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在平时的数学活动中，我们经常发现华华的作业单上不是空白就是涂鸦。今天的活动是“比较数的多少”，目标是感知7以内的数量，认识7以内自然数列中相邻两数的数量关系。华华的作业单是根据数字添加或删减圆点(如图)。
华华拿着笔四处张望，迟迟没有落笔。教师走过去用纸挡住了作业单下方的两排圆点，指着数字6和第一排圆点与华华开始了对话。
师：这是数字几?
幼：6。
师：数数这排点子有几个。
幼：(用手指点数)1、2、3、4、8、9……
师：再数一遍。
幼：1、2、3、4、5。
师：怎样才能让点子变得和6一样多呢?
华华沉默不语。
[析：幼儿完成这一作业需要有基数概念，知道一个数字所代表的总数是多少，知道数符号的实际意义并能比较这些符号所代表的集合量的大小。周欣教授的研究结果表明，在通常情况下有三种方法可用来比较集合的数量大小，即数数、一一对应、视觉性提示(根据物体排列的长度、面积或密集度来判断数量的多少)。在华华遇到困难时，教师提示他可以用数数的方法来解决，但从案例中我们可以看出，华华的点数能力还不太稳定，不能准确地数数，因此运用数数来比较两个集合对他来说有难度。]
教师在作业单的上方用绿笔与第一排点子一一对应地画了6个点子(如图)，并对华华再次指导。
师：数一数有几个绿点子。
幼：1、2、3、4、5、6、7(手口不一致)。
师：再仔细数数。
幼：1、2、3、4、5、6。
师：红点子有5个，绿点子有6个，怎样才能让红点子变得和绿点子一样多?
华华再次沉默。
这时，教师用线将红点与绿点一一对应地连起来(如图)。
师：你看，红点与绿点是好朋友，一个红点连一个绿点，一个红点连一个绿点……哎，这个绿点没有好朋友了，是红点多还是绿点多?
幼：(指着绿点)这个多。
师：多几个?
幼：6个。
[析：教师调整了表征符号，用点子代替抽象的数字，降低了难度。刚开始，教师还是试图让华华用数点子的方法进行集合比较。结果没有成功。后来教师改用一一对应的方法引导华华，华华虽能比较出两个集合的大小，但说不出多几个。]
教师取来了红、绿两色雪花片。先将5个红雪花片放在桌上，再将6个绿雪花片一一对应地放在红雪花片的下方。
师：它们是好朋友。哪个多?
幼：(指着绿雪花片)这个。
师：多几个?
幼：6个。
教师取走了红雪花片，只留下6个绿雪花片。
师：这里有6个雪花片。拿走了1个(教师让幼儿拿走1个雪花片)，现在有几个雪花片?数数看。
幼：5个。
师：噢，6个变成了5个。你拿走了几个雪花片?
幼：6个。
师：(举着幼儿拿走的那个绿雪花片加重语气)垒走了几个雪花片?
幼：6个。
[析：教师再次降低难度，改用实物引导华华，但华华还是没有给出正确答案。也许华华是因为语言发展水平的限制而无法理解“多几个，少几个”这样的提问。相关研究也表明孩子理解“有几只鸟没有蚯蚓吃”，但是不理解“鸟比蚯蚓多几只”这样的提问。针对这种情况，教师可以先换一种提问方式，如：有几个绿雪花片没有好朋友?而后慢慢帮助幼儿在“没有好朋友”和“多少”之间建立联系。]
为什么教师尝试了各种自认为有效的教学策略，效果却不尽如人意呢?原因主要有以下几点：
一、教师缺乏数概念方面的专业知识
通常情况下，教师都会用数数的方法引导幼儿比较两个集合的大小，觉得只要幼儿会数数就能解决这类问题。但研究表明，这是一个很复杂的认知活动。首先，幼儿必须具备熟练的数数技能。第二，为了找出两个集合的大小关系，幼儿需要知道每个集合的数量，而数数是最有效的方法。第三，幼儿在数第二个集合时必须记住数过的第一个集合的总数。最后，幼儿必须知道两个集合的总数哪个更大一些。即运用数数进行集合比较必须以熟练的数数技能、稳定的基数概念和数序知识为前提。正是因为教师不了解这些前提条件，不了解数概念之间的“序”，才无视华华在运用数数进行集合比较时所缺乏的知识。而一味要求他达到这一知识链中的最高阶段，导致干预无效。
二、教师缺乏对幼儿数概念发展水平的了解
华华的数概念发展水平到底如何?其实教师并不清楚。活动结束后，教师重新阅读了活动实录，并试着分析了华华数概念的现实发展水平：第一。华华不具备熟练的数数技能，唱数、点数的能力还不稳定。第二，华华对数符号的表征意义不理解，不知道数字“6”可以表示6个点子、6个苹果等。第三，华华没有掌握数序的知识，不知道数词的位置与数词代表的集合量之间的关系(即数词越往后，量越大)。正因如此，华华不可能用数数来比较集合的大小。他还处于运用一一对应的方法来比较集合的水平，远远没有达到运用数数来比较集合的水平。
三、幼儿数概念的习得是一个长期渐进的过程
从案例中可以看出，教师的干预手段是逐步降低任务的难度，如，从开始要求数数变成一一对应地数数，将符号材料变成实物材料等。即便这样，华华最后仍然没能比较出两个集合的大小。这个案例提醒我们，幼儿数概念的习得是一个长期渐进的过程，我们不能期望通过一次干预就让幼儿“顿悟”某个概念。“儿童数概念发展水平的高低与他平日接触数概念活动的频率成显著正相关。”教师应该制订适合华华的指导方案，在日常活动中对华华的数概念学习给予支持。如，为了提高他的点数能力，教师从易到难地投放了点数实物雪花片(排成一排、散放)一点数卡通图片(排成一排、不规则分布)一点数点子(排成一排、不规则分布)等游戏材料。为了帮助他建立基数概念，教师经常让他做按数取物的游戏，先按口令取物，再根据数符号取物，如掷到4个点子，就取4个雪花片等。当他能够非常熟练地运用一一对应进行集合比较时，教师再帮助他掌握数数技能和数序知识，在“有几个绿雪花片没有朋友”和“绿雪花片比红雪花片多多少”之间建立联系，以正确比较两个集合的大小。
华华拿着笔四处张望，迟迟没有落笔。教师走过去用纸挡住了作业单下方的两排圆点，指着数字6和第一排圆点与华华开始了对话。
师：这是数字几?
幼：6。
师：数数这排点子有几个。
幼：(用手指点数)1、2、3、4、8、9……
师：再数一遍。
幼：1、2、3、4、5。
师：怎样才能让点子变得和6一样多呢?
华华沉默不语。
[析：幼儿完成这一作业需要有基数概念，知道一个数字所代表的总数是多少，知道数符号的实际意义并能比较这些符号所代表的集合量的大小。周欣教授的研究结果表明，在通常情况下有三种方法可用来比较集合的数量大小，即数数、一一对应、视觉性提示(根据物体排列的长度、面积或密集度来判断数量的多少)。在华华遇到困难时，教师提示他可以用数数的方法来解决，但从案例中我们可以看出，华华的点数能力还不太稳定，不能准确地数数，因此运用数数来比较两个集合对他来说有难度。]
教师在作业单的上方用绿笔与第一排点子一一对应地画了6个点子(如图)，并对华华再次指导。
师：数一数有几个绿点子。
幼：1、2、3、4、5、6、7(手口不一致)。
师：再仔细数数。
幼：1、2、3、4、5、6。
师：红点子有5个，绿点子有6个，怎样才能让红点子变得和绿点子一样多?
华华再次沉默。
这时，教师用线将红点与绿点一一对应地连起来(如图)。
师：你看，红点与绿点是好朋友，一个红点连一个绿点，一个红点连一个绿点……哎，这个绿点没有好朋友了，是红点多还是绿点多?
幼：(指着绿点)这个多。
师：多几个?
幼：6个。
[析：教师调整了表征符号，用点子代替抽象的数字，降低了难度。刚开始，教师还是试图让华华用数点子的方法进行集合比较。结果没有成功。后来教师改用一一对应的方法引导华华，华华虽能比较出两个集合的大小，但说不出多几个。]
教师取来了红、绿两色雪花片。先将5个红雪花片放在桌上，再将6个绿雪花片一一对应地放在红雪花片的下方。
师：它们是好朋友。哪个多?
幼：(指着绿雪花片)这个。
师：多几个?
幼：6个。
教师取走了红雪花片，只留下6个绿雪花片。
师：这里有6个雪花片。拿走了1个(教师让幼儿拿走1个雪花片)，现在有几个雪花片?数数看。
幼：5个。
师：噢，6个变成了5个。你拿走了几个雪花片?
幼：6个。
师：(举着幼儿拿走的那个绿雪花片加重语气)垒走了几个雪花片?
幼：6个。
[析：教师再次降低难度，改用实物引导华华，但华华还是没有给出正确答案。也许华华是因为语言发展水平的限制而无法理解“多几个，少几个”这样的提问。相关研究也表明孩子理解“有几只鸟没有蚯蚓吃”，但是不理解“鸟比蚯蚓多几只”这样的提问。针对这种情况，教师可以先换一种提问方式，如：有几个绿雪花片没有好朋友?而后慢慢帮助幼儿在“没有好朋友”和“多少”之间建立联系。]
为什么教师尝试了各种自认为有效的教学策略，效果却不尽如人意呢?原因主要有以下几点：
一、教师缺乏数概念方面的专业知识
通常情况下，教师都会用数数的方法引导幼儿比较两个集合的大小，觉得只要幼儿会数数就能解决这类问题。但研究表明，这是一个很复杂的认知活动。首先，幼儿必须具备熟练的数数技能。第二，为了找出两个集合的大小关系，幼儿需要知道每个集合的数量，而数数是最有效的方法。第三，幼儿在数第二个集合时必须记住数过的第一个集合的总数。最后，幼儿必须知道两个集合的总数哪个更大一些。即运用数数进行集合比较必须以熟练的数数技能、稳定的基数概念和数序知识为前提。正是因为教师不了解这些前提条件，不了解数概念之间的“序”，才无视华华在运用数数进行集合比较时所缺乏的知识。而一味要求他达到这一知识链中的最高阶段，导致干预无效。
二、教师缺乏对幼儿数概念发展水平的了解
华华的数概念发展水平到底如何?其实教师并不清楚。活动结束后，教师重新阅读了活动实录，并试着分析了华华数概念的现实发展水平：第一。华华不具备熟练的数数技能，唱数、点数的能力还不稳定。第二，华华对数符号的表征意义不理解，不知道数字“6”可以表示6个点子、6个苹果等。第三，华华没有掌握数序的知识，不知道数词的位置与数词代表的集合量之间的关系(即数词越往后，量越大)。正因如此，华华不可能用数数来比较集合的大小。他还处于运用一一对应的方法来比较集合的水平，远远没有达到运用数数来比较集合的水平。
三、幼儿数概念的习得是一个长期渐进的过程
从案例中可以看出，教师的干预手段是逐步降低任务的难度，如，从开始要求数数变成一一对应地数数，将符号材料变成实物材料等。即便这样，华华最后仍然没能比较出两个集合的大小。这个案例提醒我们，幼儿数概念的习得是一个长期渐进的过程，我们不能期望通过一次干预就让幼儿“顿悟”某个概念。“儿童数概念发展水平的高低与他平日接触数概念活动的频率成显著正相关。”教师应该制订适合华华的指导方案，在日常活动中对华华的数概念学习给予支持。如，为了提高他的点数能力，教师从易到难地投放了点数实物雪花片(排成一排、散放)一点数卡通图片(排成一排、不规则分布)一点数点子(排成一排、不规则分布)等游戏材料。为了帮助他建立基数概念，教师经常让他做按数取物的游戏，先按口令取物，再根据数符号取物，如掷到4个点子，就取4个雪花片等。当他能够非常熟练地运用一一对应进行集合比较时，教师再帮助他掌握数数技能和数序知识，在“有几个绿雪花片没有朋友”和“绿雪花片比红雪花片多多少”之间建立联系，以正确比较两个集合的大小。