论文部分内容阅读
摘要 通过分析、比较两节《椭圆及其标准方程》同课异构课的差异,有意识地引导学生应用发散思维对椭圆的定义进行设问猜想,从而将此案例改进为“椭圆、双曲线及卡西尼卵形线”的教学,进行一次有意义的探究实验。
关键词 发散思维 椭圆 双曲线 卡西尼卵形线
【分类号】G633.7
“同课异构”是指不同的教师面对相同的教材,根据自己学生的具体情况,结合自己对教材的理解设计出不同的教学方式。同课异构就是鼓励教师从不同途径,用不同方法,多方面、多渠道地探索新的教学模式,从而有意识地引导学生变更思考角度,变换思维方式来分析问题、解决问题,促使学生数学思维能力的提高和充分发挥。
1 案例背景
“椭圆及其标准方程”是平面解析几何的重要内容,是高考考查主要内容之一。教学目标是掌握椭圆的定义及其标准方程,为后续的椭圆的几何性质及应用的学习做好铺垫。教学重点是椭圆的定义和椭圆的标准方程,教学难点是椭圆标准方程的推导。
2 两种设计
案例1
(1)创设情境,提出问题。
教师向学生们展示了神州七号“嫦娥奔月”的相关图片,并让学生们列举日常生活中有关椭圆形的实物,比如:鸡蛋、橄榄球、油罐车、地球的轨道……等等,从而引出椭圆这一概念,从而设问:满足什么条件的点的轨迹是椭圆呢?
(2)构建模型,解决问题。
给出画椭圆的一种方法:取一条一定长的细绳,两端固定在画板上的两定点 上,当细绳长大于 的距离时,用笔尖拉直细绳在画板上缓慢移动,就可以画出椭圆图形(如图所示)。
(3)追踪成果,提出猜想。
引导学生认真观察、体验椭圆的画法,一起归纳、总结椭圆的定义:平面内与两个定点 的距离之和等于常数(大于 )的点的轨迹叫作椭圆。
(4)深入细微,深化理解。
教师引导学生认真分析发现椭圆定义中容易遗漏的三个地方:①两个定点---两点间距离即 确定;②绳长--轨迹上任意一点到两定点距离和即 确定;③绳长大于两点间距离即 。其次引导学生思考:若在定义中缺少 时,点的轨迹还有意义吗?若有,代表什么图形?最后进一步引导学生思考发现:在同样的绳长下,两定点间距离较长,则所画出的椭圆较扁(椭圆 线段);两定点间距离较短,则所画出的椭圆较圆(椭圆 圆)。由此,椭圆的形状与两定点间距离、绳长有关(为后续离心率相关概念的学习作铺垫)。
现在已经学习了椭圆的定义,那么椭圆有椭圆方程吗?若有,如何求出其方程?更进一步引导学生建立直角坐标系,求出椭圆方程。建系可能出现多种方法,例如:①以 为原点, 为 轴,过 垂直 的直线为 轴建系;②以 为 轴,线段 的中垂线为 轴建系,……。在这么多的建系方式中,哪一种比较好呢?请学生认真感受一下,大部分的学生感觉方法②比较好,能体现数学的对称美感。
(5)学以致用,拓展延伸。
练习1:已知椭圆的焦点为 ,且过点 ,求满足条件的椭圆标准方程。
练习2:已知椭圆过点 求满足条件的椭圆标准方程。
案例2
由实际例子引入椭圆的概念,教师提出问题:什么是椭圆呢?怎么定义?引导学生联想圆的定义:平面上到定点的距离等于定长的点的轨迹就是圆,并画出圆的图形;再引导学生认识到:其实圆也可以看成:动点到定点的来回距离之和为常数的点的轨迹。接着教师设问:若把圆的这个定点一分为二,那么这样“来回”的距离之和等于常数的点的轨迹是什么?再构建画椭圆模型,在上述画圆的基础上做如下改变:将细绳的两端由原来都绑在同一钉子上,改为分别绑在两个钉子上,并拉开钉子使其有一定的距离,用笔尖拉直细绳在画板上缓慢移动,就可以画出椭圆图形,从而组织学生归纳、总结椭圆的定义。
得到椭圆定义后,案例2的教学设计基本上与案例1相同。
3 设计反思
本节课是一节概念课,完整的概念课教学包含以下几个内容:(1)问题背景引入;(2)具体例子的分析与综合;(3)概括概念的本质属性;(4)下定义;(5)概念的辨析;(6)用概念做判断与解決问题。
案例1基本上涵盖了上述的几个步骤,各个步骤之间的过度比较自然,整个教学设计流畅合理,通过师生之间的良好互动充分调动了学生学习的积极性,是一节比较成功的概念课教学设计。
案例2与案例1相比,不同之处在于:通过圆这个定义的联想类比,创设良好的文化氛围,使得椭圆这个新知识是:在拥有肥沃的土壤(圆的概念)中自然的“生长”出来。从而使学生对椭圆定义的理解经历了由模糊到清楚、由零碎到完整,并逐步完美的融合到原有的知识体系中来。概念课的引入一般会从这三个方面入手,①实际应用的需要;②利用类比引入;③数学知识发展的本身需要。所以,案例1和案例2的引入是各有千秋。
但是,在受案例2椭圆定义的创造性引入方式及椭圆定义的启发,好学的学生可能会疑问:平面内与两个定点 的距离之和等于常数(大于 )的点的轨迹叫作椭圆,那么距离之差的点的轨迹呢?距离之比呢?距离之积呢?在这种发散思维的触动下,笔者认为可以将此案例进一步改进为“椭圆、双曲线及卡西尼卵形线定义”的教学,进行一次有意义的探究实验。
4 案例改进
拓展1:平面内与两个定点 的距离之差为定值的点的轨迹是什么?
① 当 时,图象分为两支,随着 的减小而分别向 收缩;
② 当 时,图象成8形自相交叉,称为双纽线;
③ 当 时,图象是一条没有自交点的光滑曲线,曲线中部有凹进的细腰。
④ 当 时,与前种情况一样,但中部变平。
⑤ 当 时,曲线中部凸起。
卡西尼卵形线图象由此组成(如右图所示)。
所以,由上可得:平面内到两个定点 的距离之积为常数的所有点组成的图形称为卡西尼卵形线。
由上述案例的改进所给的启发知,在数学教学中,当学生具备了一定的数学能力后,教师一方面可以鼓励学生在此基础上进行大胆质疑、猜想,提出富有探索性的新问题,让学生凭借所学的知识与技能,善于发现、勇于探索,不断构建自己的数学思维,提高数学思维的应用能力;另一方面,教师在平常的教师实践中要有意识、有目的、有重点地向学生进行设问,制造“障碍”,从而引导学生突破自己的思维定势,培养思维的灵活性和广泛性。
参考文献
[1] 普通高中课程标准实验教科书 数学选修2-1(理科) 湖南教育出版社 2005年8月第1版
[2] 马小平 椭圆及其标准方程教学设计 学周刊学术研究 2012年第11期
[3] 李仲来 宋煜 椭圆——卡西尼卵形线 数学的实践与认识 第33卷第2期 2003年2月
作者简介 林良勇 男 1981-10-14 研究生 漳州一中 中学二级 漳州市芗城区胜利西路76号漳州一中 lly160@163.com
关键词 发散思维 椭圆 双曲线 卡西尼卵形线
【分类号】G633.7
“同课异构”是指不同的教师面对相同的教材,根据自己学生的具体情况,结合自己对教材的理解设计出不同的教学方式。同课异构就是鼓励教师从不同途径,用不同方法,多方面、多渠道地探索新的教学模式,从而有意识地引导学生变更思考角度,变换思维方式来分析问题、解决问题,促使学生数学思维能力的提高和充分发挥。
1 案例背景
“椭圆及其标准方程”是平面解析几何的重要内容,是高考考查主要内容之一。教学目标是掌握椭圆的定义及其标准方程,为后续的椭圆的几何性质及应用的学习做好铺垫。教学重点是椭圆的定义和椭圆的标准方程,教学难点是椭圆标准方程的推导。
2 两种设计
案例1
(1)创设情境,提出问题。
教师向学生们展示了神州七号“嫦娥奔月”的相关图片,并让学生们列举日常生活中有关椭圆形的实物,比如:鸡蛋、橄榄球、油罐车、地球的轨道……等等,从而引出椭圆这一概念,从而设问:满足什么条件的点的轨迹是椭圆呢?
(2)构建模型,解决问题。
给出画椭圆的一种方法:取一条一定长的细绳,两端固定在画板上的两定点 上,当细绳长大于 的距离时,用笔尖拉直细绳在画板上缓慢移动,就可以画出椭圆图形(如图所示)。
(3)追踪成果,提出猜想。
引导学生认真观察、体验椭圆的画法,一起归纳、总结椭圆的定义:平面内与两个定点 的距离之和等于常数(大于 )的点的轨迹叫作椭圆。
(4)深入细微,深化理解。
教师引导学生认真分析发现椭圆定义中容易遗漏的三个地方:①两个定点---两点间距离即 确定;②绳长--轨迹上任意一点到两定点距离和即 确定;③绳长大于两点间距离即 。其次引导学生思考:若在定义中缺少 时,点的轨迹还有意义吗?若有,代表什么图形?最后进一步引导学生思考发现:在同样的绳长下,两定点间距离较长,则所画出的椭圆较扁(椭圆 线段);两定点间距离较短,则所画出的椭圆较圆(椭圆 圆)。由此,椭圆的形状与两定点间距离、绳长有关(为后续离心率相关概念的学习作铺垫)。
现在已经学习了椭圆的定义,那么椭圆有椭圆方程吗?若有,如何求出其方程?更进一步引导学生建立直角坐标系,求出椭圆方程。建系可能出现多种方法,例如:①以 为原点, 为 轴,过 垂直 的直线为 轴建系;②以 为 轴,线段 的中垂线为 轴建系,……。在这么多的建系方式中,哪一种比较好呢?请学生认真感受一下,大部分的学生感觉方法②比较好,能体现数学的对称美感。
(5)学以致用,拓展延伸。
练习1:已知椭圆的焦点为 ,且过点 ,求满足条件的椭圆标准方程。
练习2:已知椭圆过点 求满足条件的椭圆标准方程。
案例2
由实际例子引入椭圆的概念,教师提出问题:什么是椭圆呢?怎么定义?引导学生联想圆的定义:平面上到定点的距离等于定长的点的轨迹就是圆,并画出圆的图形;再引导学生认识到:其实圆也可以看成:动点到定点的来回距离之和为常数的点的轨迹。接着教师设问:若把圆的这个定点一分为二,那么这样“来回”的距离之和等于常数的点的轨迹是什么?再构建画椭圆模型,在上述画圆的基础上做如下改变:将细绳的两端由原来都绑在同一钉子上,改为分别绑在两个钉子上,并拉开钉子使其有一定的距离,用笔尖拉直细绳在画板上缓慢移动,就可以画出椭圆图形,从而组织学生归纳、总结椭圆的定义。
得到椭圆定义后,案例2的教学设计基本上与案例1相同。
3 设计反思
本节课是一节概念课,完整的概念课教学包含以下几个内容:(1)问题背景引入;(2)具体例子的分析与综合;(3)概括概念的本质属性;(4)下定义;(5)概念的辨析;(6)用概念做判断与解決问题。
案例1基本上涵盖了上述的几个步骤,各个步骤之间的过度比较自然,整个教学设计流畅合理,通过师生之间的良好互动充分调动了学生学习的积极性,是一节比较成功的概念课教学设计。
案例2与案例1相比,不同之处在于:通过圆这个定义的联想类比,创设良好的文化氛围,使得椭圆这个新知识是:在拥有肥沃的土壤(圆的概念)中自然的“生长”出来。从而使学生对椭圆定义的理解经历了由模糊到清楚、由零碎到完整,并逐步完美的融合到原有的知识体系中来。概念课的引入一般会从这三个方面入手,①实际应用的需要;②利用类比引入;③数学知识发展的本身需要。所以,案例1和案例2的引入是各有千秋。
但是,在受案例2椭圆定义的创造性引入方式及椭圆定义的启发,好学的学生可能会疑问:平面内与两个定点 的距离之和等于常数(大于 )的点的轨迹叫作椭圆,那么距离之差的点的轨迹呢?距离之比呢?距离之积呢?在这种发散思维的触动下,笔者认为可以将此案例进一步改进为“椭圆、双曲线及卡西尼卵形线定义”的教学,进行一次有意义的探究实验。
4 案例改进
拓展1:平面内与两个定点 的距离之差为定值的点的轨迹是什么?
① 当 时,图象分为两支,随着 的减小而分别向 收缩;
② 当 时,图象成8形自相交叉,称为双纽线;
③ 当 时,图象是一条没有自交点的光滑曲线,曲线中部有凹进的细腰。
④ 当 时,与前种情况一样,但中部变平。
⑤ 当 时,曲线中部凸起。
卡西尼卵形线图象由此组成(如右图所示)。
所以,由上可得:平面内到两个定点 的距离之积为常数的所有点组成的图形称为卡西尼卵形线。
由上述案例的改进所给的启发知,在数学教学中,当学生具备了一定的数学能力后,教师一方面可以鼓励学生在此基础上进行大胆质疑、猜想,提出富有探索性的新问题,让学生凭借所学的知识与技能,善于发现、勇于探索,不断构建自己的数学思维,提高数学思维的应用能力;另一方面,教师在平常的教师实践中要有意识、有目的、有重点地向学生进行设问,制造“障碍”,从而引导学生突破自己的思维定势,培养思维的灵活性和广泛性。
参考文献
[1] 普通高中课程标准实验教科书 数学选修2-1(理科) 湖南教育出版社 2005年8月第1版
[2] 马小平 椭圆及其标准方程教学设计 学周刊学术研究 2012年第11期
[3] 李仲来 宋煜 椭圆——卡西尼卵形线 数学的实践与认识 第33卷第2期 2003年2月
作者简介 林良勇 男 1981-10-14 研究生 漳州一中 中学二级 漳州市芗城区胜利西路76号漳州一中 lly160@163.com