论文部分内容阅读
中图分类号：G4 文献标识码：A
总体概况
从2015年北京市中考开始，关于函数类型的学习型试题一直是中考试题中一个很重要一种题型，这种题型的经过了两个阶段的变化，第一个阶段是初中常用函数的整合型问题（2015、2016），第二个阶段（2017、2018、2019）主要内容是利用函数的知识解决有关动点的几何问题.这篇文章我们主要探讨第二阶段解决问题的策略.
学生答题概况
从学生的答题情况来看，普遍认为此题难度不大，但是要想拿到满分还是有一些困难，通过调研学生答题情况的问题在每一步中都会有不同程度的问题，这些问题说明我们在函数教学中对函数中的“核心概念”的理解不到位，例如：自变量是谁？函数是哪一个？只是简单的描点、连线，画图像的基本功不过关，以至于误差较大而导致了错误;另外对数学学科的基本要求不到位而导致的，譬如：测量的工具及方法、测量估值的方法等.（海淀区）
试题的比较与分析
下面以2018和2019年的试题对比来分析和探究解决问题的策略.
试题：
（北京2018）
24.（6分）如图，Q是与弦AB所围成的图形的内部的一定点，P是弦AB上一动点，连接PQ并延长交于点C，连接AC.已知AB=6cm，设A，P两点间的距离为xcm，P，C两点间的距离为y1cm，A，C两点间的距离为y2cm.
小腾根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究.
（北京2019）
24.（6分）如图，P是与弦AB所围成的图形的外部的一定点，C是上一动点，连接PC交弦AB于点D.
小腾根据学习函数的经验，对线段PC，PD，AD的长度之间的关系进行了探究.
[分析与对比] 从文本的对比而言，2019年较为简洁，最明显的特征首先没有数据，没有自变量和函数的描述，这些差距体现在第一问问题设置的不同，所以这种差异性的发现，能够很有的帮助学生跳出中考前备考的思维定势（考前大家进行大量的模拟2018的训练），如何让这些训练成为正向引导，如何在考前备考中进行问题创新呢？不管如何变化，函数问题的“核”不会改变--自变量与函数.
第一问：
（2018）（1）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值;补全的表中各组数值所对应的点（x，y1），（x，y2），
（2019）（1）对于点C在上的不同位置，画图、测量，得到了线段PC，PD，AD的长度的几组值，如下表：
位置1 位置2 位置3 位置4 位置5 位置6 位置7 位置8
在PC，PD，AD的长度这三个量中，确定 的长度是自变量， 的长度和 的长度都是这个自变量的函数;
[分析与对比] 这两年的第一问在问题表象形式都是一样的，使用了函数的表格语言的形式呈现，但在问题的设置上有不同的方向， 2018年的问题从题目的叙述当中对于函数概念来说已经非常完善，明确描述了自变量和函数的归属问题， 顺延函数问题就是知自变量求函数值或知函数值求自变量，所以需要补全表格;而2019年在题目的描述中并没有自变量和函数，所以问题的设置是表格数据齐整，需要判断量的归属，进步更加强了对函数概念的理解，这一点在学生的学习过程中是突破了思维定势的，而者的选择是对概念的理解，判断主要通过数值的特征就可以解决.
[解题分析]
2018年的试题画图测量可获取结果，测量法，要求测量的方法、测量工具及读数的方法要正确，要求铅笔的运用要科学规范等等，实际上考察的是学生的数学活动过程中操作活动，同时也是学生解决实际问题中常用的生活方法;也可以从位置的特殊性给以数学求解：
2019年的试题要从“函数”概念中去甄别自变量和函数值，“设在一个运动变化过程中存在两个变量x和y，对于x的每一个值y都有唯一的值与之对应”，从这里读到：自变量与函数之间的对应关系，“一一对应”或者“一对应多”，它的外在表现就是自变量中不会有相同的数据而函数里是可以有相同的数据的.另外测量法获得的数据要按照题目的要求进行读取.
[解题策略] 测量方法、函数概念理解 特殊位置相关几何知识
[标准答案]
2018年（1）∵PA=6时，AB=6，BC=4.37，AC=4.11，∴AB2=AC2+BC2，
∴∠ACB=90°，∴AB是直径.当x=3时，PA=PB=PC=3，∴y1=3，故答案为3.
2019年（1）在PC，PD，AD的长度这三个量中，确定AD的长度是自变量，PC和PD的长度都是这个自变量的函数
第二问
（2018）（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y1），（x，y2），并畫出函数y1，y2的图象;
（2019）（2）在同一平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数的图象;
[分析对比] 从这问来看，差异性不大，2018年因为牵涉到两条曲线，所以在问题中先画出函数y2的图像，学生只需要画出函数y1的图像，画出函数y2的图像是给了学生一个示范性的作用，对学生在画函数y1的图像时又可参照;2019年只是要求画出两个函数y2、y1的函数图像.虽然都是在考察学生描点画函数图像但是与2018年相比难度加大了.
[解题分析]
函数的三种语言：数据表格、图像及解析式，三者之间可以相互转化，有的数学问题，我们要用解析式法表示比较困难，但是通过表格收集数据比较容易试验，这里面牵涉测量和画图，数据的录取等工作（在其间要关注一些特殊位置的数据），同时也要关注通过数据的分布特征对函数的发展趋势有一个细微的刻画;函数图像是函数一种直观化的图形语言，在描点、连线中要用光滑线条遵循函数的发展趋势，在画图过程中也要关注一些特殊点数据特征（与坐标轴的交点、渐近线、对称轴、对称中心等）. [解题策略] 描点、 连线 关注特殊点和特征点
[标准答案]
2018年 函数图象如图所示：
2019年 函数图象如图所示：
第三问
（2018年）
（3） 结合函数图象，解决问题：当△APC为等腰三角形时，AP的长度约为 cm.
（2019年）
（3）结合函数图象，解决问题：当PC=2PD时，AD的长度约为 cm.
[分析对比] 从试题的结构来看，差异性不到，2008年在沿袭2017年的基础上讨论等腰三角形的图形确定问题，首先是需要分类讨论等腰三角形的形状，进步把图形间的数量关系转化成相应自变量之间的函数关系，利用两个函数的函数图像解决问题（把几何问题转化为函数问题），体现了函数的应用;2019年在2018年的基础上有所变化，这种变化体现在两条线段的关系，这种关系，不是自变量与函数之间的关系，而是两个函数在同一自变量下函数值的关系，这是与上一年来比最大的变化与亮点.
[解题分析]
首先确定把几何量转化为代数量，两外看看两个代数量之间是否为函数关系，如果是函数关系，那就在建立新的函数关系，把问题求解转化为两个函数图像的交点问题，如果不是函数问题，寻找两个函数的公共点的问题;2019年比较是两个函数值之间大小关系，我们可以用平行于y轴的直线去截取函数图像，会得到“水帘线”，然后找到解决问题的方法
[解题策略] 数形结合（借助函数圖形）转化问题、估值（如何估出比较合理的数值）首先小数数位要和题目中所给的数据保持相同的小数位;第二要借助于正确的图象给予估计，在这里要看到函数自变量与函数之间的变化趋势来确定.
[标准答案]
2018年分类讨论：
自变量与函数之间的关系有：
当PA=PC时，即x=y，x=3
当PA=AC时，即x=y，x=4.91，
函数值之间的关系
当y1=y2时，即PC=AC时，x=5.77，
综上所述，满足条件的x的值为3或4.91或5.77.
2019年函数之间的关系：
2.29或者3.98
反思与推测
这类型问题的前生和今世和未来会怎么样，这类试题的出现使新课程改革的产物，早在2000--2010年，海淀区独立命题时就已经出现，主要是考察学生现场学习的能力，从一开始的几何作图，几何解题方法的学习，大多集中在几何领域中，后来的变化主要逐步向代数化转型，从2015年开始定位在函数章节，主要监测学生在初中数学的核心章节中是否学会了如何研究或者探究一个未知函数的相关知识，逐步演变为考察更丰富的、内涵更完满的一个借助函数解决问题的一个模型，但是每年都会有不同程度的变化和侧重，这可能也就是试题发展的需要吧;这样的问题经过这些年的考察还有多少有价值可挖掘的东西，有人在预测，会不会有变化，我个人认为变化不会很大，其实我们要做的是掌握学生的情况，他的弱点不是没有见过的而是最常见的，你譬如：我们把二次函数的变化记得清清楚楚，是不是真能让每个学生都能用数学语言描述出来，你譬海淀区2018年的有这样的问题，“②将抛物线沿y轴平移，使得它与x轴的两个交点间的距离为4，试描述出这一变化过程;”很多学生不知所云！个人认为，无论怎么变，知识的核心不会变化，多角度，多变化、多层次、多表达等方式，给“核心”一新外衣，新嫁衣！
总体概况
从2015年北京市中考开始，关于函数类型的学习型试题一直是中考试题中一个很重要一种题型，这种题型的经过了两个阶段的变化，第一个阶段是初中常用函数的整合型问题（2015、2016），第二个阶段（2017、2018、2019）主要内容是利用函数的知识解决有关动点的几何问题.这篇文章我们主要探讨第二阶段解决问题的策略.
学生答题概况
从学生的答题情况来看，普遍认为此题难度不大，但是要想拿到满分还是有一些困难，通过调研学生答题情况的问题在每一步中都会有不同程度的问题，这些问题说明我们在函数教学中对函数中的“核心概念”的理解不到位，例如：自变量是谁？函数是哪一个？只是简单的描点、连线，画图像的基本功不过关，以至于误差较大而导致了错误;另外对数学学科的基本要求不到位而导致的，譬如：测量的工具及方法、测量估值的方法等.（海淀区）
试题的比较与分析
下面以2018和2019年的试题对比来分析和探究解决问题的策略.
试题：
（北京2018）
24.（6分）如图，Q是与弦AB所围成的图形的内部的一定点，P是弦AB上一动点，连接PQ并延长交于点C，连接AC.已知AB=6cm，设A，P两点间的距离为xcm，P，C两点间的距离为y1cm，A，C两点间的距离为y2cm.
小腾根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究.
（北京2019）
24.（6分）如图，P是与弦AB所围成的图形的外部的一定点，C是上一动点，连接PC交弦AB于点D.
小腾根据学习函数的经验，对线段PC，PD，AD的长度之间的关系进行了探究.
[分析与对比] 从文本的对比而言，2019年较为简洁，最明显的特征首先没有数据，没有自变量和函数的描述，这些差距体现在第一问问题设置的不同，所以这种差异性的发现，能够很有的帮助学生跳出中考前备考的思维定势（考前大家进行大量的模拟2018的训练），如何让这些训练成为正向引导，如何在考前备考中进行问题创新呢？不管如何变化，函数问题的“核”不会改变--自变量与函数.
第一问：
（2018）（1）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值;补全的表中各组数值所对应的点（x，y1），（x，y2），
（2019）（1）对于点C在上的不同位置，画图、测量，得到了线段PC，PD，AD的长度的几组值，如下表：
位置1 位置2 位置3 位置4 位置5 位置6 位置7 位置8
在PC，PD，AD的长度这三个量中，确定 的长度是自变量， 的长度和 的长度都是这个自变量的函数;
[分析与对比] 这两年的第一问在问题表象形式都是一样的，使用了函数的表格语言的形式呈现，但在问题的设置上有不同的方向， 2018年的问题从题目的叙述当中对于函数概念来说已经非常完善，明确描述了自变量和函数的归属问题， 顺延函数问题就是知自变量求函数值或知函数值求自变量，所以需要补全表格;而2019年在题目的描述中并没有自变量和函数，所以问题的设置是表格数据齐整，需要判断量的归属，进步更加强了对函数概念的理解，这一点在学生的学习过程中是突破了思维定势的，而者的选择是对概念的理解，判断主要通过数值的特征就可以解决.
[解题分析]
2018年的试题画图测量可获取结果，测量法，要求测量的方法、测量工具及读数的方法要正确，要求铅笔的运用要科学规范等等，实际上考察的是学生的数学活动过程中操作活动，同时也是学生解决实际问题中常用的生活方法;也可以从位置的特殊性给以数学求解：
2019年的试题要从“函数”概念中去甄别自变量和函数值，“设在一个运动变化过程中存在两个变量x和y，对于x的每一个值y都有唯一的值与之对应”，从这里读到：自变量与函数之间的对应关系，“一一对应”或者“一对应多”，它的外在表现就是自变量中不会有相同的数据而函数里是可以有相同的数据的.另外测量法获得的数据要按照题目的要求进行读取.
[解题策略] 测量方法、函数概念理解 特殊位置相关几何知识
[标准答案]
2018年（1）∵PA=6时，AB=6，BC=4.37，AC=4.11，∴AB2=AC2+BC2，
∴∠ACB=90°，∴AB是直径.当x=3时，PA=PB=PC=3，∴y1=3，故答案为3.
2019年（1）在PC，PD，AD的长度这三个量中，确定AD的长度是自变量，PC和PD的长度都是这个自变量的函数
第二问
（2018）（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y1），（x，y2），并畫出函数y1，y2的图象;
（2019）（2）在同一平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数的图象;
[分析对比] 从这问来看，差异性不大，2018年因为牵涉到两条曲线，所以在问题中先画出函数y2的图像，学生只需要画出函数y1的图像，画出函数y2的图像是给了学生一个示范性的作用，对学生在画函数y1的图像时又可参照;2019年只是要求画出两个函数y2、y1的函数图像.虽然都是在考察学生描点画函数图像但是与2018年相比难度加大了.
[解题分析]
函数的三种语言：数据表格、图像及解析式，三者之间可以相互转化，有的数学问题，我们要用解析式法表示比较困难，但是通过表格收集数据比较容易试验，这里面牵涉测量和画图，数据的录取等工作（在其间要关注一些特殊位置的数据），同时也要关注通过数据的分布特征对函数的发展趋势有一个细微的刻画;函数图像是函数一种直观化的图形语言，在描点、连线中要用光滑线条遵循函数的发展趋势，在画图过程中也要关注一些特殊点数据特征（与坐标轴的交点、渐近线、对称轴、对称中心等）. [解题策略] 描点、 连线 关注特殊点和特征点
[标准答案]
2018年 函数图象如图所示：
2019年 函数图象如图所示：
第三问
（2018年）
（3） 结合函数图象，解决问题：当△APC为等腰三角形时，AP的长度约为 cm.
（2019年）
（3）结合函数图象，解决问题：当PC=2PD时，AD的长度约为 cm.
[分析对比] 从试题的结构来看，差异性不到，2008年在沿袭2017年的基础上讨论等腰三角形的图形确定问题，首先是需要分类讨论等腰三角形的形状，进步把图形间的数量关系转化成相应自变量之间的函数关系，利用两个函数的函数图像解决问题（把几何问题转化为函数问题），体现了函数的应用;2019年在2018年的基础上有所变化，这种变化体现在两条线段的关系，这种关系，不是自变量与函数之间的关系，而是两个函数在同一自变量下函数值的关系，这是与上一年来比最大的变化与亮点.
[解题分析]
首先确定把几何量转化为代数量，两外看看两个代数量之间是否为函数关系，如果是函数关系，那就在建立新的函数关系，把问题求解转化为两个函数图像的交点问题，如果不是函数问题，寻找两个函数的公共点的问题;2019年比较是两个函数值之间大小关系，我们可以用平行于y轴的直线去截取函数图像，会得到“水帘线”，然后找到解决问题的方法
[解题策略] 数形结合（借助函数圖形）转化问题、估值（如何估出比较合理的数值）首先小数数位要和题目中所给的数据保持相同的小数位;第二要借助于正确的图象给予估计，在这里要看到函数自变量与函数之间的变化趋势来确定.
[标准答案]
2018年分类讨论：
自变量与函数之间的关系有：
当PA=PC时，即x=y，x=3
当PA=AC时，即x=y，x=4.91，
函数值之间的关系
当y1=y2时，即PC=AC时，x=5.77，
综上所述，满足条件的x的值为3或4.91或5.77.
2019年函数之间的关系：
2.29或者3.98
反思与推测
这类型问题的前生和今世和未来会怎么样，这类试题的出现使新课程改革的产物，早在2000--2010年，海淀区独立命题时就已经出现，主要是考察学生现场学习的能力，从一开始的几何作图，几何解题方法的学习，大多集中在几何领域中，后来的变化主要逐步向代数化转型，从2015年开始定位在函数章节，主要监测学生在初中数学的核心章节中是否学会了如何研究或者探究一个未知函数的相关知识，逐步演变为考察更丰富的、内涵更完满的一个借助函数解决问题的一个模型，但是每年都会有不同程度的变化和侧重，这可能也就是试题发展的需要吧;这样的问题经过这些年的考察还有多少有价值可挖掘的东西，有人在预测，会不会有变化，我个人认为变化不会很大，其实我们要做的是掌握学生的情况，他的弱点不是没有见过的而是最常见的，你譬如：我们把二次函数的变化记得清清楚楚，是不是真能让每个学生都能用数学语言描述出来，你譬海淀区2018年的有这样的问题，“②将抛物线沿y轴平移，使得它与x轴的两个交点间的距离为4，试描述出这一变化过程;”很多学生不知所云！个人认为，无论怎么变，知识的核心不会变化，多角度，多变化、多层次、多表达等方式，给“核心”一新外衣，新嫁衣！