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摘要：一堂高品质的数学课必然注重学生的探究活动，必然注重在学生的探究活动中发展数学关键能力。本文以在同位角、内错角和同旁内角的教学为例，谈谈如何在数学探究学习中层级推进，由浅入深，一步步走向深度。
关键词：探索活动;初中数学;关键能力
中图分类号：G4 文献标识码：A
在初中平面几何的学习中，直接指向的关键能力，主要是空间想象能力，抽象思维能力和逻辑推理能力。一堂数学课的品质高低最重要的就是看是否能让学生获得数学关键能力的发展。而学生的关键能力不是靠被动接受就能获得的，主要依靠自己的探究而获得。一堂高品质的数学课必然是注重学生探究学习的课，必然注重在学生的探究活动中发展数学关键能力。在数学学习中探究活动，是一种层级推进的过程，整个探究应该由浅入深，层层深入，由具体到抽象，不断数学化的过程。本文以同位角、内错角和同旁内角的教学为例，谈谈如何在初中数学教学中通过探究学习，直指学生数学关键能力培养，并试图提供一种能够被模仿的实践性操作模式。
一、观察发现，感知概念，获得初步体验
数学概念虽然比较抽象，但认知的起点仍然是感性的。数学的探究学习过程实际上是一个层级推进的数学化过程。其起点常常是从形象、具体的事物，或便于学生感知的图形，当然有时也可以直接从已有的知识经验作为起点。越是低年级的学生越是需要从直观形象开始。初一年级的数学思维有了一定的发展，在具体的探究学习活动，并一定要非得建立在直观形象的事物的基础之上。但是如果能够很简便地为学生提供直观观察的学具，我们不妨为其提供直观形象的观察机会。通过动手操作、观察发现，常常可以让学生获得对概念的最初感知和体验。同位角等的概念虽然并不难，但对于刚刚接触平面几何不久的初中学生来说，在比较复杂的几何图形中认识辨认它们，还是有一定难度的。因此，我们可以从感性认识着手，降低概念的抽象程度和学生认知的难度。具体可以安排如下两个环节：
（一）动手摆一摆，发现“三线八角”。数学关键能力是有等级层次的，但是不管处于哪个层级，都需要以感知为基础，我们强调数学的“做中学”，就是这个道理。在本课教学中我们可以先让学生拿两根竹签摆一摆，看最多能摆出几个角。这是让学生复习旧知，重温同一顶点的对顶角和领补角的知识。在此基础上，让学生增加一根竹签，摆一摆，看看最多能摆出几个角。其目的是让学生对增加的第三根竹签，即“第三条线”留下深刻的印象。
（二）仔细观察，发现一个要点。数学观察能力和数学发现能力是最基本的数学关键能力。这一能力也是形成学生数学抽象能力的起点。学生在动手操作，发现三根竹签最多可以摆出八个角。在此基础上，教师指导学生细读教材中的相关定义，然后利用多媒体进行形象展示。多媒体可以方便地移动三条线的位置，变化交叉的方式，可以重点突出所需要展示的角，随时撤掉不需要的角，便于学生集中注意力进行有目的地观察。通过学生的仔细观察，不难发现这同位角、内错角和同旁内角具有一个共同的特点：“由两条直线被第三条直线所截”而得到的角。此时学生的思维已经由直观的数学图形向抽象的数学思维进发了。
从以上的两点我们可以看出，数学观察不同于通常情况的观察，它是带着特定的目的，以数学的思维方式进行的观察，是数学探究活动的最初层级。很显然在上述观察的第一步中，让学生注意“第三根竹签”，其目的是让学生在观察中自然地与“第三条直线”联系起来，为学生从“第三根竹签”抽象成“第三条直线”埋下伏笔。接下来的观察要求学生抓住特征进行观察，这一阶段虽然仍然以直观感性为特征，但目的就是让学生从数学的角度进行初步的数学抽象，由直观向抽象过渡。
二、自主探究，深入体悟，把握各自特点
学生经历了初步的直观性数学观察后，已经积累丰富的感性素材，获得了对概念的初步感知和体验。接下来就是从直观形象进入初步的数学抽象，跨出了“飞跃”性的一步。在这一步教师已经把学生的观察重点从直观性的实物“竹签”转移到了數学几何图形。学生凭借几何图形进行自主探究。
自主探究的重点是让学生亲历学习的过程。教师要为学生创设自主探究的平台，引导学生主动探索。在本课时的教学中，在第一个环节中我们让学生充分感知。
首先让学生通过简单图形辨认“三线八角”中同同位角、内错角和同旁内角的基本特征。发现同位角是在截线的同侧，处在两条被截直线同一方位。如图1中∠1与∠5，∠3与∠7等都在截线EF的同一侧.内错角是在截线的异侧，两被截线之间的两角，如∠3与∠5，∠4与∠6.同旁内角则处在截线的同一旁，处在两被截直线之间。如∠3与∠6，∠4与∠5。然后，让学生在比较复杂的图形中探寻同位角等，并用删除多余线条或用描红的方式进一步感知其各自的特征。 在学生的整个自主探究中，虽然还是借助直观图形，但在数学抽象的程度上迈出了一大步。学生在这个过程中一定会发现一些疑难问题，教师不要急于把结论教给学生，而是让学生自己思考，不能解决的问题留给后面进一步探究。
为了进一步把握同位角、内错角和同傍内角各自的特征，还需通过图形变形来深入探究。先利用变形的几何图形自主探究同位角的特征。如我们可以先让学生观察如下一组几何图形。（图2）让学生自主探究：（1）5个图形中∠1与∠2是什么角？（2）它们有什么共同特点。在自主探究中，学生会发现：这5个图形中的∠1与∠2都是同位角的关系，它们都是同位角图形的变形，两个角都在同一个方位的位置上，这些图形都有一个字母“F”的特征，当然这个F可能是正的，或者反的，横躺的，或者是倒着的。用同样的方法分别合作探究内错角和同傍内角的特征。学生经历如此特征分析，不仅把握了同位角、内错角和同傍内角的特征，也进一步理解了“同位”、“内错”和“同傍”的含义，而且也培养了学生的概括能力。
三、合作探究，讨论交流，抓住两个共性
在自主探究的基础上，一定要趁热打铁，引导学生合作探究和讨论交流。小组合作探究是指向关键能力的数学探索活动的核心环节。小组合作探究的主要目的是将探究活动引向深入。因此，小组合作探究一定要以学生的自主探究或独立思考为前提和基础，否则小组合作探究很可能成为一种有名无实的形式主义。小组合作讨论不只是数学认知上的交流，更应该是体现鲜活生命的富有思维碰撞的心灵沟通。在本课的合作探究中，教师可提供多个包含“三线八角”的简单图形和比较复杂的图形，让学生在讨论交流中总结归纳出同位角、内错角和同傍内角的共性。如，在我们可以通过变形图形让学生进一步探究这三对角的共同特性。 第1，都属于“三线八角”中不存在公共顶点的两个角。如图3中，∠1与∠6是同位角，∠2与∠5是内错角，∠1与∠5是同旁内角等，它们的共同特点是两个角没有共同顶点。第二，两个角的其中一条边都是截线，另一条边是被截线。如图3，∠1与∠6，∠ 2与∠5，∠1与∠5都有一边在直线DE上.另一条边所在的直线是被截线AC或BC.从图中找出这些角的关键是先找出“三线八角”的模型，只要找到两个角的边所在的公共直线（截线），就自然不难判断了。通过这两部的合作探究，学生从多个角度彻底完成了概念从实物到数学图形到数学概念的抽象过程，至此应该说一堂数学课的探究活动基本完成了。但从深度教学的要求来说，还需进一步提升。
合作探究应该让学生唱主角，但不能忽视教师的点拨和指导。教师可以利用即时评价激励和引导学生的合作探究活动。如学生在表述上使用“左边，右边”等词语，教师给以即时评价指出我们应该使用课本中的规范术语“同侧，同旁”等。有学生发现判断同位角的“诀窍”是先看两个角是不是在截线的同一侧，再看是不是在两条被截线的同一方向。教师可以当即肯定这一“诀窍”，并让学生推广到其他角的判断之中。这样既激发了学生的探究热情，又促进了学生合作探究水平的提高。
四、排除干扰，深入探究，练习中巩固提高
引发数学思考是数学探究活动中最有价值的行为。因此，我们不仅要在学习新知的时候引发学生数学思考，而且要把这种思考拓展到数学知识的实际应用中，在问题解决中进一步加大思维力度。概念的应用不仅是对学生概念理解与掌握程度的一个检测性评价，而且也是巩固和深化理解必不可少的环节。
常常会出现这样的情况，学生在学习新知的时候反而会感到比较容易理解，但在实际应用中一遇到比较复杂的情况思维就会受阻。所谓复杂的情况，常常是增加了一些条件和干扰因素。在这种情况下，我们要引领学生排除干扰因素，深入探究数学本质知识，为此在练习巩固环节我们不仅要设计一些检验教学效果的问题，更要设计一些有助于促进学生思维发展的探索性问题。
如同位角、内错角、同旁内角的认识在简单的图形中辨认是比较容易的，但掌握了各自特点和共性后，还需要让学生在复杂的图形中进行辨认练习，以巩固和提高已有的认识。而在复杂的图形中往往会有许多纵横交错的无关直线或线段造成的干扰，增加了学生辨认的困难。为此我们可以让学生把与之有关的直线（或线段）从图中提取出-来观察.在本课的练习巩固环节我们可以提供学生如下探究性问题深入探究：如图4中哪一对内错角是AD、BC被BD所截而得到的？分析：为了便于观察，我们可以把线段AD、BC、BD构成的图形从原来复杂的图形中提取出来（如图5），这样便一目了然地看出∠ ADB 与∠ CBD是AD、BC被BD所截得的内错角。这里不仅凸显了过程教学，而且注重了方法指导，学生能够在这样的数学学习中养成良好的数学学习习惯，获得終身受益的思维方法。
总之，指向数学关键能力的数学探索活动，应该贯穿于课堂教学的各个环节，而且应该是低起点，迈小步，逐步深入，最终能使学生的数学关键能力得到有效发展。
参考文献
[1]金晔. 关于课堂教学中数学探究活动的几点思考[J]. 中学数学教学参考，2008（06）.
[2]周栋念.初中数学课探究活动的探索与实践[J].中学教学参考，2018，（03）.
[3]曹一鸣，刘坚.促进学生数学核心素养与关键能力发展的教学研究[J].中小学课堂教学研究，2017（06）.
[4]曹一鸣， 王振平. 基于学生数学关键能力发展的教学改进研究[J]. 教育科学研究， 2018， 000（003）：61-65.
关键词：探索活动;初中数学;关键能力
中图分类号：G4 文献标识码：A
在初中平面几何的学习中，直接指向的关键能力，主要是空间想象能力，抽象思维能力和逻辑推理能力。一堂数学课的品质高低最重要的就是看是否能让学生获得数学关键能力的发展。而学生的关键能力不是靠被动接受就能获得的，主要依靠自己的探究而获得。一堂高品质的数学课必然是注重学生探究学习的课，必然注重在学生的探究活动中发展数学关键能力。在数学学习中探究活动，是一种层级推进的过程，整个探究应该由浅入深，层层深入，由具体到抽象，不断数学化的过程。本文以同位角、内错角和同旁内角的教学为例，谈谈如何在初中数学教学中通过探究学习，直指学生数学关键能力培养，并试图提供一种能够被模仿的实践性操作模式。
一、观察发现，感知概念，获得初步体验
数学概念虽然比较抽象，但认知的起点仍然是感性的。数学的探究学习过程实际上是一个层级推进的数学化过程。其起点常常是从形象、具体的事物，或便于学生感知的图形，当然有时也可以直接从已有的知识经验作为起点。越是低年级的学生越是需要从直观形象开始。初一年级的数学思维有了一定的发展，在具体的探究学习活动，并一定要非得建立在直观形象的事物的基础之上。但是如果能够很简便地为学生提供直观观察的学具，我们不妨为其提供直观形象的观察机会。通过动手操作、观察发现，常常可以让学生获得对概念的最初感知和体验。同位角等的概念虽然并不难，但对于刚刚接触平面几何不久的初中学生来说，在比较复杂的几何图形中认识辨认它们，还是有一定难度的。因此，我们可以从感性认识着手，降低概念的抽象程度和学生认知的难度。具体可以安排如下两个环节：
（一）动手摆一摆，发现“三线八角”。数学关键能力是有等级层次的，但是不管处于哪个层级，都需要以感知为基础，我们强调数学的“做中学”，就是这个道理。在本课教学中我们可以先让学生拿两根竹签摆一摆，看最多能摆出几个角。这是让学生复习旧知，重温同一顶点的对顶角和领补角的知识。在此基础上，让学生增加一根竹签，摆一摆，看看最多能摆出几个角。其目的是让学生对增加的第三根竹签，即“第三条线”留下深刻的印象。
（二）仔细观察，发现一个要点。数学观察能力和数学发现能力是最基本的数学关键能力。这一能力也是形成学生数学抽象能力的起点。学生在动手操作，发现三根竹签最多可以摆出八个角。在此基础上，教师指导学生细读教材中的相关定义，然后利用多媒体进行形象展示。多媒体可以方便地移动三条线的位置，变化交叉的方式，可以重点突出所需要展示的角，随时撤掉不需要的角，便于学生集中注意力进行有目的地观察。通过学生的仔细观察，不难发现这同位角、内错角和同旁内角具有一个共同的特点：“由两条直线被第三条直线所截”而得到的角。此时学生的思维已经由直观的数学图形向抽象的数学思维进发了。
从以上的两点我们可以看出，数学观察不同于通常情况的观察，它是带着特定的目的，以数学的思维方式进行的观察，是数学探究活动的最初层级。很显然在上述观察的第一步中，让学生注意“第三根竹签”，其目的是让学生在观察中自然地与“第三条直线”联系起来，为学生从“第三根竹签”抽象成“第三条直线”埋下伏笔。接下来的观察要求学生抓住特征进行观察，这一阶段虽然仍然以直观感性为特征，但目的就是让学生从数学的角度进行初步的数学抽象，由直观向抽象过渡。
二、自主探究，深入体悟，把握各自特点
学生经历了初步的直观性数学观察后，已经积累丰富的感性素材，获得了对概念的初步感知和体验。接下来就是从直观形象进入初步的数学抽象，跨出了“飞跃”性的一步。在这一步教师已经把学生的观察重点从直观性的实物“竹签”转移到了數学几何图形。学生凭借几何图形进行自主探究。
自主探究的重点是让学生亲历学习的过程。教师要为学生创设自主探究的平台，引导学生主动探索。在本课时的教学中，在第一个环节中我们让学生充分感知。
首先让学生通过简单图形辨认“三线八角”中同同位角、内错角和同旁内角的基本特征。发现同位角是在截线的同侧，处在两条被截直线同一方位。如图1中∠1与∠5，∠3与∠7等都在截线EF的同一侧.内错角是在截线的异侧，两被截线之间的两角，如∠3与∠5，∠4与∠6.同旁内角则处在截线的同一旁，处在两被截直线之间。如∠3与∠6，∠4与∠5。然后，让学生在比较复杂的图形中探寻同位角等，并用删除多余线条或用描红的方式进一步感知其各自的特征。 在学生的整个自主探究中，虽然还是借助直观图形，但在数学抽象的程度上迈出了一大步。学生在这个过程中一定会发现一些疑难问题，教师不要急于把结论教给学生，而是让学生自己思考，不能解决的问题留给后面进一步探究。
为了进一步把握同位角、内错角和同傍内角各自的特征，还需通过图形变形来深入探究。先利用变形的几何图形自主探究同位角的特征。如我们可以先让学生观察如下一组几何图形。（图2）让学生自主探究：（1）5个图形中∠1与∠2是什么角？（2）它们有什么共同特点。在自主探究中，学生会发现：这5个图形中的∠1与∠2都是同位角的关系，它们都是同位角图形的变形，两个角都在同一个方位的位置上，这些图形都有一个字母“F”的特征，当然这个F可能是正的，或者反的，横躺的，或者是倒着的。用同样的方法分别合作探究内错角和同傍内角的特征。学生经历如此特征分析，不仅把握了同位角、内错角和同傍内角的特征，也进一步理解了“同位”、“内错”和“同傍”的含义，而且也培养了学生的概括能力。
三、合作探究，讨论交流，抓住两个共性
在自主探究的基础上，一定要趁热打铁，引导学生合作探究和讨论交流。小组合作探究是指向关键能力的数学探索活动的核心环节。小组合作探究的主要目的是将探究活动引向深入。因此，小组合作探究一定要以学生的自主探究或独立思考为前提和基础，否则小组合作探究很可能成为一种有名无实的形式主义。小组合作讨论不只是数学认知上的交流，更应该是体现鲜活生命的富有思维碰撞的心灵沟通。在本课的合作探究中，教师可提供多个包含“三线八角”的简单图形和比较复杂的图形，让学生在讨论交流中总结归纳出同位角、内错角和同傍内角的共性。如，在我们可以通过变形图形让学生进一步探究这三对角的共同特性。 第1，都属于“三线八角”中不存在公共顶点的两个角。如图3中，∠1与∠6是同位角，∠2与∠5是内错角，∠1与∠5是同旁内角等，它们的共同特点是两个角没有共同顶点。第二，两个角的其中一条边都是截线，另一条边是被截线。如图3，∠1与∠6，∠ 2与∠5，∠1与∠5都有一边在直线DE上.另一条边所在的直线是被截线AC或BC.从图中找出这些角的关键是先找出“三线八角”的模型，只要找到两个角的边所在的公共直线（截线），就自然不难判断了。通过这两部的合作探究，学生从多个角度彻底完成了概念从实物到数学图形到数学概念的抽象过程，至此应该说一堂数学课的探究活动基本完成了。但从深度教学的要求来说，还需进一步提升。
合作探究应该让学生唱主角，但不能忽视教师的点拨和指导。教师可以利用即时评价激励和引导学生的合作探究活动。如学生在表述上使用“左边，右边”等词语，教师给以即时评价指出我们应该使用课本中的规范术语“同侧，同旁”等。有学生发现判断同位角的“诀窍”是先看两个角是不是在截线的同一侧，再看是不是在两条被截线的同一方向。教师可以当即肯定这一“诀窍”，并让学生推广到其他角的判断之中。这样既激发了学生的探究热情，又促进了学生合作探究水平的提高。
四、排除干扰，深入探究，练习中巩固提高
引发数学思考是数学探究活动中最有价值的行为。因此，我们不仅要在学习新知的时候引发学生数学思考，而且要把这种思考拓展到数学知识的实际应用中，在问题解决中进一步加大思维力度。概念的应用不仅是对学生概念理解与掌握程度的一个检测性评价，而且也是巩固和深化理解必不可少的环节。
常常会出现这样的情况，学生在学习新知的时候反而会感到比较容易理解，但在实际应用中一遇到比较复杂的情况思维就会受阻。所谓复杂的情况，常常是增加了一些条件和干扰因素。在这种情况下，我们要引领学生排除干扰因素，深入探究数学本质知识，为此在练习巩固环节我们不仅要设计一些检验教学效果的问题，更要设计一些有助于促进学生思维发展的探索性问题。
如同位角、内错角、同旁内角的认识在简单的图形中辨认是比较容易的，但掌握了各自特点和共性后，还需要让学生在复杂的图形中进行辨认练习，以巩固和提高已有的认识。而在复杂的图形中往往会有许多纵横交错的无关直线或线段造成的干扰，增加了学生辨认的困难。为此我们可以让学生把与之有关的直线（或线段）从图中提取出-来观察.在本课的练习巩固环节我们可以提供学生如下探究性问题深入探究：如图4中哪一对内错角是AD、BC被BD所截而得到的？分析：为了便于观察，我们可以把线段AD、BC、BD构成的图形从原来复杂的图形中提取出来（如图5），这样便一目了然地看出∠ ADB 与∠ CBD是AD、BC被BD所截得的内错角。这里不仅凸显了过程教学，而且注重了方法指导，学生能够在这样的数学学习中养成良好的数学学习习惯，获得終身受益的思维方法。
总之，指向数学关键能力的数学探索活动，应该贯穿于课堂教学的各个环节，而且应该是低起点，迈小步，逐步深入，最终能使学生的数学关键能力得到有效发展。
参考文献
[1]金晔. 关于课堂教学中数学探究活动的几点思考[J]. 中学数学教学参考，2008（06）.
[2]周栋念.初中数学课探究活动的探索与实践[J].中学教学参考，2018，（03）.
[3]曹一鸣，刘坚.促进学生数学核心素养与关键能力发展的教学研究[J].中小学课堂教学研究，2017（06）.
[4]曹一鸣， 王振平. 基于学生数学关键能力发展的教学改进研究[J]. 教育科学研究， 2018， 000（003）：61-65.