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【摘要】 “数学课程标准”（实验稿）中指出：数学课程的设计与实施应重视运用现代信息技术，特别要充分考虑计算器、计算机对数学学习内容和方式的影响，大力开发并向学生提供更为丰富的学习资源，把现代信息技术作为学生学习数学和解决问题的强有力工具. 随着信息技术的快速发展及其与数学课程整合的不断深入，信息技术在数学教学中的运用也越来越广泛. 要将信息技术有效运用于数学教学，应着眼于对学生数学思维品质的培养，尤其是数学思维深刻性的培养. 将信息技术运用于数学教学的目的是使学生在分析和解决数学问题过程中，能借助信息技术更好地认识和把握问题的实质及其相互关系，从特殊中探索出一般规律，或对已有结果进行变换、推广，从而真正领会数学的精神、思想方法.
下面从数学教学过程中创设情境、演示变换、启发思考、开展实验几方面，探讨数学教学中如何有效运用信息技术，以促进学生对数学本质的认识和数学思想方法的感悟，发展数学思维的深刻性.
１. 用信息技术创设情境重在促进数学探究
教师在对数学教学内容进行分析、提取、重组和综合的基础上，利用多媒体技术，创设丰富的数学教学情境. 利用视、听两种传递方式，展现形象生动的画面、声像同步的情境，充分调动学生的多种感官，将数学内容中本质的、重要的信息多方位、多层次、多角度地凸显出来，引导学生自己发现和探索，使学生在观察、理解、认识的基础上获取数学知识，掌握事物的本质.
例如，在教“数列递推公式”这部分内容时，我先给学生叙述了一个古老的传说——汉诺塔问题，学生被故事情节深深地吸引了. 接着让学生上网打开教师预设的汉诺塔游戏，自己动手实践，进行探究活动. 在学生经过了一定时间的实践后，我请两位动作最快的学生演示了他们分别搬运３块、４块石板的过程，同时提出问题：他们的搬运次数是不是最少的？同学们能否根据搬３块、４块的规律，推算出５块、６块的搬运次数？至此学生的注意力由先前的玩游戏状态进入到了思考问题、解决问题的探索活动. 很快学生在鼠标的反复点击演示中发现：搬运５块石板与搬运４块石板的内在联系，并且在老师的引导下主动列出数列的递推公式，在随后的动笔运算中，发现原来汉诺塔问题中搬运６４块石板竟然需要５８００多亿年时间，在学生的一片惊叹声中，问题得以成功解决.
这里，教师并没有花大力气去讲解数列递推关系的本质，而是重点考虑如何运用信息技术，让问题中静止的石板可以搬动起来，以此引发学生的动手欲望，帮助学生对问题的理解、分析与归纳，提供学生更好的探究实践平台. 从课堂反应来看，收到了很好的效果.
以上案例是用多媒体技术，根据教学内容，为学生创设一个模拟的数学环境，在这个数学实验情境中，学生在教师的指导下，可以充分按照自己的意图，去改变石板数量的条件，观察不同条件产生的结果，从中发现问题、总结规律、验证自己的猜想的数学教学活动.
２. 用信息技术演示变换重在感悟思想方法
在传统教学中，由于受到教学媒体的限制，大部分知识只能由教师静态地传授给学生，不利于学生的理解和记忆. “粉笔 ＋ 黑板”的教学手段，是难以进行“动态处理”的，导致学生难以形成良好的运动观. 运用多媒体技术，教师可以围绕某一数学主题，为学生创设主题运动情境，将“形”与“数”有机结合起来，将知识进行动态处理，把运动和变化的数学问题展现在学生面前，对丰富学生的数学动态感知具有特别的作用.
请看这样一个问题：当ｘ∈［３，４］时，求函数ｆ（ｘ） ＝ ｘ２ － ２ａｘ ＋ ａ２ － ａ ＋ １的最大、最小值． 这是一个含有参变量ａ的一元二次函数在闭区间上求最值的问题，其研究对象是随着ａ取值范围不同而变化的. 以往经验告诉我，这一环节我再怎样放慢速度、变换组织语言表达方式，都有相当一部分学生由于想象力的影响，导致难以准确理解二次抛物线的运动变化. 但利用《几何画板》软件制作的教学课件后，情况就大为改善. 学生在一个个动态变化的情境中，看到了运动变化的过程，体会了其中参数与对称轴位置之间存在的依赖关系，领悟了运动背后所隐含的变化规律，其效果是文字教材和语言描述无法达到的. 在其后给出的问题变式训练中，学生也能举一反三，顺利解决. 这种成功背后反映的是学生的学习不再是停留在对一道问题的简单了解，而是领悟了一类问题处理的思想方法.
在教学时，如果运用信息技术只是为节省时间而起一个呈现题目或画图的作用，那本质上与不运用它直接在黑板上画图解决没什么两样. 信息技术在图形变换、动画等方面有很大的优势，教师如果能充分利用这一点，在解题教学过程中，让问题中某些变量动起来，或者对问题进行变式，将会使学生在问题获得解决的同时，体会出数学蕴涵的精神、思想和方法.
３. 用信息技术启发思考重在抓住概念本质
信息技术对教学的支持，促进了教学环境的变化，环境的变化把重点从以教师为中心，转变为以学生为中心，教学模式由以教为主转变成以学为主. 教师可以通过计算机提供的多元呈现方式进行展示，引导学生观察分析，再逐步进行抽象，为学生创建空间想象的平台.
例如，在讲授“用定义法求解动点轨迹”一节内容时，我先给出问题：已知圆Ａ、圆Ｂ内切于点Ｑ，圆Ａ半径为ｒ，圆Ｂ半径为３ｒ，动圆Ｐ与圆Ａ外切，与圆Ｂ内切. 求动圆圆心Ｐ的轨迹.
在给出问题后我先要求学生独立思考，通过观察发现班级中四名学习一贯超前的学生能顺利解决，此外还有四、五名没有动笔，其余学生都根据以往的经验设动点坐标为（ｘ，ｙ），并且列出了两圆内切、外切时圆心距之间的关系式，但在尝试用两点之间距离公式进行演算化简时都遇到了困难，于是我说：“看来要解决这个问题似乎有点困难，那么让我们先来看一下电脑给我们演示的结果吧.”
学生看完多媒体动画演示的轨迹后，都脱口而出说动点轨迹是一个椭圆，此时我问：“既然你们认为是一个椭圆，那图形上的动点Ｐ一定满足椭圆的定义，即到两定点的距离之和为一常数，且这一常数大于两定点之间的距离. 如果是这样的话，那定点在哪里？” 学生马上回答出是Ａ，Ｂ两点；接着我再通过电脑度量的数据进行验证肯定了学生的结论：最后我简单分析了一下此题的解决与以前求动点轨迹方法的不同，告诉学生这种方法称为“定义法” .
其实上课前我也曾经犹豫过，担心事先用多媒体技术进行轨迹图形的演示会阻碍学生进一步思考问题，所以在两个教学班中采取不同方式进行比较. 结果发现在学生尝试用两点之间距离公式进行演算化简遇到困难时，处理直截了当外，很难用准确的问题引导、暗示学生去观察点Ｐ与点Ａ，Ｂ之间的数量关系. 而先用动画展示结果进行启发，学生就会根据椭圆定义主动去寻找动点、定点之间的内在联系. 在第二问的实践练习中，绝大多数学生并没有去猜测轨迹的形状，都能自觉去探索题目中动点、定点之间的数量联系. 从这一点可以看出虽然学生是在电脑的演示下解决了第一问，但他们在接受知识的同时已经自动的把方法纳入了自己的知识体系与思维方法，并且开始尝试应用，这其实也是培养学生逻辑思维能力的过程. 所以在第一问学生思维受阻的情况下，先给出结论引发学生探究，这种教学调整是有效的，是符合学生最近发展区的.
由此，利用适当的信息技术手段，通过动画模拟，解除了学生凭空想象、难以理解之苦，使他们勇于积极思维，寻找图形中的内在联系和进行公式推导的能力大为加强. 而且通过用鼠标拖动或用参数的变化驱动图形中的某些对象，在变化和运动中多方位、多层次地观察几何图形，可以变抽象为具体，变复杂为简单，变隐形为显形，从而达到拓宽思维角度，化解教学难点，突出教学重点的目的.
４. 用信息技术开展试验重在揭示新知内涵
Ｇ·波利亚提出，“数学有两个侧面，一方面它是欧几里德式的严谨科学. 从这个方面看，数学是一门系统的演绎科学；但另一方面，创造过程中的数学，看起来更像一门实验性的归纳科学”，数学的创新教育，更需要数学实验、猜想. 在数学实验中，观察、分析、对比、归纳、建立关系，处理数据、发现规律，而信息技术的应用给数学实验提供了可能.
例如，在“双曲线概念”课的引入设计中，我先给出问题：已知点Ｂ是圆Ｃ上一动点，点Ａ在圆内，线段ＡＢ的垂直平分线交直线ＢＣ于点Ｅ，问：当点Ｂ在圆上运动时，点Ｅ的轨迹是什么？由于前节课学生对于用定义法求解动点轨迹这一内容掌握得较好，所以问题给出后不到两分钟，我发现全班多数学生都能够求出动点的轨迹. 紧接着我问学生：如果点Ａ不在圆内，其余条件不改变，那么结论又如何呢？
学生陷入了思考，但显然很难理出头绪，对此问一筹莫展. 此时我邀请一名学生上来自己拖动点Ａ，看看轨迹究竟是怎样的. 在图形变化的一瞬间学生们发出了惊讶的叹息声，部分学生在看到图形变化时已经讲出轨迹是双曲线. 于是我请学生观察动点与定点之间的隐含关系，自己给双曲线下一个定义. 经过一定时间的思考，我观察到很多学生都得到了较为准确的结论，于是想请一名平时反应较慢、估计会有困难的学生来回答，这样可以让我加以慢慢引导. 但是这名学生的回答让我出乎意料，他说出了离准确答案仅差一步的结论，让我几乎有点不知所措. 事后想想还是很欣慰的，连他都说出了双曲线的大致定义，说明这一环节的教学设计是十分成功的.
紧接着我演示点Ｂ的运动情况请学生们再次观察曲线上点Ｅ是否满足同学们自己归纳出来的条件，他们很快发现自己的结论中“到两定点的距离之差为一常数”中不准确的部分并加以了修正，此时我请学生看双曲线的完整定义可谓水到渠成. 从学生兴奋的表情和眼神中我知道他们感受到了数学的魅力与学习的快乐. 因为他们不是在被动地接受新知识，而是积极地在参与，利用其原有认知结构中的有关知识和经验，去同化当前学习到的新知识，赋予新知识以某种意义——这对数学知识的迁移是一个重要的过程.
在教材中，类似于这样的内容不少，它们本身就是很好的探究学习素材. 在教学时，教师如果能结合教学内容并适当运用信息技术，让学生通过做“数学实验”去主动发现、主动探索，不仅使学生的观察分析能力、逻辑思维能力和空间想象能力得到了较好的训练，而且还有效地培养了学生的发散思维和直觉思维.
在教学实践中，我深深地体会到：要改变学生的学习方式，教师应根据学生已有的生活经验，通过开放式教学，让学生在主动自由的探索、发现过程中掌握新知识，在加强研究性学习的同时，要关注接受性学习的改善和创新. 同时，要善于把信息技术与数学教学进行整合，不是简单地把它作为辅助教师教学的演示工具，而是要有机结合，融为一体，为学生的学习和发展提供丰富多彩的教育环境和有力的学习工具，使课堂教学信息传播的渠道更加宽广. 我相信：信息技术可以让数学课堂“活”起来，让学生的脑子“动”起来，更让我们的课堂教学“精彩”起来！
下面从数学教学过程中创设情境、演示变换、启发思考、开展实验几方面，探讨数学教学中如何有效运用信息技术，以促进学生对数学本质的认识和数学思想方法的感悟，发展数学思维的深刻性.
１. 用信息技术创设情境重在促进数学探究
教师在对数学教学内容进行分析、提取、重组和综合的基础上，利用多媒体技术，创设丰富的数学教学情境. 利用视、听两种传递方式，展现形象生动的画面、声像同步的情境，充分调动学生的多种感官，将数学内容中本质的、重要的信息多方位、多层次、多角度地凸显出来，引导学生自己发现和探索，使学生在观察、理解、认识的基础上获取数学知识，掌握事物的本质.
例如，在教“数列递推公式”这部分内容时，我先给学生叙述了一个古老的传说——汉诺塔问题，学生被故事情节深深地吸引了. 接着让学生上网打开教师预设的汉诺塔游戏，自己动手实践，进行探究活动. 在学生经过了一定时间的实践后，我请两位动作最快的学生演示了他们分别搬运３块、４块石板的过程，同时提出问题：他们的搬运次数是不是最少的？同学们能否根据搬３块、４块的规律，推算出５块、６块的搬运次数？至此学生的注意力由先前的玩游戏状态进入到了思考问题、解决问题的探索活动. 很快学生在鼠标的反复点击演示中发现：搬运５块石板与搬运４块石板的内在联系，并且在老师的引导下主动列出数列的递推公式，在随后的动笔运算中，发现原来汉诺塔问题中搬运６４块石板竟然需要５８００多亿年时间，在学生的一片惊叹声中，问题得以成功解决.
这里，教师并没有花大力气去讲解数列递推关系的本质，而是重点考虑如何运用信息技术，让问题中静止的石板可以搬动起来，以此引发学生的动手欲望，帮助学生对问题的理解、分析与归纳，提供学生更好的探究实践平台. 从课堂反应来看，收到了很好的效果.
以上案例是用多媒体技术，根据教学内容，为学生创设一个模拟的数学环境，在这个数学实验情境中，学生在教师的指导下，可以充分按照自己的意图，去改变石板数量的条件，观察不同条件产生的结果，从中发现问题、总结规律、验证自己的猜想的数学教学活动.
２. 用信息技术演示变换重在感悟思想方法
在传统教学中，由于受到教学媒体的限制，大部分知识只能由教师静态地传授给学生，不利于学生的理解和记忆. “粉笔 ＋ 黑板”的教学手段，是难以进行“动态处理”的，导致学生难以形成良好的运动观. 运用多媒体技术，教师可以围绕某一数学主题，为学生创设主题运动情境，将“形”与“数”有机结合起来，将知识进行动态处理，把运动和变化的数学问题展现在学生面前，对丰富学生的数学动态感知具有特别的作用.
请看这样一个问题：当ｘ∈［３，４］时，求函数ｆ（ｘ） ＝ ｘ２ － ２ａｘ ＋ ａ２ － ａ ＋ １的最大、最小值． 这是一个含有参变量ａ的一元二次函数在闭区间上求最值的问题，其研究对象是随着ａ取值范围不同而变化的. 以往经验告诉我，这一环节我再怎样放慢速度、变换组织语言表达方式，都有相当一部分学生由于想象力的影响，导致难以准确理解二次抛物线的运动变化. 但利用《几何画板》软件制作的教学课件后，情况就大为改善. 学生在一个个动态变化的情境中，看到了运动变化的过程，体会了其中参数与对称轴位置之间存在的依赖关系，领悟了运动背后所隐含的变化规律，其效果是文字教材和语言描述无法达到的. 在其后给出的问题变式训练中，学生也能举一反三，顺利解决. 这种成功背后反映的是学生的学习不再是停留在对一道问题的简单了解，而是领悟了一类问题处理的思想方法.
在教学时，如果运用信息技术只是为节省时间而起一个呈现题目或画图的作用，那本质上与不运用它直接在黑板上画图解决没什么两样. 信息技术在图形变换、动画等方面有很大的优势，教师如果能充分利用这一点，在解题教学过程中，让问题中某些变量动起来，或者对问题进行变式，将会使学生在问题获得解决的同时，体会出数学蕴涵的精神、思想和方法.
３. 用信息技术启发思考重在抓住概念本质
信息技术对教学的支持，促进了教学环境的变化，环境的变化把重点从以教师为中心，转变为以学生为中心，教学模式由以教为主转变成以学为主. 教师可以通过计算机提供的多元呈现方式进行展示，引导学生观察分析，再逐步进行抽象，为学生创建空间想象的平台.
例如，在讲授“用定义法求解动点轨迹”一节内容时，我先给出问题：已知圆Ａ、圆Ｂ内切于点Ｑ，圆Ａ半径为ｒ，圆Ｂ半径为３ｒ，动圆Ｐ与圆Ａ外切，与圆Ｂ内切. 求动圆圆心Ｐ的轨迹.
在给出问题后我先要求学生独立思考，通过观察发现班级中四名学习一贯超前的学生能顺利解决，此外还有四、五名没有动笔，其余学生都根据以往的经验设动点坐标为（ｘ，ｙ），并且列出了两圆内切、外切时圆心距之间的关系式，但在尝试用两点之间距离公式进行演算化简时都遇到了困难，于是我说：“看来要解决这个问题似乎有点困难，那么让我们先来看一下电脑给我们演示的结果吧.”
学生看完多媒体动画演示的轨迹后，都脱口而出说动点轨迹是一个椭圆，此时我问：“既然你们认为是一个椭圆，那图形上的动点Ｐ一定满足椭圆的定义，即到两定点的距离之和为一常数，且这一常数大于两定点之间的距离. 如果是这样的话，那定点在哪里？” 学生马上回答出是Ａ，Ｂ两点；接着我再通过电脑度量的数据进行验证肯定了学生的结论：最后我简单分析了一下此题的解决与以前求动点轨迹方法的不同，告诉学生这种方法称为“定义法” .
其实上课前我也曾经犹豫过，担心事先用多媒体技术进行轨迹图形的演示会阻碍学生进一步思考问题，所以在两个教学班中采取不同方式进行比较. 结果发现在学生尝试用两点之间距离公式进行演算化简遇到困难时，处理直截了当外，很难用准确的问题引导、暗示学生去观察点Ｐ与点Ａ，Ｂ之间的数量关系. 而先用动画展示结果进行启发，学生就会根据椭圆定义主动去寻找动点、定点之间的内在联系. 在第二问的实践练习中，绝大多数学生并没有去猜测轨迹的形状，都能自觉去探索题目中动点、定点之间的数量联系. 从这一点可以看出虽然学生是在电脑的演示下解决了第一问，但他们在接受知识的同时已经自动的把方法纳入了自己的知识体系与思维方法，并且开始尝试应用，这其实也是培养学生逻辑思维能力的过程. 所以在第一问学生思维受阻的情况下，先给出结论引发学生探究，这种教学调整是有效的，是符合学生最近发展区的.
由此，利用适当的信息技术手段，通过动画模拟，解除了学生凭空想象、难以理解之苦，使他们勇于积极思维，寻找图形中的内在联系和进行公式推导的能力大为加强. 而且通过用鼠标拖动或用参数的变化驱动图形中的某些对象，在变化和运动中多方位、多层次地观察几何图形，可以变抽象为具体，变复杂为简单，变隐形为显形，从而达到拓宽思维角度，化解教学难点，突出教学重点的目的.
４. 用信息技术开展试验重在揭示新知内涵
Ｇ·波利亚提出，“数学有两个侧面，一方面它是欧几里德式的严谨科学. 从这个方面看，数学是一门系统的演绎科学；但另一方面，创造过程中的数学，看起来更像一门实验性的归纳科学”，数学的创新教育，更需要数学实验、猜想. 在数学实验中，观察、分析、对比、归纳、建立关系，处理数据、发现规律，而信息技术的应用给数学实验提供了可能.
例如，在“双曲线概念”课的引入设计中，我先给出问题：已知点Ｂ是圆Ｃ上一动点，点Ａ在圆内，线段ＡＢ的垂直平分线交直线ＢＣ于点Ｅ，问：当点Ｂ在圆上运动时，点Ｅ的轨迹是什么？由于前节课学生对于用定义法求解动点轨迹这一内容掌握得较好，所以问题给出后不到两分钟，我发现全班多数学生都能够求出动点的轨迹. 紧接着我问学生：如果点Ａ不在圆内，其余条件不改变，那么结论又如何呢？
学生陷入了思考，但显然很难理出头绪，对此问一筹莫展. 此时我邀请一名学生上来自己拖动点Ａ，看看轨迹究竟是怎样的. 在图形变化的一瞬间学生们发出了惊讶的叹息声，部分学生在看到图形变化时已经讲出轨迹是双曲线. 于是我请学生观察动点与定点之间的隐含关系，自己给双曲线下一个定义. 经过一定时间的思考，我观察到很多学生都得到了较为准确的结论，于是想请一名平时反应较慢、估计会有困难的学生来回答，这样可以让我加以慢慢引导. 但是这名学生的回答让我出乎意料，他说出了离准确答案仅差一步的结论，让我几乎有点不知所措. 事后想想还是很欣慰的，连他都说出了双曲线的大致定义，说明这一环节的教学设计是十分成功的.
紧接着我演示点Ｂ的运动情况请学生们再次观察曲线上点Ｅ是否满足同学们自己归纳出来的条件，他们很快发现自己的结论中“到两定点的距离之差为一常数”中不准确的部分并加以了修正，此时我请学生看双曲线的完整定义可谓水到渠成. 从学生兴奋的表情和眼神中我知道他们感受到了数学的魅力与学习的快乐. 因为他们不是在被动地接受新知识，而是积极地在参与，利用其原有认知结构中的有关知识和经验，去同化当前学习到的新知识，赋予新知识以某种意义——这对数学知识的迁移是一个重要的过程.
在教材中，类似于这样的内容不少，它们本身就是很好的探究学习素材. 在教学时，教师如果能结合教学内容并适当运用信息技术，让学生通过做“数学实验”去主动发现、主动探索，不仅使学生的观察分析能力、逻辑思维能力和空间想象能力得到了较好的训练，而且还有效地培养了学生的发散思维和直觉思维.
在教学实践中，我深深地体会到：要改变学生的学习方式，教师应根据学生已有的生活经验，通过开放式教学，让学生在主动自由的探索、发现过程中掌握新知识，在加强研究性学习的同时，要关注接受性学习的改善和创新. 同时，要善于把信息技术与数学教学进行整合，不是简单地把它作为辅助教师教学的演示工具，而是要有机结合，融为一体，为学生的学习和发展提供丰富多彩的教育环境和有力的学习工具，使课堂教学信息传播的渠道更加宽广. 我相信：信息技术可以让数学课堂“活”起来，让学生的脑子“动”起来，更让我们的课堂教学“精彩”起来！