论文部分内容阅读
【摘要】函数贯穿于高中数学课程的始终，它的重要性应属高中数学之首，而函数的强抽象性使得学生在对函数的概念的理解及性质的应用上存在诸多困难，函数中转化思想、换元思想等思想方法虽然看似简单而且常用，但是学生还是难以真正理解.笔者结合教学实践，在函数教学中引用包装思想，并辅助以生活化的数学语言，获得学生的高度认同，效果明显，为此整理成文，请各位同仁加以指正.
【关键词】包装；包装思想；数学语言；语言艺术
函数贯穿高中数学的始终，它在方程、不等式、解析几何、数列、算法、应用问题等知识中的广泛应用奠定了它在高中数学中至尊至上的地位；新课程标准实施建议中提出，教师应帮助学生理解和掌握数学基础知识、基本技能，发展能力，强调对基本概念和基本思想的理解和掌握，对一些核心概念和基本思想（如函数等）要帮助学生逐步加深理解；对于数学高度抽象的特点，要注重体现基本概念的来龙去脉.函数重要性及新课程标准的实施建议决定了函数教学的重要性，那么怎样才能让学生更容易掌握函数的相关知识呢？怎么才能让学生熟练应用函数的图像与性质呢？这值得我们数学教学工作者深入研究.
一、学生在函数学习上的问题分析
教师往往用一些实例引出函数的定义，学生能接受那具体的实例，但在具体运用中明显表现出对概念的不理解；在对函数性质应用的时候，学生很大程度上停留在识记阶段，对上课老师讲过的同类型的题目还是以模仿为主，要是碰上新颖的题目或是老师没讲过的题目，学生往往束手无策，而且在解题过程中丢三落四，忽视条件及注意事项，究其原因是学生对问题本质的不清.因此如何让学生真正地理解概念及性质值得我们去探索，而要使学生摆脱原有的机械模拟，这就需要我们更新原有的思想方法、原有的语言方式，用学生易接受的方式、语言来使之理解、消化.
二、函数包装思想的产生
在函数课堂教学实践过程中，发现学生学习中存在着以下几个主要问题：
1.学生对函数的概念及对换元思想的掌握情况不甚理想，缺乏实质性的理解，思路不清者较多.
2.学生所学基本初等函数有一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、正弦函数、余弦函数、正切函数，它们的图像与性质是学生所熟悉的，各式各样的复合函数必定可以转化为基本初等函数，因此如何把复合函数转化为基本初等函数，化未知为已知、化陌生为熟悉、化繁为简成为攻克函数难点的重中之重.
3.函数中转化思想、换元思想这些常用的思想看似简单，但对学生而言它们仍属抽象且难理解，学生多被迫接受，并没有在接受过程中产生自己的思想，学生从中很难体会到学习当中蕴含的乐趣.
鉴于以上几个原因，笔者通过教学实践与反思，由小品《如此包装》中产生灵感，在函数教学中用上“包装”，也就是对换元、转化等术语作了适当的调整，通过包装思想及生活化的语言艺术来讲述函数相关问题，并取得非常好的效果.
三、包装的本质
函数中的包装其实就是变相的换元，它是一种思想，可以放在心里一闪而过，不需用换元的方式来书写；也可以把包装用换元的方式加以书写，其结果可能与换元法写法完全相同，但其心理过程不完全相同.通过实践证明，函数教学用包装思想来理解的效果明显胜于用换元思想、转化思想来理解的效果.包装的一个最主要的目的是构建一个或多个熟悉的基本初等函数，从而实现复杂问题简单化、未知问题已知化.
四、函数包装的种类及前期准备
按照函数的复杂程度进行包装，以包装成基本初等函数为原则，按包装的次数分为单次包装及多次包装.在应用包装思想前应掌握基本初等函数（一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、正弦函数、余弦函数、正切函数）的图像与性质.
五、包装过程中的语言艺术
函数之所以成为学生学习的难点，很大程度上源自于抽象的概念、抽象的语言，数学化的专业术语有时成了学生学习的绊脚石，大多数学生难以理解教材中某些句子的含义，他们能懂得换元是怎么回事，但他们不懂得为什么要换元，什么时候要换元，前因后果不明，逻辑关系混乱，在老师认为很简单的地方学生往往还会有很多疑惑，因此让我们的数学语言通俗化、生活化，使之成为学生易接受的语言显得十分重要.
数学语言的标准是学生的可接受性，语言要具备合理性、幽默性、亲和性、易懂性，让学生能在生活化、幽默化的语言艺术中更快的接受数学知识，通过这样的语言艺术体会学习数学的乐趣.
六、实践探究
例1 已知函数f(x)的定义域为（1，2），求函数f(2x)的定义域.
分析 （1）明确定义域的定义；（2）f(x)与f(2x)的关联.
解法一（代入法） ∵1 ∴函数f(2x)的定义域为12，1.
学生的困惑：x的范围怎与2x的范围相同？其根本原因就是不理解两个x的区别，不理解函数的概念.
解法二（换元法） 令t=2x,∵1 ∴1 ∴函数f(2x)的定义域为12,1.
学生对解法二的理解虽然比解法一更进一步，但还是有较多学生表现出迷茫的表情.
于是笔者引进包装法的思想：
已知函数是f(x)，未知函数是f(2x),所要求的定义域是未知函数中自变量x的取值范围，而两个函数的联系是对应关系相同，函数f(x)是已知函数，我们可以对未知函数f(2x)作个包装，把2x包装成一个最简单的变量如t，从而构造了函数y=f(t)，由函数的定义可知，y=f(t)与y=f(x)意义完全相同，只是自变量用了不同的字母，这样就实现了把未知函数包装成已知函数的目的，于是t与f(x)中的x信息完全相同,通过已知函数y=f(x)得到t的信息，最后拆掉包装即可.
具体解法如下：
解法三（包装法） 把2x包装成t,则因f(x)中1 实践反馈 笔者利用从教的两个班级做实验，其中一个班级用前两种方法讲解，另一个班级用包装法讲解，所取得的效果差异显著，包装法明显好于其他方法.
例2 求函数y=4x-2×2x-1，x∈［-1,2］的值域.
分析 显然已知函数中隐藏着二次函数、指数函数，因此我们只需将它们包装出来，再利用基本初等函数的相关知识解决即可.
解 令t=2x,则y=t2-2t-1,x∈［-1,2］.（构造了指数函数与二次函数，求值域的过程实则完成“接力跑”的过程，分别作出两个函数的图像，帮助直观解题）
∵x∈［-1,2］，∴t∈12,4,∴y∈［-2,7］.
∴原函数的值域为［-2，7］.
小结 本题解题只需把原函数包装成基本初等函数，然后完成变量之间的传递即“接力跑”，交接的过程中要注意“每棒成员”的改变即定义域的改变，用初等函数的性质要多借助图像.本题三种方法中，包装法的优势在于其通俗化、生活化的语言让学生能轻松理解，加之“接力跑”等形象的语言让学生通过生活来理解数学的本质，突破理解上的障碍，从而培养了学生学习数学的兴趣.
例3 已知函数f(x)为奇函数，当x>0时，f(x)=x2-sinx,求x<0时f(x)的解析式.
分析 x>0时f(x)是已知的，x<0时f(x)是未知的，按包装法的思想，我们只需把未知量包装成已知量，借已知来求未知，将x<0中的x包装成-x,则-x>0,符合了已知函数的条件,包装成功，此题的“包装”也可理解成“化装”.
解 x<0时，-x>0(把-x外加层包装纸)，
则f(-x)=(-x)2-sin(-x)=x2+sinx.
又 ∵f(x)是奇函数，∴f(-x)=-f(x)=x2+sinx，
∴x<0时，f(x)=-x2-sinx.
例4 要得到函数y=sin2x-π3，(x∈R)的图像，只需将函数y=sin2x，(x∈R)的图像().
A.向左平移π3个单位长度
B.向右平移π3个单位长度
C.向左平移π6个单位长度
D.向右平移π6个单位长度
分析 图像要平移，该怎么移，首先要理解图像平移的本质，图像之所以平移在于所有点的平移，在于两个函数所经过的点的不同，因此从点入手分析才能真正理解问题的本质.
设函数y=sin2x过(x0,y0)，则sin2x0=y0,对函数y=sin2x-π3，我们只需把2x-π3包装成2x0，则会有y=sin2x0=y0,再把2x0的包装纸拆掉还原给2x-π3，得x=x0+π6.于是函数y=sin2x-π3，(x∈R)过点x0+π6，y0，从而发现(x0,y0)与x0+π6，y0的位置关系，选择答案D.
以上例子都通过包装的思想对函数作出包装，其中的包装有换元的意思，也有化装的意思，有单层包装也有多层包装，但无论是哪种包装，其本质在于化复合函数为基本初等函数，化未知函数为已知函数，化繁为简.实践证明，包装法以它生活化的语言艺术达到了换元法所无法取得的效果，因此同一种方法，用不同的词语，用不同的语言去描述，其效果差异往往会很大.作为数学教育工作者，我们应不断地反思过去创新未来，跟进时代的步伐，要多用学生化、生活化、幽默化的语言来刻画数学中的知识，让数学学习变得更有趣，让数学课堂语言变得更幽默，让学生学习更轻松！
【参考文献】
普通高中数学课程标准.北京：人民教育出版社，2003.
【关键词】包装；包装思想；数学语言；语言艺术
函数贯穿高中数学的始终，它在方程、不等式、解析几何、数列、算法、应用问题等知识中的广泛应用奠定了它在高中数学中至尊至上的地位；新课程标准实施建议中提出，教师应帮助学生理解和掌握数学基础知识、基本技能，发展能力，强调对基本概念和基本思想的理解和掌握，对一些核心概念和基本思想（如函数等）要帮助学生逐步加深理解；对于数学高度抽象的特点，要注重体现基本概念的来龙去脉.函数重要性及新课程标准的实施建议决定了函数教学的重要性，那么怎样才能让学生更容易掌握函数的相关知识呢？怎么才能让学生熟练应用函数的图像与性质呢？这值得我们数学教学工作者深入研究.
一、学生在函数学习上的问题分析
教师往往用一些实例引出函数的定义，学生能接受那具体的实例，但在具体运用中明显表现出对概念的不理解；在对函数性质应用的时候，学生很大程度上停留在识记阶段，对上课老师讲过的同类型的题目还是以模仿为主，要是碰上新颖的题目或是老师没讲过的题目，学生往往束手无策，而且在解题过程中丢三落四，忽视条件及注意事项，究其原因是学生对问题本质的不清.因此如何让学生真正地理解概念及性质值得我们去探索，而要使学生摆脱原有的机械模拟，这就需要我们更新原有的思想方法、原有的语言方式，用学生易接受的方式、语言来使之理解、消化.
二、函数包装思想的产生
在函数课堂教学实践过程中，发现学生学习中存在着以下几个主要问题：
1.学生对函数的概念及对换元思想的掌握情况不甚理想，缺乏实质性的理解，思路不清者较多.
2.学生所学基本初等函数有一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、正弦函数、余弦函数、正切函数，它们的图像与性质是学生所熟悉的，各式各样的复合函数必定可以转化为基本初等函数，因此如何把复合函数转化为基本初等函数，化未知为已知、化陌生为熟悉、化繁为简成为攻克函数难点的重中之重.
3.函数中转化思想、换元思想这些常用的思想看似简单，但对学生而言它们仍属抽象且难理解，学生多被迫接受，并没有在接受过程中产生自己的思想，学生从中很难体会到学习当中蕴含的乐趣.
鉴于以上几个原因，笔者通过教学实践与反思，由小品《如此包装》中产生灵感，在函数教学中用上“包装”，也就是对换元、转化等术语作了适当的调整，通过包装思想及生活化的语言艺术来讲述函数相关问题，并取得非常好的效果.
三、包装的本质
函数中的包装其实就是变相的换元，它是一种思想，可以放在心里一闪而过，不需用换元的方式来书写；也可以把包装用换元的方式加以书写，其结果可能与换元法写法完全相同，但其心理过程不完全相同.通过实践证明，函数教学用包装思想来理解的效果明显胜于用换元思想、转化思想来理解的效果.包装的一个最主要的目的是构建一个或多个熟悉的基本初等函数，从而实现复杂问题简单化、未知问题已知化.
四、函数包装的种类及前期准备
按照函数的复杂程度进行包装，以包装成基本初等函数为原则，按包装的次数分为单次包装及多次包装.在应用包装思想前应掌握基本初等函数（一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、正弦函数、余弦函数、正切函数）的图像与性质.
五、包装过程中的语言艺术
函数之所以成为学生学习的难点，很大程度上源自于抽象的概念、抽象的语言，数学化的专业术语有时成了学生学习的绊脚石，大多数学生难以理解教材中某些句子的含义，他们能懂得换元是怎么回事，但他们不懂得为什么要换元，什么时候要换元，前因后果不明，逻辑关系混乱，在老师认为很简单的地方学生往往还会有很多疑惑，因此让我们的数学语言通俗化、生活化，使之成为学生易接受的语言显得十分重要.
数学语言的标准是学生的可接受性，语言要具备合理性、幽默性、亲和性、易懂性，让学生能在生活化、幽默化的语言艺术中更快的接受数学知识，通过这样的语言艺术体会学习数学的乐趣.
六、实践探究
例1 已知函数f(x)的定义域为（1，2），求函数f(2x)的定义域.
分析 （1）明确定义域的定义；（2）f(x)与f(2x)的关联.
解法一（代入法） ∵1
学生的困惑：x的范围怎与2x的范围相同？其根本原因就是不理解两个x的区别，不理解函数的概念.
解法二（换元法） 令t=2x,∵1
学生对解法二的理解虽然比解法一更进一步，但还是有较多学生表现出迷茫的表情.
于是笔者引进包装法的思想：
已知函数是f(x)，未知函数是f(2x),所要求的定义域是未知函数中自变量x的取值范围，而两个函数的联系是对应关系相同，函数f(x)是已知函数，我们可以对未知函数f(2x)作个包装，把2x包装成一个最简单的变量如t，从而构造了函数y=f(t)，由函数的定义可知，y=f(t)与y=f(x)意义完全相同，只是自变量用了不同的字母，这样就实现了把未知函数包装成已知函数的目的，于是t与f(x)中的x信息完全相同,通过已知函数y=f(x)得到t的信息，最后拆掉包装即可.
具体解法如下：
解法三（包装法） 把2x包装成t,则因f(x)中1
例2 求函数y=4x-2×2x-1，x∈［-1,2］的值域.
分析 显然已知函数中隐藏着二次函数、指数函数，因此我们只需将它们包装出来，再利用基本初等函数的相关知识解决即可.
解 令t=2x,则y=t2-2t-1,x∈［-1,2］.（构造了指数函数与二次函数，求值域的过程实则完成“接力跑”的过程，分别作出两个函数的图像，帮助直观解题）
∵x∈［-1,2］，∴t∈12,4,∴y∈［-2,7］.
∴原函数的值域为［-2，7］.
小结 本题解题只需把原函数包装成基本初等函数，然后完成变量之间的传递即“接力跑”，交接的过程中要注意“每棒成员”的改变即定义域的改变，用初等函数的性质要多借助图像.本题三种方法中，包装法的优势在于其通俗化、生活化的语言让学生能轻松理解，加之“接力跑”等形象的语言让学生通过生活来理解数学的本质，突破理解上的障碍，从而培养了学生学习数学的兴趣.
例3 已知函数f(x)为奇函数，当x>0时，f(x)=x2-sinx,求x<0时f(x)的解析式.
分析 x>0时f(x)是已知的，x<0时f(x)是未知的，按包装法的思想，我们只需把未知量包装成已知量，借已知来求未知，将x<0中的x包装成-x,则-x>0,符合了已知函数的条件,包装成功，此题的“包装”也可理解成“化装”.
解 x<0时，-x>0(把-x外加层包装纸)，
则f(-x)=(-x)2-sin(-x)=x2+sinx.
又 ∵f(x)是奇函数，∴f(-x)=-f(x)=x2+sinx，
∴x<0时，f(x)=-x2-sinx.
例4 要得到函数y=sin2x-π3，(x∈R)的图像，只需将函数y=sin2x，(x∈R)的图像().
A.向左平移π3个单位长度
B.向右平移π3个单位长度
C.向左平移π6个单位长度
D.向右平移π6个单位长度
分析 图像要平移，该怎么移，首先要理解图像平移的本质，图像之所以平移在于所有点的平移，在于两个函数所经过的点的不同，因此从点入手分析才能真正理解问题的本质.
设函数y=sin2x过(x0,y0)，则sin2x0=y0,对函数y=sin2x-π3，我们只需把2x-π3包装成2x0，则会有y=sin2x0=y0,再把2x0的包装纸拆掉还原给2x-π3，得x=x0+π6.于是函数y=sin2x-π3，(x∈R)过点x0+π6，y0，从而发现(x0,y0)与x0+π6，y0的位置关系，选择答案D.
以上例子都通过包装的思想对函数作出包装，其中的包装有换元的意思，也有化装的意思，有单层包装也有多层包装，但无论是哪种包装，其本质在于化复合函数为基本初等函数，化未知函数为已知函数，化繁为简.实践证明，包装法以它生活化的语言艺术达到了换元法所无法取得的效果，因此同一种方法，用不同的词语，用不同的语言去描述，其效果差异往往会很大.作为数学教育工作者，我们应不断地反思过去创新未来，跟进时代的步伐，要多用学生化、生活化、幽默化的语言来刻画数学中的知识，让数学学习变得更有趣，让数学课堂语言变得更幽默，让学生学习更轻松！
【参考文献】
普通高中数学课程标准.北京：人民教育出版社，2003.