我们经常会发现：每次考试总有部分同学答题过程中时常出现“会而不对,对而不全”,究其原因是大家对审题重视不够,匆匆一看就急于下笔,以致题目的条件与要求都没有吃透,至于如何从题目中挖掘隐含条件、启发解题思路就更无从谈起。下面围绕导数与函数这部分内容,以题型的形式来分析和寻找“会而不对,对而不全”的原因,望对同学们学习有帮助。
　　题型 导数在切点、切线中应用
　　【例1】 (本题满分10分)过点P(2,8)作曲线y=x3的切线,求此切线的方程．
　　错解 由y=x3求导得y′=3x2,2分
　　因为切点为P(2,8),所以切线的斜率为k=y′|x=2=12,4分
　　故切线方程为y=12x-16.5分
　　错因分析 对于“过某点作曲线的切线”,其中这一点并不一定就是切点,因为这一点不一定在曲线上,即使这点在曲线上,也不一定就是切点。本题出错的原因就是误把点P(2,8)当作切点来处理,本解答过程只能得5分。如果本题是填空题,因为答案的不完整是得零分的,故要特别注意答案的准确性与完美性。
　　正确解法 由y=x3求导得y′=3x2,2分
　　设切点为A(x0,x30),则切线斜率k=3x20,3分
　　所以切线方程为y-x30=3x20(x-x0),5分
　　∵此切线过点P(2,8),∴8-x30=3x20(2-x0),即(2-x0)(2x20-2x0-4)=0,7分
　　∴(x0-2)2(x0+1)=0,解得x0=2或x0=-1,9分
　　所以,切线方程为y=12x-16或y=3x+2.10分
　　防错机制 解决这类问题,我们一定要注意审题,明确题目要求到底是求“过某点的切线”还是“在某点处的切线”。对于“过某点作曲线的切线”,其中这一点并不一定就是切点,不一定在曲线上；而对于“在某点处的切线”,这一点就是切点,此点就在曲线上。
　　题型 导数在实际生活中的应用
　　【例2】 (本题满分14分)(2011年江苏卷第17题)请你设计一个包装盒,如图所示,ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片,切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得ABCD四个点重合于图中的点P,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒,E,F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点,设AE=FB=x cm.
　　(1) 若广告商要求包装盒侧面积S cm2最大,试问x应取何值？
　　(2) 若广告商要求包装盒容积V cm3最大,试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.
　　错解 (1) 设AE=FB=x cm,则长方体的底面为边长是2x的正方形,高为22(60-2x),1分（没有写出 范围，扣1分）
　　∴包装盒侧面积S=42x•22(60-2x)=4x(60-2x)=-8(x-15)2+18004分
　　∴当x=15时,S有最大值为1800 cm2.
　　5分
　　(2) 由(1)知V(x)=(2x)2•22(60-2x)=-22x3+602x2,7分
　　V′(x)=-62x2+1202x,8分
　　令V′(x)=-62x2+1202x=0解得x=20或x=0(舍)9分
　　∴当x=20时,V(x)取最大值.10分
　　错因分析 本题的背景选择靠近教材和同学们的生活实际,突出对应用问题的考查,密切联系实际,主要考查了学生数学建模能力、运算能力、分析思维能力、抽象概括能力和解决实际问题的能力,体现了数学学以致用的原则。本题的难度不高,很多同学都能得到一定的分数,但得不到满分,出现不同程度的丢分,如：第(1)问没有写出定义域00,V(x)单调递增；当20　　正确解法 (1) 设AE=FB=x cm(0　　22(60-2x),2分
　　∴包装盒侧面积S=42x•22(60-2x)=4x(60-2x)=-8(x-15)2+1 8005分
　　∴当x=15时,S有最大值为1 800 cm2.
　　6分
　　(2) 由(1)知V(x)=(2x)2•22(60-2x)=-22x3+602x2(0　　V′(x)=-62x2+1202x,9分
　　令V′(x)=-62x2+1202x=0解得x=20或x=0(舍)10分
　　当00,V(x)单调递增；11分
　　当20　　∴当x=20时,V(x)取最大值.此时包装盒的高与底面边长的比值为1∶2.14分
　　防错机制 (1) 要掌握好利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤：审题设参(关注变量)；建立变量之间的函数关系y=f(x)(关注定义域)；转化为函数在给定区间上的最值问题,并作答(关注过程)。(2) 由V′(x)=0解得x=20或x=0(舍),接下来一定要说明为什么当x=20时,V(x)取最大值,否则要扣分。
　　实战演练
　　1. (本题满分14分)已知曲线C1:y=x2与C2:y=-(x-2)2,若直线l与C1、C2都相切,求l的方程．
　　2. (本题满分14分)如图,将边长为a的正六边形铁皮切去六个全等的四边形,再沿虚线折起,做成一个无盖的正六棱柱容器,设高为h,所做成的容器体积为V(不计接缝)．
　　(1) 写出体积V与高h的函数关系式；
　　(2) 问当ah为多少时,这个正六棱柱容器的体积最大,最大值为多少？
　　【参考答案】
　　1. 设直线l与曲线C1相切于点(x1,x21),直线l与曲线C2相切于点(x2,-(x2-2)2),
　　2分
　　由y=x2得y′=2x,所以k1=2x1,4分
　　∴l的方程为y-x21=2x1(x-x1)
　　即y=2x1x-x21.6分
　　由y=-(x-2)2得y′=-2(x-2),
　　∴k2=-2(x2-2),8分
　　∴l的方程为y+(x2-2)2=-2(x2-2)(x-x2)即y=-2(x2-2)x+x22-410分
　　比较l的两个方程,可得2x1=-2(x2-2),
　　-x21=x22-4.
　　x1=2,
　　x2=0.或x1=0,
　　x2=2.12分
　　∴当x1=2,
　　x2=0.时,直线l的方程为y=4x-4；
　　13分
　　当x1=0,
　　x2=2.时,直线l的方程为y=0.
　　14分
　　2. (1) 由题意知,正六棱柱的底边长为a-233h
　　0　　底面积为6×34a-233h2=332a-233h2.
　　4分
　　∴V(h)=332a-233h2•h
　　=23h3-3ah2+34a2h0　　7分（没有写定义域扣1-2分）
　　(2) 由V(h)=23h3-3ah2+34a2h,求导得V′(h)=23(3h2-23ah+34a2),
　　9分
　　令V′(h)=0得h=36a或h=32a(舍去).
　　10分
　　∴当00,V(h)单调递增；11分
　　当36a　　∴当h=36a即ah=23时,V(h)有极大值也是最大值,V(h)max=a33.14分