表是总数，C组的代表是平均数。
师：没错，在不同的场合下，最大数、总数和平均数都可以作为一组数据的代表，那在这种情况下，谁做数据代表更合适呢？
生：平均数。
师：平均数反映了一组数据的集中趋势，代表了这组数据的整体水平。
师：刚才生1同学介绍了求平均数的方法，谁来概括一下，她是怎么求平均数的？
生8：先求总数，再除以个数。
师：大家同意吗？（板书：平均数=总数÷个数）
生9：我来补充，求平均数还可以这样想，比如C组，把王宇的6个，移一个给李小钢，这样，3个人就都是5个了，那么平均数就是5了。
师：你是一个很善于思考、善于观察的孩子！那生9的这种方法，谁来给它取一个名字？
生10：取大给小。
生11：移多补少。
师：真好！这两个名称意义都表达了同一个意思。数学上规范的名称叫“移多补少”！
2.灵活运用平均数的求法，进一步感受平均数的“易变性”
师：小研究的第2题，哪个小组愿意与大家交流？
生12：下面由我们小组来与大家交流。我认为D组可能得冠军，也可能得不到。
生13：对，我来补充，刚才C组是冠军，平均数是5个，现在D组4个人来投，总数要达到20个，平均数才正好是5个，现在前3个人的总数是6 5 3=14个，14个与20个相差6个，第4个人如果投6个，平均数就是5个，正好与C组并列冠军，要想得绝对冠军，平均数就必须超过5个，那第4个人至少要投7个。
生14：对，我来小结一下，这里有3种情况。如果第4个人投了6个，平均数就正是5个，与C组是并列冠军；如果小于6个，平均数小于5个，就得不到冠军；如果大于6个，平均数大于5个，就是绝对冠军。
师：噢，听了这个小组的发言，大家有没有感觉到，左右D组能不能得冠军的个数只是区区的1个，多1个与少1个，结果完全不一样，看来平均数是易变的，难怪有人这样形容平均数“平均数这东西很敏感，任何一个数据的风吹草动，都会使平均数发生变化”。现在看来，这话有道理吗？
3.进一步理解平均数“介于大数与小数之间”等特性
师：孩子们，让我们一起来交流第3题，相信大家对平均数的认识会更深一层。
生15：我认为图3是对的。因为图1的虚线取的是最小数，平均数不可能是最小数，图4的虚线取的是最大数，平均数也不可能是最大数，图2多的部分拿给少的部分不够分，所以我觉得是图3是对的。
生16：我同意生15的想法。我根据5个人的多少，分别假设了他们投球的个数，用具体的数算一下就知道了。
师：大家同意吗？其实，生16介绍的这种方法，老师预先也准备了，大家一起来感受一下。
师：用图中的具体数据计算一下，哪一幅图是正确的呢？
师：通过对这道题的研究，你对平均数又有哪些新的认识呢？ 生17：平均数大于最小数，小于最大数。
生18：平均数介于最大数和最小数之间。
生19：平均数是个中间数。
4.进一步理解“平均数是一组数据的集中趋势，个别数值不能代表整体水平”等特性
师：你觉得黑马说得有道理吗？（学生交流略）
师：孩子们，这个故事还没有结束呢。请看续节——
师：你觉得黄马说得有道理吗？（学生交流略）
师：听了这个故事，你觉得有哪些收获要与大家分享呢？
【课后反思】
“小研究学习”的课堂，不仅要关注学生的学，更应关注学科特质的提炼与表达，要让学科的本质占领课堂的主阵地，要体现出浓浓的“数学味”。
就平均数而言，“数学味”体现在重在突显概念的本质。
置于整体，概念的特点更能显现。众所周知，同样看一个事物，从局部看局部，从整体看局部，后者显然更为清楚。而在数学学习的过程中，也有同样的道理。平均数是什么呢？我们需要一个全景式的了解，统计学认为，描述一组数据的特征量有三种：差异量，集中量和相关量。集中量就是表示一组数据的典型水平或集中趋势的量。集中量又分为众数，中位数与平均数。平均数又分为加权平均数，调和平均数和算术平均数。从现实情况看，小学生学习的平均数更多的是指算术平均数，较复杂的平均数中有加权平均数。有一个这样整体系统的认识，教学中更能抓住其本质特征。从这些背景知识中，可以发现：平均数是众多集中量（小学生讲“代表数”比较容易理解）中的一个，并不唯一。反思第一环节，在学生判断哪一组得冠军的环节，要找一个能代表小组意见的分数时，从学生的回答中，我们可以看到除了平均数还有总数和最大数的影响，这就是一个概念形成的真实的整体背景。
丰富经历，概念的形成更加完整。平均数是一种反映一组数据集中趋势的统计量，是描述数据的重要统计指标之一，理解平均数的统计意义是教学的关键，有经历，才会有体验。纵观全课，四个教学场景各有侧重，将学生置于全方位的“场域”之中。引导学生通过辨析讨论，体会“平均数肯定在最大数与最小数之间”“平均数有时会受到极端数据的影响”“平均数是一个特征数，并不是所有数都是这个数”等特点，进一步理解平均数的实际意义，这样的教学，有助于学生今后理解用平均数表示的数据的特征，并且在进行数据分析时能想到用平均数刻画数据。
加强联系，概念的价值更为丰实。数学联系，就本节课教学设计而言，主要指数学与其他学科的联系，以及数学与德育的联系。本节课上，在数学学习的过程中，要丰富数学学习的素材，让数学与德育的联系并非只是停留在形式。在课堂上，当听完新“小马过河”的故事时，学生不仅对黄马和黑马赋予了人的个性特点，同时联想现实生活中的一些“平均数”，如重点中学的学生平均分数比一般学校高，那么是否就是就读重点中学好；好的单位平均工资比一般单位好，那么是否要选择好单位就业，以及“宁当鸡头不作凤尾”的俗语，都是对学生的学习和生活有着长远的教育意义的。“作为教育任务的数学”承载的不只是数学的学习。虽然我们也反对“去数学化”，反对数学与其他学科的牵强联系，也不赞成“贴标签式的德育渗透”，但我们认同和倡导用儿童所能接受并喜欢接受的方式，加强联系，渗透德育，真正实现“数学教学，不只教学数学。”
（责编 金 铃）