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摘要：《不含括号的三步混合运算》一课的教学，是进一步发展学生混合运算能力的需要，也是接下来的加法、乘法运算律及简单的简便运算、小数四则混合运算及分数四则混合运算的基础。在本节课从学情分析到初次实践，到课后反思，再到再次实践的教学研究过程中，认识到四则混合运算教学要注意：教材解读，从篇章走向系统;法则教学，从说理走向迁移;练习设计，从零散走向建模。
关键词：运算教学教研纪实不含括号的三步混合运算
一、学情分析
《不含括号的三步混合运算》一课是苏教版小学数学四年级上册《整数四则混合运算》单元的第一课时。在此之前，学生已经具备了加、减、乘、除四则运算的基础，掌握了两步混合运算的方法，积累了“从条件想起”“从问题想起”等相关解决问题的经验，学会了三步运算解决实际问题。本节课的教学是进一步发展学生混合运算能力的需要，也是接下来的加法、乘法运算律及简单的简便运算、小数四则混合运算及分数四则混合运算的基础。
那么就本节课而言，学生自主迁移的能力是怎样的呢？我对一个班级43名学生做了一个前测：分别出示算式20×5+4×3和120+20×3÷4，让学生计算。前测结果如下：
1.关于算式20×5+4×3。34名学生能够顺利迁移，但其中11名学生缺乏对算式意义的理解，具体做法如下页图1所示;8名学生不能顺利迁移，其中7名学生对运算的意义理解模糊，不能将运算顺序贯穿于整个计算过程中，具体做法如下页图2所示;1名学生完全不能迁移，其做法如下页图3所示。
2.关于算式120+20×3÷4。12名学生能够顺利迁移;9名学生对运算的意义理解模糊，不能将运算顺序贯穿于整个计算过程中，具体做法如下页图4所示;22名学生完全不能迁移，具体做法如下页图5所示。
显然，第一题的运算顺序比较简单，学生的知识正迁移水平较高;第二题的运算顺序更加复杂，学生的自主迁移就有了一定的难度。这说明，学生尽管有了相当多的旧知储备，但还是不能从理性的角度对不含括号的三步混合运算的顺序进行迁移、统整。
二、第一次实践
假如能够使学生在旧知迁移的基础上，从情境、图形和算式本身意义的角度去说理验证运算顺序的合理性，并在算式的计算、对比中建立法则（算法模型），会不会让学生的体验更加深刻？
（一）教学过程
1.复习导入，唤醒经验。
出示：（1）2×3+15;（2）120÷6×5;（3）240-12÷6。让学生说一说运算顺序。接着，出示：12×3+15×4。引导学生发现算式的不同，揭示课题。
2.说理探究，感知法则。
组织学生就12×3+15×4的算理用写一写、画一画等方法进行说理，并进行交流。
3.迁移探究，理解法则。
出示：（1）150+120÷6×5;（2）78+100÷2-50;（3）240÷6-2×7。引导学生思考：（1）哪道算式的运算顺序和12×3+15×4是一样的？为什么？（2）剩余的算式按怎样的顺序算呢？先算什么，再算什么？为什么？
4.归纳总结，建立法则。
5.练习巩固，形成技能。
……
（二）课后反思
第一次实践，一节40分钟的课只上完了新授部分，而学生在之后练习中的错误层出不穷。这促使我反思：学生学习起来为什么会比想象中难？新授的内容到底难在哪里？需要什么样的练习设计，才能有效帮助学生建立整数四则混合运算的模型？
为此，我对“不含括号的两步混合运算”（如下页表1）与“不含括号的三步混合运算”（如下页表2）的教学内容进行了梳理。
对比两表，不难看出，学生将不含括号的两步混合运算的两条运算法则“算式中有乘法和加、减法，先算乘法”和“算式中有除法和加、减法，先算除法”整合成不含括号的三步混合运算的一条运算法则“算式中有乘、除法和加、减法，先算乘、除法，后算加、减法”，看上去似乎是简单地将两个法则合并迁移，但恰恰含有一定的难度。
而纵观苏教版教材有关混合运算内容的编排，可以看出：首先，难度螺旋上升。其次，（例题）几乎都是以问题解决的方式带动运算顺序的教学，结合具体的情境，通过数量关系的描述，理解一类特殊的运算顺序的合理性;而之后的变式练习，往往更多地借助于知识的迁移。
这就说明，运算法则的教学依據有两个：（1）借助具体情境说明其合理性;（2）借助已有法则进行同化与顺应。并且随着年级的不断升高，法则的学习更多地借助于知识的迁移，需要学生更多地从理性角度进行法则的推理与概括。
三、第二次实践
基于上述反思，我重新定位了本节课：联系现实问题中的数量关系，理解“乘、除被加、减隔开”的运算顺序;利用已有知识的迁移，理解和掌握“第二级运算中含有乘、除混合”和“加、减被乘、除隔开”的运算顺序，并能正确地计算。在这个过程中，通过有目的地“扶”与“放”，增强学生的类比迁移能力和抽象概括能力，让学生感受数学知识之间的联系。
（一）唤醒经验，复习导入
出示算式240÷3×8、12×2+15、51-36÷4，让学生说说先算什么、再算什么，为什么。
[说明：第一题是乘、除混合，第二题是乘、加混合，第三题是除、减混合，它们囊括了学生之前的学习经验。利用这三题，达成对两步混合运算法则的回顾，帮助学生唤醒已有知识储备，为新知探究提供铺垫。]
（二）说理为主，迁移为辅，理解特殊法则
1.出示教材例1情境图（如图6），要求学生分析题意，利用分步算式与综合算式两种方法解决问题。
图6
2.预设学生的做法如图7，引导学生先后就分步算式①与综合算式②、综合算式②与综合算式③的解法进行求同与求异的交流，沟通算理。 图7
3.出示不完全结构的算式，引导学生利用已有经验计算，并与例题进行求同对比，感知法则。
[说明：首先引导学生结合具体情境，在理解题意的基础上用分步算式和综合算式两种方法解决问题，并揭示课题。接着利用分步与综合算式的对比、综合算式常规算法与简略算法的对比，初步让学生结合具体情境理解“乘、除被加、减隔开”的运算法则，建立运算模型。]
（三）感知一般法则，深度迁移
1.自主迁移法则，对比交流。
引导学生结合“学习单”（如图8），就教材“试一试”展开自主学习，并就完成的情况展开交流讨论，明确算理、算法及写法。
2.对比迁移法则，建立运算模型。
出示不完全结构的算式，引导学生利用已有经验进行计算，并就典型的问题进行交流。
3.引导学生就完成的三道算式进行运算顺序的求同对比，抽象法则。
[说明：以“学习单”的任务形式展开教学。首先，引导学生自主经历“观察算式—回忆有关运算顺序—规划计算步骤—按次序计算—小组讨论—回顾反思”的过程，这是方法的回顾与指导，同时也帮助学生唤醒相关的知识;进而，让学生通过对比，进一步体会新旧法则之间的联系，并形成既定的法则思考模式，建立“第二级运算中含有乘、除混合”及“加、减被乘、除隔开”的运算模型。]
（四）整体建构，融通法则
引导学生就两步运算混合运算与三步混合运算的运算顺序进行求同对比，整体建构整数四则混合运算的运算顺序。
[说明：在回顾与反思环节，引导学生对不含括号的两步混合运算与不含括号的三步混合运算在算法上求同比较，从而形成对整数四则混合运算法则的整体认知;并通过对法则的再次认读与记忆，帮助学生进一步积累学习经验，明晰运算法则，为法则的运用做好准备。]
（五）练习巩固，形成技能
1.学生完成教材“练习十一”第1题。
2.学生完成教材“练习十一”第2题。提问：观察上下两道算式，有什么不同的地方？猜一猜结果会怎样？任选一组题，算一算，你想对了吗？
3.学生完成教材“练习十一”第4题。
4.引导学生思考：如果是不含括号的四步混合运算，又该怎样算？五步呢？……如果含括号呢？
[说明：练习分为四个板块：第一板块是专项练习，考查学生运用法则的能力;第二板块是对比练习，引导学生强化三步混合运算与两步混合运算之间的联系;第三板块是解决实际问题，考查学生的综合运用能力;第四板块则是拓展延伸，引导学生进一步思考不含括号的四步、五步……混合运算的运算顺序及加上括号后的运算顺序，帮助学生架构知识之间的联系。]
四、研课后记
通过对《不含括号的三步混合运算》一课的研讨，我深刻认识到整数四则混合运算教学必须注意以下几点：
（一）教材解读：从篇章走向系统
小学数学的规则学习，根据所学数学规则与原有认知结构中有关数学知识之间的关系，主要分为上位学习、下位学习和并列学习。而整数四则混合运算属于上位学习，即新知的展开需要借助于旧知，同时也需要进行再次的归纳与统整。本节课，以不含括号的三步混合运算法则为主线，引导学生在事实说理、迁移对比、融通反思中，不断关注新旧知识之间的联系，由不含括号的两步混合运算到不含括号的三步混合运算，进一步联想到四步、五步运算……整体建构整数四则混合运算的法则，使学生的数学思维更加系统。
（二）法则教学：从说理走向迁移
基本法则是一种规定，为了说明其合理性，应回到现实世界寻找证据。但并不是全部的运算法则教学都必须依赖于具体情境：学生在过往的学习过程中所积累的学习方法、学习经验都可加以应用。本节课中，利用具体事例来说明特例（即“乘、除被加、减隔开”可以将两头同时计算），利用学生的知识迁移来解决一般问题（即由乘法迁移至除法，由加法迁移至减法，由两步迁移至三步），两者相辅相成，更有助于法则的建构与统整。
（三）练习设计：从零散走向建模
技能的掌握从来都不是一蹴而就的，需要循序漸进。本节课的练习设计，始终关注学生的建模过程，题面中的导引由半扶半放到完全放手，题目内容由单一练习到专项练习，题目类型由对比练习到综合练习、由必做题到选做题，不断提高练习的层次，丰富练习的形式，不仅考查学生能否按照法则进行正确计算，更关注训练学生整体把握算式特点、预见进程并合理抉择的能力。学生在这样的学习过程中，不断提高思维的敏捷性与深刻性，逐步形成良好的数学素养。
参考文献：
[1] 钟启泉.课堂研究[M].上海：华东师范大学出版社，2016.
[2] 曹培英.跨越断层，走出误区：“数学课程标准”核心词的解读与实践研究[M].上海：上海教育出版社，2017.
[3] 史宁中.基本概念与运算法则：小学数学教学中的核心问题[M].北京：高等教育出版社，2013.26-27，29，35，43，46，731-13，36-40，82-84，88-9220-35，53-81，85-87
关键词：运算教学教研纪实不含括号的三步混合运算
一、学情分析
《不含括号的三步混合运算》一课是苏教版小学数学四年级上册《整数四则混合运算》单元的第一课时。在此之前，学生已经具备了加、减、乘、除四则运算的基础，掌握了两步混合运算的方法，积累了“从条件想起”“从问题想起”等相关解决问题的经验，学会了三步运算解决实际问题。本节课的教学是进一步发展学生混合运算能力的需要，也是接下来的加法、乘法运算律及简单的简便运算、小数四则混合运算及分数四则混合运算的基础。
那么就本节课而言，学生自主迁移的能力是怎样的呢？我对一个班级43名学生做了一个前测：分别出示算式20×5+4×3和120+20×3÷4，让学生计算。前测结果如下：
1.关于算式20×5+4×3。34名学生能够顺利迁移，但其中11名学生缺乏对算式意义的理解，具体做法如下页图1所示;8名学生不能顺利迁移，其中7名学生对运算的意义理解模糊，不能将运算顺序贯穿于整个计算过程中，具体做法如下页图2所示;1名学生完全不能迁移，其做法如下页图3所示。
2.关于算式120+20×3÷4。12名学生能够顺利迁移;9名学生对运算的意义理解模糊，不能将运算顺序贯穿于整个计算过程中，具体做法如下页图4所示;22名学生完全不能迁移，具体做法如下页图5所示。
显然，第一题的运算顺序比较简单，学生的知识正迁移水平较高;第二题的运算顺序更加复杂，学生的自主迁移就有了一定的难度。这说明，学生尽管有了相当多的旧知储备，但还是不能从理性的角度对不含括号的三步混合运算的顺序进行迁移、统整。
二、第一次实践
假如能够使学生在旧知迁移的基础上，从情境、图形和算式本身意义的角度去说理验证运算顺序的合理性，并在算式的计算、对比中建立法则（算法模型），会不会让学生的体验更加深刻？
（一）教学过程
1.复习导入，唤醒经验。
出示：（1）2×3+15;（2）120÷6×5;（3）240-12÷6。让学生说一说运算顺序。接着，出示：12×3+15×4。引导学生发现算式的不同，揭示课题。
2.说理探究，感知法则。
组织学生就12×3+15×4的算理用写一写、画一画等方法进行说理，并进行交流。
3.迁移探究，理解法则。
出示：（1）150+120÷6×5;（2）78+100÷2-50;（3）240÷6-2×7。引导学生思考：（1）哪道算式的运算顺序和12×3+15×4是一样的？为什么？（2）剩余的算式按怎样的顺序算呢？先算什么，再算什么？为什么？
4.归纳总结，建立法则。
5.练习巩固，形成技能。
……
（二）课后反思
第一次实践，一节40分钟的课只上完了新授部分，而学生在之后练习中的错误层出不穷。这促使我反思：学生学习起来为什么会比想象中难？新授的内容到底难在哪里？需要什么样的练习设计，才能有效帮助学生建立整数四则混合运算的模型？
为此，我对“不含括号的两步混合运算”（如下页表1）与“不含括号的三步混合运算”（如下页表2）的教学内容进行了梳理。
对比两表，不难看出，学生将不含括号的两步混合运算的两条运算法则“算式中有乘法和加、减法，先算乘法”和“算式中有除法和加、减法，先算除法”整合成不含括号的三步混合运算的一条运算法则“算式中有乘、除法和加、减法，先算乘、除法，后算加、减法”，看上去似乎是简单地将两个法则合并迁移，但恰恰含有一定的难度。
而纵观苏教版教材有关混合运算内容的编排，可以看出：首先，难度螺旋上升。其次，（例题）几乎都是以问题解决的方式带动运算顺序的教学，结合具体的情境，通过数量关系的描述，理解一类特殊的运算顺序的合理性;而之后的变式练习，往往更多地借助于知识的迁移。
这就说明，运算法则的教学依據有两个：（1）借助具体情境说明其合理性;（2）借助已有法则进行同化与顺应。并且随着年级的不断升高，法则的学习更多地借助于知识的迁移，需要学生更多地从理性角度进行法则的推理与概括。
三、第二次实践
基于上述反思，我重新定位了本节课：联系现实问题中的数量关系，理解“乘、除被加、减隔开”的运算顺序;利用已有知识的迁移，理解和掌握“第二级运算中含有乘、除混合”和“加、减被乘、除隔开”的运算顺序，并能正确地计算。在这个过程中，通过有目的地“扶”与“放”，增强学生的类比迁移能力和抽象概括能力，让学生感受数学知识之间的联系。
（一）唤醒经验，复习导入
出示算式240÷3×8、12×2+15、51-36÷4，让学生说说先算什么、再算什么，为什么。
[说明：第一题是乘、除混合，第二题是乘、加混合，第三题是除、减混合，它们囊括了学生之前的学习经验。利用这三题，达成对两步混合运算法则的回顾，帮助学生唤醒已有知识储备，为新知探究提供铺垫。]
（二）说理为主，迁移为辅，理解特殊法则
1.出示教材例1情境图（如图6），要求学生分析题意，利用分步算式与综合算式两种方法解决问题。
图6
2.预设学生的做法如图7，引导学生先后就分步算式①与综合算式②、综合算式②与综合算式③的解法进行求同与求异的交流，沟通算理。 图7
3.出示不完全结构的算式，引导学生利用已有经验计算，并与例题进行求同对比，感知法则。
[说明：首先引导学生结合具体情境，在理解题意的基础上用分步算式和综合算式两种方法解决问题，并揭示课题。接着利用分步与综合算式的对比、综合算式常规算法与简略算法的对比，初步让学生结合具体情境理解“乘、除被加、减隔开”的运算法则，建立运算模型。]
（三）感知一般法则，深度迁移
1.自主迁移法则，对比交流。
引导学生结合“学习单”（如图8），就教材“试一试”展开自主学习，并就完成的情况展开交流讨论，明确算理、算法及写法。
2.对比迁移法则，建立运算模型。
出示不完全结构的算式，引导学生利用已有经验进行计算，并就典型的问题进行交流。
3.引导学生就完成的三道算式进行运算顺序的求同对比，抽象法则。
[说明：以“学习单”的任务形式展开教学。首先，引导学生自主经历“观察算式—回忆有关运算顺序—规划计算步骤—按次序计算—小组讨论—回顾反思”的过程，这是方法的回顾与指导，同时也帮助学生唤醒相关的知识;进而，让学生通过对比，进一步体会新旧法则之间的联系，并形成既定的法则思考模式，建立“第二级运算中含有乘、除混合”及“加、减被乘、除隔开”的运算模型。]
（四）整体建构，融通法则
引导学生就两步运算混合运算与三步混合运算的运算顺序进行求同对比，整体建构整数四则混合运算的运算顺序。
[说明：在回顾与反思环节，引导学生对不含括号的两步混合运算与不含括号的三步混合运算在算法上求同比较，从而形成对整数四则混合运算法则的整体认知;并通过对法则的再次认读与记忆，帮助学生进一步积累学习经验，明晰运算法则，为法则的运用做好准备。]
（五）练习巩固，形成技能
1.学生完成教材“练习十一”第1题。
2.学生完成教材“练习十一”第2题。提问：观察上下两道算式，有什么不同的地方？猜一猜结果会怎样？任选一组题，算一算，你想对了吗？
3.学生完成教材“练习十一”第4题。
4.引导学生思考：如果是不含括号的四步混合运算，又该怎样算？五步呢？……如果含括号呢？
[说明：练习分为四个板块：第一板块是专项练习，考查学生运用法则的能力;第二板块是对比练习，引导学生强化三步混合运算与两步混合运算之间的联系;第三板块是解决实际问题，考查学生的综合运用能力;第四板块则是拓展延伸，引导学生进一步思考不含括号的四步、五步……混合运算的运算顺序及加上括号后的运算顺序，帮助学生架构知识之间的联系。]
四、研课后记
通过对《不含括号的三步混合运算》一课的研讨，我深刻认识到整数四则混合运算教学必须注意以下几点：
（一）教材解读：从篇章走向系统
小学数学的规则学习，根据所学数学规则与原有认知结构中有关数学知识之间的关系，主要分为上位学习、下位学习和并列学习。而整数四则混合运算属于上位学习，即新知的展开需要借助于旧知，同时也需要进行再次的归纳与统整。本节课，以不含括号的三步混合运算法则为主线，引导学生在事实说理、迁移对比、融通反思中，不断关注新旧知识之间的联系，由不含括号的两步混合运算到不含括号的三步混合运算，进一步联想到四步、五步运算……整体建构整数四则混合运算的法则，使学生的数学思维更加系统。
（二）法则教学：从说理走向迁移
基本法则是一种规定，为了说明其合理性，应回到现实世界寻找证据。但并不是全部的运算法则教学都必须依赖于具体情境：学生在过往的学习过程中所积累的学习方法、学习经验都可加以应用。本节课中，利用具体事例来说明特例（即“乘、除被加、减隔开”可以将两头同时计算），利用学生的知识迁移来解决一般问题（即由乘法迁移至除法，由加法迁移至减法，由两步迁移至三步），两者相辅相成，更有助于法则的建构与统整。
（三）练习设计：从零散走向建模
技能的掌握从来都不是一蹴而就的，需要循序漸进。本节课的练习设计，始终关注学生的建模过程，题面中的导引由半扶半放到完全放手，题目内容由单一练习到专项练习，题目类型由对比练习到综合练习、由必做题到选做题，不断提高练习的层次，丰富练习的形式，不仅考查学生能否按照法则进行正确计算，更关注训练学生整体把握算式特点、预见进程并合理抉择的能力。学生在这样的学习过程中，不断提高思维的敏捷性与深刻性，逐步形成良好的数学素养。
参考文献：
[1] 钟启泉.课堂研究[M].上海：华东师范大学出版社，2016.
[2] 曹培英.跨越断层，走出误区：“数学课程标准”核心词的解读与实践研究[M].上海：上海教育出版社，2017.
[3] 史宁中.基本概念与运算法则：小学数学教学中的核心问题[M].北京：高等教育出版社，2013.26-27，29，35，43，46，731-13，36-40，82-84，88-9220-35，53-81，85-87