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摘要:数学建模是联系现实世界和数学世界的桥梁,本质上它是一种数学的思考方法。数学建模思想方法就是应用建立数学模型来解决各种实际问题的方法。本文由一道数学教师之间有争议的数学题目入手,运用概率论与数理统计、数学分析以及等比数列的知识展开探讨,旨在与广大数学教师进行交流。
关键词:数学教学可能性概率数学建模
中图分类号:G642 文献标识码:A 文章编号:1673-9795(2011)02(a)-0081-02
1 渗入数学建模的思想的必要性
什么是数学模型？简言之,数学模型就是为了某种目的,用字母、数字或其他数学符号建立起来的等式或不等式以及图表、图形、框图等描述客观事物的特征及其内在联系的数学结构表达式。一般地说,数学模型可以描述为:对现实世界的一个特定对象,为了特定的目的,根据特有的内在规律,作出一些必要简化假设,运用数学工具得到一个数学结构。[1]
数学建模,简单地说是建立数学模型的全过程。数学建模思想方法就是应用建立数学模型来解决各种实际问题的方法,即用数学方法解决实际问题,也就是通过对实际问题的分析、抽象和简化,明确实际问题中重要的变量和参数,通过某些“规律”建立变量和参数间的相互关系,从而得到数学模型。再用数学方法求得精确解或通过数值计算求得近似解。然后用现场实验数据或历史记录数据或其它手段来验证结果是否符合实际,并用来解决实际问题。因此,可以说数学建模是用数学来解决实际问题的桥梁[2]。
数学建模是培养学生良好的解决问题能力和创新能力的一条重要途径,顺应了当前教育改革的要求。如何更有效的将数学建模思维应用到数学课程的教学中,值得我们广大教师思考。
2 问题描述
在《天天伴我学》中有一道数学题是这样的,“王强和张明玩跳棋,他们用‘石头、剪刀、布’的方法决定谁先跳。王强赢的可能性是多少？”在《作业本》中也有类似的一道题,“小明和小红玩‘石头、剪刀、布’的游戏来决定谁先跳。小明赢的可能性是几分之几？”这里我们着重研究第一道题。
五年级现有5个数学教师,有3人认为王强赢的可能性是,有两位老师认为王强赢的可能性是。有一半左右学生认为王强赢的可能性是,也有约一半的学生认为王强赢的可能性是,可是谁也说服不了谁。
第一种观点认为王强赢的可能性是,理由是:王强和张明玩“石头、剪刀、布”游戏,要么王强赢,要么张明赢,两个人赢的可能性相同,各占一半,即王强赢的可能性是。
第二种观点认为王强赢的可能性为。有老师认为,王强赢的可能性是不对,理由是:王强和张明玩“石头、剪刀、布”游戏时,王强可能出三个手势中的一种,即表示石头、剪刀或布中的一种。张明也可能出三个手势中的一种,分别表示石头、剪刀或布。这样在一次出手势时,就有9种情况。即石头—— 剪刀、剪刀—— 布、布—— 石头、石头—— 布、剪刀—— 石头、布—— 剪刀、石头—— 石头、剪刀—— 剪刀、布—— 布。
其中,位于“—— ”左边的表示王强可能出手势,而“—— ”右边的表示张明可能出的手势。结果,在一次出手势时,王强的手势和张明出的手势总共有3×3=9(种),其中王强赢的可能性有3种。即王强赢的可能性为=。另外,王强输的可能性为,还有一种情况,王强与张明和的可能性也为。因此,有老师认为,“王强和张明玩跳棋,他们用‘石头、剪刀、布’的方法决定谁先跳。王强赢的可能性是多少？”这道题的答案是王强赢的可能性为。
到底哪种观点是对的呢？老师之间存在争议。乍看起来,似乎都有道理,甚至还有的老师认为,学生只要讲出道理,王强赢的可能性为和都算对。如果是这样,我们该怎么批改呢？难道这道题有2个正确答案,这显然是不可能的,也不合理。
我认为,作为教师不仅知其然,而且要知其所以然,要把所学的内容放在更为深广的学术背景上,这样才能全面理解所学内容的价值和意义。
3 模型的建立与求解
如果抛硬币,我们知道,出现正面和反面的概率相同(即这里所说的可能性)均为。如果是从一个盒子中摸球,盒子中放有形状、大小、材料都相同,只是颜色不同的3个红球,3个黄球,3个白球。那么摸到红球的可能性为=。
问题是在这道题中,出一次手势王强赢和输的概率都是。可是,当他们出的手势一样,两人不分输赢,他们用“石头、剪刀、布”的方法决定谁先跳,两个人都不能先跳。还应该再比(再决输赢),即第一次出手势相同,第二次还得出手势。因此,针对“王强和张明玩跳棋,他们用‘石头、剪刀、布’的方法决定谁先跳。王强赢的可能性是多少？”的问题,我们应考虑王强赢的情况,可能第一次出手势就赢,也可能第二次出手势才赢等。王强赢的概率,就是在这一游戏中所有赢的情况的概率之和。
那么,我们怎样计算王强赢的概率呢？现在,我们用《概率论与数理统计》、《数学分析》的知识来研究这个问题。
设事件A表示“石头、剪刀、布”的游戏中王强赢,事件B表示王强输,事件C表示王强与张明和。
表示王强第一次出手势就赢。
表示王强第一次出手势和第二次出手势赢。
表示王强第一、二次出手势和而第三次出手势赢。
……
…表示王强前n-1次出手势和而第n次出手势赢。
……
我们来看一下,随机事件独立性的重要概念。如果事件B的发生不影响事件A的概率,即:
,
则称事件A对事件B是独立的;否则称为不独立。[3]
由于,随机事件的独立性是一种相互对称的性质。所以,随机事件的独立性定义可以叙述如下:
如果二事件中任一事件的发生不影响另一事件的概率,则称它们是相互独立的。[4]
我们知道,这里事件、是相互独立的(=1,2,3,…,n,…)。
下面求在“石头、剪刀、布”的游戏中王强赢的概率。
=…++…(概率的公理化定义:公理3′(完全可加性))。
另外,对于独立事件,概率的乘法定理可以叙述如下:
定理1:二独立事件的交的概率等于这两事件的概率的乘积:
对于有限个独立事件,概率的乘法定理可以叙述如下:
定理2:独立事件的交的概率等于这两事件的概率的乘积:
……
故有:
王强第一次出手势赢的概率=;
王强第一次出手势和而第二次赢的概率=×=;
王强第一次出手势和、第二次和而第三次赢概率=××=;
王强第一、二、三次出手势都和而第四次赢概率=×××=;
…
王强前n-1次均和而第n次赢概率…=×=;
…
王强赢的概率,就是在这一游戏中所有赢的情况的概率之和。
=++++…++…
而++++…++…等于多少呢？实际上是求一个无穷级数的和。一系列无穷多个数,,,…,,…,写成和
+++…++…
就称为无穷级数,记为。
++++…++…用无穷级数可以表示为。
下面讨论++++…++…能算出来吗？
由收敛级数的性质4(收敛的必要条件)
若级数收敛,则()。
可知,收敛,因为
()。
由定义:若级数的部分和数列收敛于有限值S,即:
则称级数收敛,记为
=S。
由此可见,研究无穷数列收敛的问题,实质上就是研究部分和数列的收敛问题。部分和(即级数得n次部分和)
…
一个等比数列,从第2项起,每一项与它前一项的比都等于一个同一个常数,这样的数列叫做等比数列。
在由等比数列前n项和公式
(其中为公比)。
所以,
…+)===
故王强赢的概率等于
=++++…++…==。
4 结语
数学建模注重的是建模的方法和过程,一般的建模方法包括:调查研究、模型假设、模型建立、模型求解、模型检验、模型应用[10]。该模型运用概率论与数理统计、数学分析以及等比数列的知识来求解。这可逐步形成分析和处理问题的良好习惯,提高应用数学建模思想解决实际问题的兴趣和能力。
教师培养学生数学建模能力,可引导他们借助于计算机和数学软件等工具处理和分析数据,得出结论。教师自身有必要学习计算机常用软件,如Matlab、Mathematics、Lindo和Sapss等。
参考文献
[1] 冯杰,黄力伟,王勤,等.数学建模原理与案例[M].北京:科学出版社,2007,1:3～4．
[2] 周永正.数学建模思想方法融入概率统计课的教学实践[J].内肛科技,2009(3):185．
[3] 沈恒范.概率论与数理统计教程[M].北京:高等教育出版社,2003:23～25．
[4] 陈传章,金福临,朱学炎,等.数学分析[M].北京:高等教育出版社,1983,5,8:6.
关键词:数学教学可能性概率数学建模
中图分类号:G642 文献标识码:A 文章编号:1673-9795(2011)02(a)-0081-02
1 渗入数学建模的思想的必要性
什么是数学模型？简言之,数学模型就是为了某种目的,用字母、数字或其他数学符号建立起来的等式或不等式以及图表、图形、框图等描述客观事物的特征及其内在联系的数学结构表达式。一般地说,数学模型可以描述为:对现实世界的一个特定对象,为了特定的目的,根据特有的内在规律,作出一些必要简化假设,运用数学工具得到一个数学结构。[1]
数学建模,简单地说是建立数学模型的全过程。数学建模思想方法就是应用建立数学模型来解决各种实际问题的方法,即用数学方法解决实际问题,也就是通过对实际问题的分析、抽象和简化,明确实际问题中重要的变量和参数,通过某些“规律”建立变量和参数间的相互关系,从而得到数学模型。再用数学方法求得精确解或通过数值计算求得近似解。然后用现场实验数据或历史记录数据或其它手段来验证结果是否符合实际,并用来解决实际问题。因此,可以说数学建模是用数学来解决实际问题的桥梁[2]。
数学建模是培养学生良好的解决问题能力和创新能力的一条重要途径,顺应了当前教育改革的要求。如何更有效的将数学建模思维应用到数学课程的教学中,值得我们广大教师思考。
2 问题描述
在《天天伴我学》中有一道数学题是这样的,“王强和张明玩跳棋,他们用‘石头、剪刀、布’的方法决定谁先跳。王强赢的可能性是多少？”在《作业本》中也有类似的一道题,“小明和小红玩‘石头、剪刀、布’的游戏来决定谁先跳。小明赢的可能性是几分之几？”这里我们着重研究第一道题。
五年级现有5个数学教师,有3人认为王强赢的可能性是,有两位老师认为王强赢的可能性是。有一半左右学生认为王强赢的可能性是,也有约一半的学生认为王强赢的可能性是,可是谁也说服不了谁。
第一种观点认为王强赢的可能性是,理由是:王强和张明玩“石头、剪刀、布”游戏,要么王强赢,要么张明赢,两个人赢的可能性相同,各占一半,即王强赢的可能性是。
第二种观点认为王强赢的可能性为。有老师认为,王强赢的可能性是不对,理由是:王强和张明玩“石头、剪刀、布”游戏时,王强可能出三个手势中的一种,即表示石头、剪刀或布中的一种。张明也可能出三个手势中的一种,分别表示石头、剪刀或布。这样在一次出手势时,就有9种情况。即石头—— 剪刀、剪刀—— 布、布—— 石头、石头—— 布、剪刀—— 石头、布—— 剪刀、石头—— 石头、剪刀—— 剪刀、布—— 布。
其中,位于“—— ”左边的表示王强可能出手势,而“—— ”右边的表示张明可能出的手势。结果,在一次出手势时,王强的手势和张明出的手势总共有3×3=9(种),其中王强赢的可能性有3种。即王强赢的可能性为=。另外,王强输的可能性为,还有一种情况,王强与张明和的可能性也为。因此,有老师认为,“王强和张明玩跳棋,他们用‘石头、剪刀、布’的方法决定谁先跳。王强赢的可能性是多少？”这道题的答案是王强赢的可能性为。
到底哪种观点是对的呢？老师之间存在争议。乍看起来,似乎都有道理,甚至还有的老师认为,学生只要讲出道理,王强赢的可能性为和都算对。如果是这样,我们该怎么批改呢？难道这道题有2个正确答案,这显然是不可能的,也不合理。
我认为,作为教师不仅知其然,而且要知其所以然,要把所学的内容放在更为深广的学术背景上,这样才能全面理解所学内容的价值和意义。
3 模型的建立与求解
如果抛硬币,我们知道,出现正面和反面的概率相同(即这里所说的可能性)均为。如果是从一个盒子中摸球,盒子中放有形状、大小、材料都相同,只是颜色不同的3个红球,3个黄球,3个白球。那么摸到红球的可能性为=。
问题是在这道题中,出一次手势王强赢和输的概率都是。可是,当他们出的手势一样,两人不分输赢,他们用“石头、剪刀、布”的方法决定谁先跳,两个人都不能先跳。还应该再比(再决输赢),即第一次出手势相同,第二次还得出手势。因此,针对“王强和张明玩跳棋,他们用‘石头、剪刀、布’的方法决定谁先跳。王强赢的可能性是多少？”的问题,我们应考虑王强赢的情况,可能第一次出手势就赢,也可能第二次出手势才赢等。王强赢的概率,就是在这一游戏中所有赢的情况的概率之和。
那么,我们怎样计算王强赢的概率呢？现在,我们用《概率论与数理统计》、《数学分析》的知识来研究这个问题。
设事件A表示“石头、剪刀、布”的游戏中王强赢,事件B表示王强输,事件C表示王强与张明和。
表示王强第一次出手势就赢。
表示王强第一次出手势和第二次出手势赢。
表示王强第一、二次出手势和而第三次出手势赢。
……
…表示王强前n-1次出手势和而第n次出手势赢。
……
我们来看一下,随机事件独立性的重要概念。如果事件B的发生不影响事件A的概率,即:
,
则称事件A对事件B是独立的;否则称为不独立。[3]
由于,随机事件的独立性是一种相互对称的性质。所以,随机事件的独立性定义可以叙述如下:
如果二事件中任一事件的发生不影响另一事件的概率,则称它们是相互独立的。[4]
我们知道,这里事件、是相互独立的(=1,2,3,…,n,…)。
下面求在“石头、剪刀、布”的游戏中王强赢的概率。
=…++…(概率的公理化定义:公理3′(完全可加性))。
另外,对于独立事件,概率的乘法定理可以叙述如下:
定理1:二独立事件的交的概率等于这两事件的概率的乘积:
对于有限个独立事件,概率的乘法定理可以叙述如下:
定理2:独立事件的交的概率等于这两事件的概率的乘积:
……
故有:
王强第一次出手势赢的概率=;
王强第一次出手势和而第二次赢的概率=×=;
王强第一次出手势和、第二次和而第三次赢概率=××=;
王强第一、二、三次出手势都和而第四次赢概率=×××=;
…
王强前n-1次均和而第n次赢概率…=×=;
…
王强赢的概率,就是在这一游戏中所有赢的情况的概率之和。
=++++…++…
而++++…++…等于多少呢？实际上是求一个无穷级数的和。一系列无穷多个数,,,…,,…,写成和
+++…++…
就称为无穷级数,记为。
++++…++…用无穷级数可以表示为。
下面讨论++++…++…能算出来吗？
由收敛级数的性质4(收敛的必要条件)
若级数收敛,则()。
可知,收敛,因为
()。
由定义:若级数的部分和数列收敛于有限值S,即:
则称级数收敛,记为
=S。
由此可见,研究无穷数列收敛的问题,实质上就是研究部分和数列的收敛问题。部分和(即级数得n次部分和)
…
一个等比数列,从第2项起,每一项与它前一项的比都等于一个同一个常数,这样的数列叫做等比数列。
在由等比数列前n项和公式
(其中为公比)。
所以,
…+)===
故王强赢的概率等于
=++++…++…==。
4 结语
数学建模注重的是建模的方法和过程,一般的建模方法包括:调查研究、模型假设、模型建立、模型求解、模型检验、模型应用[10]。该模型运用概率论与数理统计、数学分析以及等比数列的知识来求解。这可逐步形成分析和处理问题的良好习惯,提高应用数学建模思想解决实际问题的兴趣和能力。
教师培养学生数学建模能力,可引导他们借助于计算机和数学软件等工具处理和分析数据,得出结论。教师自身有必要学习计算机常用软件,如Matlab、Mathematics、Lindo和Sapss等。
参考文献
[1] 冯杰,黄力伟,王勤,等.数学建模原理与案例[M].北京:科学出版社,2007,1:3～4．
[2] 周永正.数学建模思想方法融入概率统计课的教学实践[J].内肛科技,2009(3):185．
[3] 沈恒范.概率论与数理统计教程[M].北京:高等教育出版社,2003:23～25．
[4] 陈传章,金福临,朱学炎,等.数学分析[M].北京:高等教育出版社,1983,5,8:6.