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摘要：轴箱弹簧是地铁列车悬挂系统中重要部件之一，它的结构和质量影响到列车转向架一系悬挂系统的安装精度、运行稳定性和系统使用寿命。本文运用Matlab2012a优化函数，建立地铁列车转向架轴箱弹簧设计模型，通过实例分析某型地铁列车轴箱弹簧设计的合理性。
关键词：地铁车辆；参数模型；轴箱弹簧
1 地铁车辆转向架轴箱弹簧作用
轴箱主要包括转臂式轴箱体，采用迷宫式防尘结构，整体铸造，尺寸紧凑，轴箱上平面可用做不落轮机床的定位面。在动车的轴箱上安装有防滑装置，在拖车的轴箱上安装有测速装置和防滑装置。轴承的型式为双列圆柱、自密封结构。在地铁车辆运行过程中，轴箱弹簧起到支撑、连接，减震等作用，是车辆转向架中不可缺少的重要部件，为了提高车辆运行安全性、平稳性、舒适性，在结构空间位置、转向架高度、连接部件使用寿命等条件允许的情况下，实现车体轻量化设计，降低转向架一系悬挂系统制造成本。采用空气弹簧悬挂系统可以显著提高车辆系统的运行平稳性，大大简化转向架的结构，使转向架实现轻量化和易于维护。
2 地铁车辆二系悬挂--空气弹簧悬挂系统的介绍
空气弹簧悬挂系统主要由空气弹簧、附加空气室、高度控制装置、差压阀等组成。该系统的工作原理为：车辆静载荷增加时，空气弹簧被压缩使空气弹簧工作高度降低，这样高度控制阀随车体下降，由于高度调整连杆的长度固定，此时高度调整杠杆发生转动打开高度控制阀的进气机构，压力空气由列车风源通过高度控制阀的进气机构进入空气弹簧和附加空气室，直到高度调整杠杆回到水平位置即空气弹簧恢复其原来的工作高度；车辆静载荷减小时，空气弹簧伸长使空气弹簧的工作高度增大，高度控制阀随车体上升，同样由于高度调整连杆的长度固定，高度调整杠杆发生反向转动打开高度控制阀的排气机构，压力空气由空气弹簧和附加空气室通过高度控制阀的排气机构经排气口排入大气，直到高度调整杠杆回到水平位置。
2.1 空气弹簧和附加空气室
2.1.1 空气弹簧
空气弹簧悬挂系统具有理想的反S形非线性刚度特性，在正常工作范围内刚度很低，而振幅较大时其刚度具有陡增的特点，可以限制车体发生过大的位移。空气弹簧还能够有效地吸收高频振动和隔离噪音，并且由于自动高度控制阀的采用使空气弹簧悬挂可以保持地板高度不随车辆静载荷的变化而发生变化（除一系悬挂和车轮磨耗外），即空气弹簧具有恒定的工作高度。
2.1.2 附加空气室
附加空气室的作用在于能够显著降低空气弹簧的垂向刚度，但当附加空气室的容积达到一定数值后刚度变化不再明显。无摇枕转向架有两种情况：一种是利用转向架构架侧梁和（或）横梁内腔；另一种是在车体上设置单独的空气弹簧附加空气室。这两种情况各有利弊，应根据不同的设计条件加以选择。
2.2 高度控制阀和差压阀
2.2.1 高度控制阀
正是由于自动高度控制阀的采用才使得空气弹簧具有许多优点。车体高度控制是通过高度控制阀控制空气弹簧充、放气来实现的。一般地铁车辆要求载荷变化时车辆地板高度调整的时间不超过车站停车时间，地板面高度的变化范围为±10mm。高度阀只能用来补偿乘客重量的变化，而不能用于补偿车轮和转向架零件的磨损，高度阀应不受车辆振动和轨道冲击的影响。
2.2.2 差压阀
差压阀安装在同一转向架左右空气弹簧的连接管路中间，在任何一侧的空气弹簧出现异常时作为安全装置而起作用，连通左右空气弹簧，防止车体过大倾斜。差压阀的动作压力一般有1kg/cm2、1.2kg/cm2、1.5kg/cm2三种。差压阀动作压力的选择应综合考虑多方面的因素，在条件允许的情况下尽可能选择较小值，以减小车辆在过渡曲线上的对角压差，提高车辆的抗脱轨安全性。
空气弹簧悬挂系统的横向阻尼由横向油压减振器提供。在有摇枕转向架中，多由支重旁承提供回转阻尼提高车辆蛇行运动的临界速度；在无摇枕转向架中，一般地铁车辆都通过在车体和转向架构架之间安装抗蛇行油压减振器来保证蛇行运动的临界速度。
3轴箱弹簧设计理论基础
基本设计思路是根据弹簧载荷计算弹簧刚度设计弹簧尺寸，通过强度、稳定性校核确定弹簧设计的合理性。
3.1 彈簧尺寸确定
首先，由地铁车辆在AW3（极限载荷）模式确定每个轴箱弹簧承受的最大载荷；其次，从转向架力学平衡性和转向架设计高度选取弹簧挠度；最后，确定弹簧高度和螺旋节径及弹簧旋绕比。
刚度计算：p= Fmax/δ=Gd4/8nD3
Fmax为弹簧最大垂向载荷；δ为弹簧变形量（弹簧挠度）；G为弹簧剪切模量；d为弹簧材料直径；D为弹簧螺旋节径；n为弹簧有效圈数。
弹簧旋绕比：C=D/d
3.2 弹簧强度、疲劳强度效验
确保列车运行安全，弹簧最大应力应小于许用应力，即
最大应力值：Tmax=8FmaxDk/πd3；Tmax≤[T]。
式中，[T]为弹簧许用应力；K为曲度修正系数。
疲劳应力值：Te=0.47Tmax≤[T-1]，根据文献[1]可调查到；[T-1]疲劳许用应力。
3.3 稳定性校验
为保证弹簧的稳定性，弹簧长径比应满足
H/D≤3.6
式中，H为弹簧自由高度。
3.4 不并圈验证
保证弹簧在最大压力下不出现并圈现象，故而
H-λmax≥Hmin
式中，λmax为弹簧最大挠度，Hmin弹簧最小高度。
Hmin=d×z
式中，z为弹簧总圈数，z=n+1.5。
3.5 无共振验证
由于轴箱弹簧采用两端固定形式，用于支撑和减振故弹簧自振频率应满足： fz≥2fg
其中，fz =3.56×105d/（D2n）。
4 参数模型
4.1 模型设计步骤
（1）以弹簧重量最小为目标，建立目标函数
f（x）=πr2 πD（n+1.5）ρ=0.019d2D（n+1.5）
式中，r=d/2；ρ=0.0078弹簧密度。
（2）根据上述设计原理，建立弹簧外形尺寸关系函数，设置刚度、强度、稳定性等约束条件并求解。
（3）编制并执行优化程序获得优化结果。
主要函数：定义函数Function；有约束最小化函数 Fmincon（）；创建和编辑参数结构Optimset（）。
（4）完成计算结果的判断与分析。
判断标准：y=[pt1，pt2，pt3，pt4，pt5，pt6，pt7，pt8]均小于或等于0。
4.2 设计实例
某型地铁车辆轴箱圆柱螺旋弹簧最大载荷29.5kN，允许压缩变形量95.2mm，自由高度360mm，工作频率5～10Hz。弹簧选材60Si2MnA，许用应力740MPa，疲劳许用应力285.7MPa进行设计与校验。
4.2.1 以降低弹簧重量为目标，编写目标函数文件
function f=mbfun（t） f=0.019*t（1）^2*t（2）*（t（3）+1.5）
4.2.2 确定弹簧外形尺寸、强度、稳定性等约束条件，编写约束函数文件
function[y，ceq]=yuesufun（t）
p=79000*t（1）^4/（8*t（3）*t（2）^3）；b=29500/p；m=t（2）/t（1）；k=（4*m-1）/（4*m-4）+0.615/m； （下转第页）
（上接第页）Tmax=1.5*8*29500*t（2）*k/（3.14*t（1）^3）
Te=0.47*8*29500*t（2）*k/（3.14*t（1）^3）；fz=3.56e5*t（1）/（（t（2）^2）*t（3））
l=t（2）/t（1）；pt1=Tmax-740；pt2=Te-285.7；pt3=95.2-b；
pt4=360-3.6*t（2） %360-95.2*1.5=217.2
pt5=（（t（3）+1.5）*t（1））-217.2；pt6=4-（t（2）/t（1））；pt7=（t（2）/t（1））-7
pt8=2*10-fz；y=[pt1，pt2，pt3，pt4，pt5，pt6，pt7，pt8]；ceq=[]
4.2.3 优化弹簧参数，编写执行文件
function f=yhfun（）
t0=[30，200，4] ；options =optimset（'largescale'，'off'，'display'，'final'）
[t，fval]=fmincon（@mbfun，t0，[]，[]，[]，[]，[]，[]，@yuesufun，options）
4.2.4 输出结果
y=-0.0000，-53.8333，-0.0000，-377.9960，0.0000，
-2.0421，-0.9579，-38.6355；t=33.9284 204.9989 4.9017；fval=28703
4.2.5 結果分析
计算结果显示判断标准（约束）均小于或等于0，该次弹簧外形与尺寸参数优化结果合理。在弹簧实际选用过程中首先结合国家标准对弹簧尺寸和参数的规定，采用近似取值的方法对优化后的参数进行取整，取整后的尺寸参数必须进行校验，以保证弹簧设计的有效性。
5 结语
从地铁的组成结构上来看，转向架轴箱弹簧是地铁车辆结构的重要组成部分，这一部分不仅仅关系着地铁车辆安全运营，更关系到乘客的生命财产安全，因此对地铁车辆转向架轴箱弹簧设计非常重要。Matlab软件在地铁车辆圆柱螺旋式轴箱弹簧设计过程中，具有简单、可靠、适用性强等特点，特别是Matlab最优化函数的应用减少了人工计算实验的时间，让地铁车辆圆柱螺旋式轴箱弹簧的设计和校验过程更便捷。
参考文献：
[1]汪曾祥，魏先英，刘祥志.弹簧设计手册[M].上海：上海科学技术文献出版社，1986.
[2]中华人民共和国国家标准.GB/T2089-94，圆柱螺旋压缩弹簧尺寸及参数[S].
[3]张桥平，彭建武，周志刚.城市轨道交通车辆机械[M].成都：西南交通大学出版社，2014.
关键词：地铁车辆；参数模型；轴箱弹簧
1 地铁车辆转向架轴箱弹簧作用
轴箱主要包括转臂式轴箱体，采用迷宫式防尘结构，整体铸造，尺寸紧凑，轴箱上平面可用做不落轮机床的定位面。在动车的轴箱上安装有防滑装置，在拖车的轴箱上安装有测速装置和防滑装置。轴承的型式为双列圆柱、自密封结构。在地铁车辆运行过程中，轴箱弹簧起到支撑、连接，减震等作用，是车辆转向架中不可缺少的重要部件，为了提高车辆运行安全性、平稳性、舒适性，在结构空间位置、转向架高度、连接部件使用寿命等条件允许的情况下，实现车体轻量化设计，降低转向架一系悬挂系统制造成本。采用空气弹簧悬挂系统可以显著提高车辆系统的运行平稳性，大大简化转向架的结构，使转向架实现轻量化和易于维护。
2 地铁车辆二系悬挂--空气弹簧悬挂系统的介绍
空气弹簧悬挂系统主要由空气弹簧、附加空气室、高度控制装置、差压阀等组成。该系统的工作原理为：车辆静载荷增加时，空气弹簧被压缩使空气弹簧工作高度降低，这样高度控制阀随车体下降，由于高度调整连杆的长度固定，此时高度调整杠杆发生转动打开高度控制阀的进气机构，压力空气由列车风源通过高度控制阀的进气机构进入空气弹簧和附加空气室，直到高度调整杠杆回到水平位置即空气弹簧恢复其原来的工作高度；车辆静载荷减小时，空气弹簧伸长使空气弹簧的工作高度增大，高度控制阀随车体上升，同样由于高度调整连杆的长度固定，高度调整杠杆发生反向转动打开高度控制阀的排气机构，压力空气由空气弹簧和附加空气室通过高度控制阀的排气机构经排气口排入大气，直到高度调整杠杆回到水平位置。
2.1 空气弹簧和附加空气室
2.1.1 空气弹簧
空气弹簧悬挂系统具有理想的反S形非线性刚度特性，在正常工作范围内刚度很低，而振幅较大时其刚度具有陡增的特点，可以限制车体发生过大的位移。空气弹簧还能够有效地吸收高频振动和隔离噪音，并且由于自动高度控制阀的采用使空气弹簧悬挂可以保持地板高度不随车辆静载荷的变化而发生变化（除一系悬挂和车轮磨耗外），即空气弹簧具有恒定的工作高度。
2.1.2 附加空气室
附加空气室的作用在于能够显著降低空气弹簧的垂向刚度，但当附加空气室的容积达到一定数值后刚度变化不再明显。无摇枕转向架有两种情况：一种是利用转向架构架侧梁和（或）横梁内腔；另一种是在车体上设置单独的空气弹簧附加空气室。这两种情况各有利弊，应根据不同的设计条件加以选择。
2.2 高度控制阀和差压阀
2.2.1 高度控制阀
正是由于自动高度控制阀的采用才使得空气弹簧具有许多优点。车体高度控制是通过高度控制阀控制空气弹簧充、放气来实现的。一般地铁车辆要求载荷变化时车辆地板高度调整的时间不超过车站停车时间，地板面高度的变化范围为±10mm。高度阀只能用来补偿乘客重量的变化，而不能用于补偿车轮和转向架零件的磨损，高度阀应不受车辆振动和轨道冲击的影响。
2.2.2 差压阀
差压阀安装在同一转向架左右空气弹簧的连接管路中间，在任何一侧的空气弹簧出现异常时作为安全装置而起作用，连通左右空气弹簧，防止车体过大倾斜。差压阀的动作压力一般有1kg/cm2、1.2kg/cm2、1.5kg/cm2三种。差压阀动作压力的选择应综合考虑多方面的因素，在条件允许的情况下尽可能选择较小值，以减小车辆在过渡曲线上的对角压差，提高车辆的抗脱轨安全性。
空气弹簧悬挂系统的横向阻尼由横向油压减振器提供。在有摇枕转向架中，多由支重旁承提供回转阻尼提高车辆蛇行运动的临界速度；在无摇枕转向架中，一般地铁车辆都通过在车体和转向架构架之间安装抗蛇行油压减振器来保证蛇行运动的临界速度。
3轴箱弹簧设计理论基础
基本设计思路是根据弹簧载荷计算弹簧刚度设计弹簧尺寸，通过强度、稳定性校核确定弹簧设计的合理性。
3.1 彈簧尺寸确定
首先，由地铁车辆在AW3（极限载荷）模式确定每个轴箱弹簧承受的最大载荷；其次，从转向架力学平衡性和转向架设计高度选取弹簧挠度；最后，确定弹簧高度和螺旋节径及弹簧旋绕比。
刚度计算：p= Fmax/δ=Gd4/8nD3
Fmax为弹簧最大垂向载荷；δ为弹簧变形量（弹簧挠度）；G为弹簧剪切模量；d为弹簧材料直径；D为弹簧螺旋节径；n为弹簧有效圈数。
弹簧旋绕比：C=D/d
3.2 弹簧强度、疲劳强度效验
确保列车运行安全，弹簧最大应力应小于许用应力，即
最大应力值：Tmax=8FmaxDk/πd3；Tmax≤[T]。
式中，[T]为弹簧许用应力；K为曲度修正系数。
疲劳应力值：Te=0.47Tmax≤[T-1]，根据文献[1]可调查到；[T-1]疲劳许用应力。
3.3 稳定性校验
为保证弹簧的稳定性，弹簧长径比应满足
H/D≤3.6
式中，H为弹簧自由高度。
3.4 不并圈验证
保证弹簧在最大压力下不出现并圈现象，故而
H-λmax≥Hmin
式中，λmax为弹簧最大挠度，Hmin弹簧最小高度。
Hmin=d×z
式中，z为弹簧总圈数，z=n+1.5。
3.5 无共振验证
由于轴箱弹簧采用两端固定形式，用于支撑和减振故弹簧自振频率应满足： fz≥2fg
其中，fz =3.56×105d/（D2n）。
4 参数模型
4.1 模型设计步骤
（1）以弹簧重量最小为目标，建立目标函数
f（x）=πr2 πD（n+1.5）ρ=0.019d2D（n+1.5）
式中，r=d/2；ρ=0.0078弹簧密度。
（2）根据上述设计原理，建立弹簧外形尺寸关系函数，设置刚度、强度、稳定性等约束条件并求解。
（3）编制并执行优化程序获得优化结果。
主要函数：定义函数Function；有约束最小化函数 Fmincon（）；创建和编辑参数结构Optimset（）。
（4）完成计算结果的判断与分析。
判断标准：y=[pt1，pt2，pt3，pt4，pt5，pt6，pt7，pt8]均小于或等于0。
4.2 设计实例
某型地铁车辆轴箱圆柱螺旋弹簧最大载荷29.5kN，允许压缩变形量95.2mm，自由高度360mm，工作频率5～10Hz。弹簧选材60Si2MnA，许用应力740MPa，疲劳许用应力285.7MPa进行设计与校验。
4.2.1 以降低弹簧重量为目标，编写目标函数文件
function f=mbfun（t） f=0.019*t（1）^2*t（2）*（t（3）+1.5）
4.2.2 确定弹簧外形尺寸、强度、稳定性等约束条件，编写约束函数文件
function[y，ceq]=yuesufun（t）
p=79000*t（1）^4/（8*t（3）*t（2）^3）；b=29500/p；m=t（2）/t（1）；k=（4*m-1）/（4*m-4）+0.615/m； （下转第页）
（上接第页）Tmax=1.5*8*29500*t（2）*k/（3.14*t（1）^3）
Te=0.47*8*29500*t（2）*k/（3.14*t（1）^3）；fz=3.56e5*t（1）/（（t（2）^2）*t（3））
l=t（2）/t（1）；pt1=Tmax-740；pt2=Te-285.7；pt3=95.2-b；
pt4=360-3.6*t（2） %360-95.2*1.5=217.2
pt5=（（t（3）+1.5）*t（1））-217.2；pt6=4-（t（2）/t（1））；pt7=（t（2）/t（1））-7
pt8=2*10-fz；y=[pt1，pt2，pt3，pt4，pt5，pt6，pt7，pt8]；ceq=[]
4.2.3 优化弹簧参数，编写执行文件
function f=yhfun（）
t0=[30，200，4] ；options =optimset（'largescale'，'off'，'display'，'final'）
[t，fval]=fmincon（@mbfun，t0，[]，[]，[]，[]，[]，[]，@yuesufun，options）
4.2.4 输出结果
y=-0.0000，-53.8333，-0.0000，-377.9960，0.0000，
-2.0421，-0.9579，-38.6355；t=33.9284 204.9989 4.9017；fval=28703
4.2.5 結果分析
计算结果显示判断标准（约束）均小于或等于0，该次弹簧外形与尺寸参数优化结果合理。在弹簧实际选用过程中首先结合国家标准对弹簧尺寸和参数的规定，采用近似取值的方法对优化后的参数进行取整，取整后的尺寸参数必须进行校验，以保证弹簧设计的有效性。
5 结语
从地铁的组成结构上来看，转向架轴箱弹簧是地铁车辆结构的重要组成部分，这一部分不仅仅关系着地铁车辆安全运营，更关系到乘客的生命财产安全，因此对地铁车辆转向架轴箱弹簧设计非常重要。Matlab软件在地铁车辆圆柱螺旋式轴箱弹簧设计过程中，具有简单、可靠、适用性强等特点，特别是Matlab最优化函数的应用减少了人工计算实验的时间，让地铁车辆圆柱螺旋式轴箱弹簧的设计和校验过程更便捷。
参考文献：
[1]汪曾祥，魏先英，刘祥志.弹簧设计手册[M].上海：上海科学技术文献出版社，1986.
[2]中华人民共和国国家标准.GB/T2089-94，圆柱螺旋压缩弹簧尺寸及参数[S].
[3]张桥平，彭建武，周志刚.城市轨道交通车辆机械[M].成都：西南交通大学出版社，2014.