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【摘 要】以运动学和动力学模型为基础，分析模型预测法的基本原理，误差来源并改进。简述建立线性时变模型时的三个基本步骤，并对低速工况下正弦和双移线两种工况进行matlab仿真，可见线性时变模型有良好的追踪能力。
【关键词】线性时变模型;车辆动力学模型;车辆运动学模型
Unmanned vehicle trajectory tracking based on model predictive control
Xue yi ming
Abstract：Based on kinematics modeling and dynamics model，this paper analyzes the basic principle，error source and improvement of model prediction method.This paper briefly describes the three basic steps in the establishment of linear time-varying model，and carries out matlab simulation for sinusoidal and double-shift conditions at low speed.It can be seen that linear time-varying model has good tracking ability.
Key words：Linear time-varying model;Vehicle dynamics model;Kinematic model of vehicle
前言
目前國家鼓励突破车辆智能算法、自动驾驶等关键技术，鼓励智能汽车行业的发展。在局部路径规划中主流方法有纯几何追踪法和模型预测法。在纯追踪法中以阿克曼转向原理为基础，运用几何关系建立前轮偏角与前视距离和车身与目标点夹角的函数。模型预测法的优势在于可以在控制过程中增加多种约束。本文注要关于模型预测法的基本原理以及低速matlab仿真
1运动学及动力学模型
1.1车辆的运动学模型
从几何学角度来研究车辆的运动规律，假设瞬时转向半径与道路曲率半径相等建立前后轴运动学约束即前后轴质心速度与航向角，X、Y轴分速度，前轮偏角之间关系，建立前后轮的几何关系可得车辆运动学模型
1.2动力学模型
动力学模型主要分析其侧向力和纵向力特性。车辆单轨模型认为车辆主要是沿着y，x轴的直线运动以及绕着z轴的横摆运动，分别列出x，y，z三个轴的平衡方程式。轮胎的侧向力和纵向力是α，s，μ，Fz的函数最后再加上惯性系转化关系。可用状态空间表达式来描述（路面摩擦系数，滑移率已知）。
S是滑移率;μ是摩擦因数;α是侧偏角
根据轮胎的魔术公式输入侧偏角，外倾角，滑移率和车轮垂直载荷可以得到纵向力侧向力和回正力矩下式为轮胎魔术公式
x为输入变量，B为刚度因子，C为形状因子，D为峰值因子，E为曲率因子
2 线性时变模型
2.1 线性时变模型预测原理
2.1.1离散线性化模型
将其带入（2）（3）可得到新的状态空间表达式
预测时域为Np控制时域为Nc，k=1，2，3……t+N-1，带入（6）中累加可得。系统未来输出
在预测时域内的状态变量和输出变量都可以通过对系统当前状态量ξ（t|t）和控制时域内的控制量 ΔU（t）计算得到，从而实现模型预测控制算法中的预测功能。
2.1.2 目标函数
由于ΔU是未知的所以设计合适的优化函数求解得到控制时域内的控制序列，将控制增量作为优化函数的状态量。
其中，第一项反映了系统对参考轨迹的跟随能力，第二项反映了对控制量平稳的变化要求。Q 和 R 为权重矩阵。
2.1.3约束
对控制量u，控制增量Δu，输出y做约束，求解可得一段时间内的控制序列
统一形式
2.1.4 反馈机制
对控制增量进行求解之后就会得到Np内一系列控制输入增量，将第一个元素作为实际的控制输入增量作用于系统，系统执行控制量重新生成一个新的增量序列。体现了滚动优化的特点，根据实际执行情况与预测的偏差规划接下来的任务。
2.2轨迹跟踪仿真
在低速情况下，以运动学模型为预测模型。用matlab仿真两种情况：正弦线、双移线y=3.5（城市道路宽度）到y=0。正弦反应了转向性能，双移线反应了超速换道工况，可以看出车辆很快到达期望轨迹并按照期望轨迹运行。如图1
图1：matlab仿真
2.3误差分析
车辆经过的位置与预测位置并不完全重合，主要是运动学模型是非线性的而预测模型却是线性的。在对模型线性化时可能会忽略一些因素比如高阶项
2.4改进方法
1 Np小虽然精度会降低但是运算速度会快很多如果路段很复杂也就是曲率大变化大我们希望Np长一些提高跟踪精度，如果轨迹很平坦，我们希望Np小一些，减小负担。由此看来Np应当是曲率的函数。
2 用误差模型来控制，首先找到参考路径模型，然后可以用泰勒展开。在预测模型基础上得到误差模型，然后进行离散化确定目标函数和约束条件。
3 结论
轨迹跟踪的基础是车辆的运动学与动力学模型，通过建立目标函数，约束与反馈建立线性时变模型，并且通过matlab仿真正弦与双细线两种工况可以看出车辆快速跟上期望轨迹并按照期望轨迹运行。
参考文献：
[1] 杨述斌，刘寒，蒋宗霖.基于MPC的自动泊车控制方法[J].系统控制与智能制造，2019
[2] 龚建伟，姜岩，徐威.无人驾驶车辆模型预测控制[M].北京：北京理工出版社，2014
（作者单位：长安大学汽车学院）
【关键词】线性时变模型;车辆动力学模型;车辆运动学模型
Unmanned vehicle trajectory tracking based on model predictive control
Xue yi ming
Abstract：Based on kinematics modeling and dynamics model，this paper analyzes the basic principle，error source and improvement of model prediction method.This paper briefly describes the three basic steps in the establishment of linear time-varying model，and carries out matlab simulation for sinusoidal and double-shift conditions at low speed.It can be seen that linear time-varying model has good tracking ability.
Key words：Linear time-varying model;Vehicle dynamics model;Kinematic model of vehicle
前言
目前國家鼓励突破车辆智能算法、自动驾驶等关键技术，鼓励智能汽车行业的发展。在局部路径规划中主流方法有纯几何追踪法和模型预测法。在纯追踪法中以阿克曼转向原理为基础，运用几何关系建立前轮偏角与前视距离和车身与目标点夹角的函数。模型预测法的优势在于可以在控制过程中增加多种约束。本文注要关于模型预测法的基本原理以及低速matlab仿真
1运动学及动力学模型
1.1车辆的运动学模型
从几何学角度来研究车辆的运动规律，假设瞬时转向半径与道路曲率半径相等建立前后轴运动学约束即前后轴质心速度与航向角，X、Y轴分速度，前轮偏角之间关系，建立前后轮的几何关系可得车辆运动学模型
1.2动力学模型
动力学模型主要分析其侧向力和纵向力特性。车辆单轨模型认为车辆主要是沿着y，x轴的直线运动以及绕着z轴的横摆运动，分别列出x，y，z三个轴的平衡方程式。轮胎的侧向力和纵向力是α，s，μ，Fz的函数最后再加上惯性系转化关系。可用状态空间表达式来描述（路面摩擦系数，滑移率已知）。
S是滑移率;μ是摩擦因数;α是侧偏角
根据轮胎的魔术公式输入侧偏角，外倾角，滑移率和车轮垂直载荷可以得到纵向力侧向力和回正力矩下式为轮胎魔术公式
x为输入变量，B为刚度因子，C为形状因子，D为峰值因子，E为曲率因子
2 线性时变模型
2.1 线性时变模型预测原理
2.1.1离散线性化模型
将其带入（2）（3）可得到新的状态空间表达式
预测时域为Np控制时域为Nc，k=1，2，3……t+N-1，带入（6）中累加可得。系统未来输出
在预测时域内的状态变量和输出变量都可以通过对系统当前状态量ξ（t|t）和控制时域内的控制量 ΔU（t）计算得到，从而实现模型预测控制算法中的预测功能。
2.1.2 目标函数
由于ΔU是未知的所以设计合适的优化函数求解得到控制时域内的控制序列，将控制增量作为优化函数的状态量。
其中，第一项反映了系统对参考轨迹的跟随能力，第二项反映了对控制量平稳的变化要求。Q 和 R 为权重矩阵。
2.1.3约束
对控制量u，控制增量Δu，输出y做约束，求解可得一段时间内的控制序列
统一形式
2.1.4 反馈机制
对控制增量进行求解之后就会得到Np内一系列控制输入增量，将第一个元素作为实际的控制输入增量作用于系统，系统执行控制量重新生成一个新的增量序列。体现了滚动优化的特点，根据实际执行情况与预测的偏差规划接下来的任务。
2.2轨迹跟踪仿真
在低速情况下，以运动学模型为预测模型。用matlab仿真两种情况：正弦线、双移线y=3.5（城市道路宽度）到y=0。正弦反应了转向性能，双移线反应了超速换道工况，可以看出车辆很快到达期望轨迹并按照期望轨迹运行。如图1
图1：matlab仿真
2.3误差分析
车辆经过的位置与预测位置并不完全重合，主要是运动学模型是非线性的而预测模型却是线性的。在对模型线性化时可能会忽略一些因素比如高阶项
2.4改进方法
1 Np小虽然精度会降低但是运算速度会快很多如果路段很复杂也就是曲率大变化大我们希望Np长一些提高跟踪精度，如果轨迹很平坦，我们希望Np小一些，减小负担。由此看来Np应当是曲率的函数。
2 用误差模型来控制，首先找到参考路径模型，然后可以用泰勒展开。在预测模型基础上得到误差模型，然后进行离散化确定目标函数和约束条件。
3 结论
轨迹跟踪的基础是车辆的运动学与动力学模型，通过建立目标函数，约束与反馈建立线性时变模型，并且通过matlab仿真正弦与双细线两种工况可以看出车辆快速跟上期望轨迹并按照期望轨迹运行。
参考文献：
[1] 杨述斌，刘寒，蒋宗霖.基于MPC的自动泊车控制方法[J].系统控制与智能制造，2019
[2] 龚建伟，姜岩，徐威.无人驾驶车辆模型预测控制[M].北京：北京理工出版社，2014
（作者单位：长安大学汽车学院）