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【教学内容】人教版六下第87页例3。
【教学目标】
1. 引导学生回忆、整理平面图形的周长和面积的计算公式及公式的推导过程，能熟练地应用公式进行计算。
2. 引导学生探寻知识之间的相互联系，构建知识网络，加深对知识的理解，并从中学会整理知识，掌握学习方法。
3. 让学生在解决问题的过程中体验学习数学的乐趣，培养其创新意识。
【教学重点】复习平面图形的周长、面积的计算公式及推导过程，并能熟练地应用公式进行计算。
【教学难点】探索面积计算公式间的内在联系，构建知识网络。
【教学过程】
一、谈话导入
师：今天，我们一起来复习平面图形的周长和面积，我们学过哪些平面图形呢？（基于学生的反馈，教师在黑板上无规律地贴上平面图形纸片：圆、长方形、三角形、正方形、梯形、平行四边形）
师：什么是周长？什么是面积？谁能举例说明？
二、小组交流
1.学生介绍计算公式。
师：大家已经认真阅读过第87页例3，谁来介绍一下周长与面积的计算公式。
学生介绍，并说明写字母公式时要注意的事项。
2.小组交流“学习研究”中的三个问题。
师：现在四人组小组交流“学习研究”中的三个问题，交流后你可以修改、补充、完善自己的想法。
“平面图形周长和面积的复习”学习研究
認真阅读第87页例3，把计算公式填写完整。思考并回答以下问题：
1. 我们学过哪些平面图形的周长计算方法？为什么有些图形有计算公式？有些没有？把你的想法写下来。
2. 在探究这些平面图形面积计算公式时，用到了什么学习方法？请举例说明。
3. 这些面积计算公式可以少记几个吗？你觉得其中哪个面积计算公式最重要？把你的想法写下来。
设计意图：课前分发的“学习研究”为学生在课堂上交流做了充分的准备。以前由于课堂上时间的限制，学生往往只能“浅思考”，而让学生课前先想、先研究，便能提供给学生更大的时空展现自己。每位学生都能带着想法、疑问走进课堂的时候，便能展开充分的交流互动学习。
三、全班交流
1. 分享第一个问题。
教师请小组汇报第一个问题，其他小组可以补充、复述、提问、评价等。
小组反馈、介绍。
师总结：计算图形周长最基本的方法是将各边长度相加。但是因为长方形、正方形、圆的边的长度有规律——长方形对边相等，正方形四条边都相等，圆的周长总是直径的“π”倍，所以这3个图形周长有简便计算的公式，而三角形、梯形的边长一般情况下并不相等，只能将各条边的长度加起来求周长。
2. 分享第二个问题。
各小组介绍的时候，教师课件演示：突出转化成什么图形，转化前后图形的联系。
设计意图：知识整理的过程中，不仅要重视数学知识的整体把握，更要重视对隐性的数学思想方法的感悟与体验，这样才能触类旁通，培养举一反三的知识迁移能力。本环节将转化思想清晰地凸显出来。
四、巧妙沟通，促进发展
1. 横向比较，从深处挖。
师：6个面积计算公式，可以少记几个吗？你觉得其中哪个面积公式最重要？（预设反馈为长方形）
师：其他同学同意吗？请给出支持或反对的理由。
生小结：正方形、圆与平行四边形，都可以转化成长方形来计算，即使你忘记了公式，但是只要你懂得转化成长方形，也就懂得计算它们的面积了。而三角形、梯形又可以先转化成平行四边形来计算。所以长方形的面积计算公式最重要，也是最基础的。
师：说明这6种平面图形之间是有联系的，你能画一张图来表示出图形与图形间的联系吗？
学生独立构建知识网络图，教师巡视。
展示作品并汇报（如图1）：
学生反馈：最先学习的是长方形面积公式，它可以推导出正方形、圆形、平行四边形面积公式；平行四边形面积公式，又可以推导出三角形和梯形面积公式。请同学们从右往左看，梯形和三角形面积公式，是通过转化成平行四边形来研究的，平行四边形、圆形、正方形面积公式是通过转化成长方形来研究的，所以长方形是基础。
师：你们的想法和书中的表述不谋而合，如果把这张图转动一下，会是怎样的呢？
教师移动黑板上的教具，再用粉笔随手添上树枝和树冠。（如图2）
师：这像一棵树，从下往上看，是树的生长过程，也就是知识的生长过程，（板书：生长）长方形是学习各种图形的基础，由上往下看是我们学习的方法——转化（板书）。
师：当研究新图形遇到困难时，往往转化成学过的旧图形来研究，转化这种方法不仅应用于平面图形的研究，数学学习中很多地方都可以见到它的身影，比如计算方法的探究、立体图形的研究等，它是数学上一种很重要的学习方法。
2. 纵向迁移，向宽处行。
师：当我们回头看时，原来图形之间有着密切的联系，真奇妙！更神奇的是，这6个面积公式之间也是相通的，能用一个公式推导出其他的公式，是哪個图形公式呢？[板书：梯形公式s=（a+b）h÷2]
课件演示（图3）
师：请用数学的眼光观察，你发现了什么？
学生发现这些图形的底和高没有变。上底逐渐变短了，最后成一个点，也就变成了三角形。
师：图形是这样变的，公式怎样变？[板书推演过程：S三角形=（0+a）h÷2=ah÷2]这就是三角形的面积公式。
师：换个角度，请看课件，梯形最后还可能会变成什么图形？（平行四边形、长方形、正方形） 师：真会想象！来看看公式的变化。
教师板书：S平行四边形=（a+a）h÷2=2ah÷2=ah，
S正方形=（a+a）a÷2=2aa÷2=a2。
师：图形之间有着密切的聯系，我们通过面积公式最为复杂的梯形，推导出了其他图形的面积公式。其实这又是一次转化的过程。
设计意图：通过问题“这些面积计算公式可以少记几个吗？你觉得其中哪个面积公式最重要？”再次将学生的思维引到“转化”上，通过转化思想这一纽带将6个图形串联成网，学生对知识体系有了整体的把握。由梯形上底长度的不断变化，到公式的推演变化，数形结合使学生进一步体会到图形之间有着不同的联系，培养了求异、求新的数学思维。通过转化思想进行了数学的再创造活动，有效地实现了数学知识之间的沟通与内化，达到了举一反三的效果，培养了学生的数学能力。
五、能力训练，走进生活
1. 基本练习——完善认知。
（1）口算：（课件出示多种图形及数据）请选一个图形口算出它的面积。
（2）判断：
a. 半径是2厘米的圆，它的周长和面积相等。
b. 在同一个圆中，半圆的周长比圆周长的一半长。
c. 两个面积相等的梯形一定可以拼成一个平行四边形。
2. 巩固练习——走进生活。
（1）找周长、面积。
师：复习了这些知识，能解决我们生活中的问题吗？你认为哪些地方可以运用到平面图形的周长或面积计算？
（2）应用。
a. 教室长7米，宽6米，高3.5米，如果给地面铺边长0.5米的方砖，算一算至少用了多少块方砖？
b. 从一个长1.2米、宽0.6米的长方形卡纸上，剪下一个最大的圆做装饰画，这幅装饰画有多大？
学生通过画图发现圆的直径就是长方形的宽。
师：做此题你想到了哪些同类型的问题？
学生可能想到正方形里剪一个最大的圆，在圆柱里削一个最大的圆锥等问题。
师：真善于总结和归纳，其实解决这类题时我们都可以用画图的方法，使问题变得直观简单。
3.拓展题——提升思维。
在梯形中你能找出与阴影三角形面积相等的图形吗？（图4）
学生反馈：③号。这两个三角形等底等高，面积相等，同时减去中间的④号三角形，剩下的①号、③号面积还是相等的。
师：这就是“梯形蝴蝶翅膀”原理，利用它可以巧妙地解决一些问题。就如这个图形中阴影三角形的面积是多少？你发现怎么求了吗？（图5）
学生反馈：求左边的翅膀！底是8厘米，高是7厘米 ，面积是28平方厘米。
师：是的，真聪明！这里也用到了“梯形的蝴蝶翅膀”原理。其实这又是一次“转化思想”的应用。
设计意图：让学生学习有价值的数学，强化学生数学意识的培养，使学生清楚地认识到数学来源于生活，寓于生活，也用于生活，数学与生活同在。在“等底等高的三角形面积相等”图形中镶嵌着“梯形蝴蝶翅膀原理”这一新鲜的元素，再次渗透“转化”这一思想，在原有认知上进一步拓展思维，培养学生的类比推理能力，激发学生的探究欲望。
六、課堂总结，反思提升
师：通过课前的整理与思考，课堂上的汇报交流，我们复习了平面图形的周长与面积的计算方法，更重要的是我们通过转化，将这些图形串联在了一起，那么这节课给你留下最深印象的是什么？
（作者单位：福建省闽侯县教师进修学校 责任编辑：王彬）
【教学目标】
1. 引导学生回忆、整理平面图形的周长和面积的计算公式及公式的推导过程，能熟练地应用公式进行计算。
2. 引导学生探寻知识之间的相互联系，构建知识网络，加深对知识的理解，并从中学会整理知识，掌握学习方法。
3. 让学生在解决问题的过程中体验学习数学的乐趣，培养其创新意识。
【教学重点】复习平面图形的周长、面积的计算公式及推导过程，并能熟练地应用公式进行计算。
【教学难点】探索面积计算公式间的内在联系，构建知识网络。
【教学过程】
一、谈话导入
师：今天，我们一起来复习平面图形的周长和面积，我们学过哪些平面图形呢？（基于学生的反馈，教师在黑板上无规律地贴上平面图形纸片：圆、长方形、三角形、正方形、梯形、平行四边形）
师：什么是周长？什么是面积？谁能举例说明？
二、小组交流
1.学生介绍计算公式。
师：大家已经认真阅读过第87页例3，谁来介绍一下周长与面积的计算公式。
学生介绍，并说明写字母公式时要注意的事项。
2.小组交流“学习研究”中的三个问题。
师：现在四人组小组交流“学习研究”中的三个问题，交流后你可以修改、补充、完善自己的想法。
“平面图形周长和面积的复习”学习研究
認真阅读第87页例3，把计算公式填写完整。思考并回答以下问题：
1. 我们学过哪些平面图形的周长计算方法？为什么有些图形有计算公式？有些没有？把你的想法写下来。
2. 在探究这些平面图形面积计算公式时，用到了什么学习方法？请举例说明。
3. 这些面积计算公式可以少记几个吗？你觉得其中哪个面积计算公式最重要？把你的想法写下来。
设计意图：课前分发的“学习研究”为学生在课堂上交流做了充分的准备。以前由于课堂上时间的限制，学生往往只能“浅思考”，而让学生课前先想、先研究，便能提供给学生更大的时空展现自己。每位学生都能带着想法、疑问走进课堂的时候，便能展开充分的交流互动学习。
三、全班交流
1. 分享第一个问题。
教师请小组汇报第一个问题，其他小组可以补充、复述、提问、评价等。
小组反馈、介绍。
师总结：计算图形周长最基本的方法是将各边长度相加。但是因为长方形、正方形、圆的边的长度有规律——长方形对边相等，正方形四条边都相等，圆的周长总是直径的“π”倍，所以这3个图形周长有简便计算的公式，而三角形、梯形的边长一般情况下并不相等，只能将各条边的长度加起来求周长。
2. 分享第二个问题。
各小组介绍的时候，教师课件演示：突出转化成什么图形，转化前后图形的联系。
设计意图：知识整理的过程中，不仅要重视数学知识的整体把握，更要重视对隐性的数学思想方法的感悟与体验，这样才能触类旁通，培养举一反三的知识迁移能力。本环节将转化思想清晰地凸显出来。
四、巧妙沟通，促进发展
1. 横向比较，从深处挖。
师：6个面积计算公式，可以少记几个吗？你觉得其中哪个面积公式最重要？（预设反馈为长方形）
师：其他同学同意吗？请给出支持或反对的理由。
生小结：正方形、圆与平行四边形，都可以转化成长方形来计算，即使你忘记了公式，但是只要你懂得转化成长方形，也就懂得计算它们的面积了。而三角形、梯形又可以先转化成平行四边形来计算。所以长方形的面积计算公式最重要，也是最基础的。
师：说明这6种平面图形之间是有联系的，你能画一张图来表示出图形与图形间的联系吗？
学生独立构建知识网络图，教师巡视。
展示作品并汇报（如图1）：
学生反馈：最先学习的是长方形面积公式，它可以推导出正方形、圆形、平行四边形面积公式；平行四边形面积公式，又可以推导出三角形和梯形面积公式。请同学们从右往左看，梯形和三角形面积公式，是通过转化成平行四边形来研究的，平行四边形、圆形、正方形面积公式是通过转化成长方形来研究的，所以长方形是基础。
师：你们的想法和书中的表述不谋而合，如果把这张图转动一下，会是怎样的呢？
教师移动黑板上的教具，再用粉笔随手添上树枝和树冠。（如图2）
师：这像一棵树，从下往上看，是树的生长过程，也就是知识的生长过程，（板书：生长）长方形是学习各种图形的基础，由上往下看是我们学习的方法——转化（板书）。
师：当研究新图形遇到困难时，往往转化成学过的旧图形来研究，转化这种方法不仅应用于平面图形的研究，数学学习中很多地方都可以见到它的身影，比如计算方法的探究、立体图形的研究等，它是数学上一种很重要的学习方法。
2. 纵向迁移，向宽处行。
师：当我们回头看时，原来图形之间有着密切的联系，真奇妙！更神奇的是，这6个面积公式之间也是相通的，能用一个公式推导出其他的公式，是哪個图形公式呢？[板书：梯形公式s=（a+b）h÷2]
课件演示（图3）
师：请用数学的眼光观察，你发现了什么？
学生发现这些图形的底和高没有变。上底逐渐变短了，最后成一个点，也就变成了三角形。
师：图形是这样变的，公式怎样变？[板书推演过程：S三角形=（0+a）h÷2=ah÷2]这就是三角形的面积公式。
师：换个角度，请看课件，梯形最后还可能会变成什么图形？（平行四边形、长方形、正方形） 师：真会想象！来看看公式的变化。
教师板书：S平行四边形=（a+a）h÷2=2ah÷2=ah，
S正方形=（a+a）a÷2=2aa÷2=a2。
师：图形之间有着密切的聯系，我们通过面积公式最为复杂的梯形，推导出了其他图形的面积公式。其实这又是一次转化的过程。
设计意图：通过问题“这些面积计算公式可以少记几个吗？你觉得其中哪个面积公式最重要？”再次将学生的思维引到“转化”上，通过转化思想这一纽带将6个图形串联成网，学生对知识体系有了整体的把握。由梯形上底长度的不断变化，到公式的推演变化，数形结合使学生进一步体会到图形之间有着不同的联系，培养了求异、求新的数学思维。通过转化思想进行了数学的再创造活动，有效地实现了数学知识之间的沟通与内化，达到了举一反三的效果，培养了学生的数学能力。
五、能力训练，走进生活
1. 基本练习——完善认知。
（1）口算：（课件出示多种图形及数据）请选一个图形口算出它的面积。
（2）判断：
a. 半径是2厘米的圆，它的周长和面积相等。
b. 在同一个圆中，半圆的周长比圆周长的一半长。
c. 两个面积相等的梯形一定可以拼成一个平行四边形。
2. 巩固练习——走进生活。
（1）找周长、面积。
师：复习了这些知识，能解决我们生活中的问题吗？你认为哪些地方可以运用到平面图形的周长或面积计算？
（2）应用。
a. 教室长7米，宽6米，高3.5米，如果给地面铺边长0.5米的方砖，算一算至少用了多少块方砖？
b. 从一个长1.2米、宽0.6米的长方形卡纸上，剪下一个最大的圆做装饰画，这幅装饰画有多大？
学生通过画图发现圆的直径就是长方形的宽。
师：做此题你想到了哪些同类型的问题？
学生可能想到正方形里剪一个最大的圆，在圆柱里削一个最大的圆锥等问题。
师：真善于总结和归纳，其实解决这类题时我们都可以用画图的方法，使问题变得直观简单。
3.拓展题——提升思维。
在梯形中你能找出与阴影三角形面积相等的图形吗？（图4）
学生反馈：③号。这两个三角形等底等高，面积相等，同时减去中间的④号三角形，剩下的①号、③号面积还是相等的。
师：这就是“梯形蝴蝶翅膀”原理，利用它可以巧妙地解决一些问题。就如这个图形中阴影三角形的面积是多少？你发现怎么求了吗？（图5）
学生反馈：求左边的翅膀！底是8厘米，高是7厘米 ，面积是28平方厘米。
师：是的，真聪明！这里也用到了“梯形的蝴蝶翅膀”原理。其实这又是一次“转化思想”的应用。
设计意图：让学生学习有价值的数学，强化学生数学意识的培养，使学生清楚地认识到数学来源于生活，寓于生活，也用于生活，数学与生活同在。在“等底等高的三角形面积相等”图形中镶嵌着“梯形蝴蝶翅膀原理”这一新鲜的元素，再次渗透“转化”这一思想，在原有认知上进一步拓展思维，培养学生的类比推理能力，激发学生的探究欲望。
六、課堂总结，反思提升
师：通过课前的整理与思考，课堂上的汇报交流，我们复习了平面图形的周长与面积的计算方法，更重要的是我们通过转化，将这些图形串联在了一起，那么这节课给你留下最深印象的是什么？
（作者单位：福建省闽侯县教师进修学校 责任编辑：王彬）