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一、 概念清晰，避免错误
例1 （2015·甘肃兰州）下列函数解析式中，一定为二次函数的是（ ）.
A. y=3x-1 B. y=ax2 bx c
C. s=2t2-2t 1 D. y=x2
【错解】选B.
【剖析】所谓二次函数，是指形如y=a2x bx c（a≠0）的函数，其中a，b，c都是常数，且a≠0.首先，二次函数必须是整式函数，因此D就被排除；其次，选项A是一次函数，所以A也被排除；再来看B和C的区别：仅从形式上看，似乎没什么区别，但由于二次函数必须要求a≠0，也就是说二次项系数不能为0，而这一点上，B选项是没有保证的，所以B选项也不对.故选C.
【正解】选C.
二、 点线明确，避免错误
例2 （2015·甘肃兰州）二次函数y=ax2 bx c的图像如图1，点C在y轴的正半轴上，且OA=OC，则（ ）.
A. ac 1=b B. ab 1=c
C. bc 1=a D. 以上都不是
【错解】因为点C坐标为（0，c），所以OC=c，
所以OA=OC=c，所以A（c，0），
又A（c，0）在抛物线上，则0=a·c2 b·c c，即c（ac b 1）=0，
因为c≠0，所以ac b 1=0，所以选D.
【剖析】线段的长度一定是正数，而点的坐标可以是正数，可以是负数，也可以是零，所以长度转化为点的坐标时，一定要考虑其正负情况.本题中，OA=OC=c，但点A在x轴负半轴上，因此，点A坐标不是（c，0），而是（-c，0）.
【正解】因为点C坐标为（0，c），且点C在y轴正半轴上，所以OC=c，
由OA=OC，且点A在x轴负半轴，所以A点坐标为（-c，0），
A（-c，0）在抛物线上，则0=a·（-c）2 b·（-c） c，即c（ac-b 1）=0，
因为c≠0，所以ac-b 1=0，即ac 1=b，所以选A.
三、 数形结合，避免错误
例3 已知二次函数y=x2-4x-3，若-1≤x≤6，则y的取值范围是________.
【错解】当x=-1时，y=（-1）2-4×（-1）-3=2；当x=6时，y=62-4×6-3=9，因此y的取值范围是 2≤y≤9.
【剖析】二次函数图像是抛物线，在对称轴左右两侧，y随x的变化情况正好是相反的，所以这里我们既要考虑x的端点值，也要关注函数的最大（最小）值，这样才能确定y的取值范围.
【正解】在二次函数y=x2-4x-3中，
∵a=1>0，
∴抛物线开口向上，y有最小值，
∵y=x2-4x-3=（x-2）2-7，
∴抛物线的对称轴为直线x=2，y最小=-7，
∵-1≤x≤6，
∴当x=6时，y最大=62-4×6-3=9.
∴-7≤y≤9.
因此y的取值范围是：-7≤y≤9.
例4 已知二次函数y=mx2 （m-1）x m-1有最小值0，则m的值为________.
【错解】由题意得： =0，3m2-2m-1=0，解得m1=1，m2=- ，因此m的值为1或- .
【剖析】二次函数有最小值的前提条件是抛物线的开口向上，即m>0，错解中显然忽略了这一点，所以我们要清楚地理解二次函数的性质.
【正解】由题意得： =0，3m2-2m-1=0，解得m1=1，m2=- ，又因为m>0，所以m=1，因此m的值为1.
四、 考虑问题周全，避免错误
例5 （2014·山东东营）若函数y=mx2 （m 2）x m 1的图像与x轴只有一个交点，那么m的值为（ ）.
A. 0 B. 0或2
C. 2或-2 D. 0，2或-2
【错解】∵函数y=mx2 （m 2）x m 1的图像与x轴只有一个交点，∴Δ=（m 2）2-4m m 1=0，且m≠0，解得：m=±2，故选C.
【剖析】题目并未明确此函数一定是二次函数，而“错解”中由于思维定式，将它只当作二次函数来解，以至于出现漏解.
【正解】分为两种情况：①当函数是二次函数时，∵函数y=mx2 （m 2）x m 1的图像与x轴只有一个交点，∴Δ=（m 2）2-4m
· m 1=0，且m≠0，解得：m=±2；②当函数是一次函数时，m=0，此时函数解析式是y=2x 1，和x轴只有一个交点，因此选D.
五、 审题清楚，不主观臆断，避免错误
例6 抛物线y=kx2-6x 3的顶点在x轴的下方，则k的取值范围是________.
【错解】因为抛物线y=kx2-6x 3的顶点在x轴的下方，所以抛物线与x轴有两个交点，因此Δ=（-6）2-4×k×3>0，得k<3，又抛物线中k≠0，所以k的取值范围是k<3且k≠0.
【剖析】主观臆断——抛物线开口向上，导致错误.事实上，由于二次项系数k的不确定，所以抛物线开口可能向上，也可能向下，因此应分两种情况讨论.
【正解】①若抛物线开口向上，则k>0，因为抛物线的顶点在x轴的下方，所以抛物线与x轴有两个交点，则Δ=（-6）2-4×k×3>0，得k<3，又抛物线中k≠0，得0 ②若抛物线开口向下，则k<0，因为抛物线的顶点在x轴的下方，所以抛物线与x轴没有交点，则Δ=（-6）2-4×k×3<0，得k>3，与k<0矛盾，故不成立.
因此k的取值范围是0 （作者单位：江苏省泗阳县实验初级中学）
例1 （2015·甘肃兰州）下列函数解析式中，一定为二次函数的是（ ）.
A. y=3x-1 B. y=ax2 bx c
C. s=2t2-2t 1 D. y=x2
【错解】选B.
【剖析】所谓二次函数，是指形如y=a2x bx c（a≠0）的函数，其中a，b，c都是常数，且a≠0.首先，二次函数必须是整式函数，因此D就被排除；其次，选项A是一次函数，所以A也被排除；再来看B和C的区别：仅从形式上看，似乎没什么区别，但由于二次函数必须要求a≠0，也就是说二次项系数不能为0，而这一点上，B选项是没有保证的，所以B选项也不对.故选C.
【正解】选C.
二、 点线明确，避免错误
例2 （2015·甘肃兰州）二次函数y=ax2 bx c的图像如图1，点C在y轴的正半轴上，且OA=OC，则（ ）.
A. ac 1=b B. ab 1=c
C. bc 1=a D. 以上都不是
【错解】因为点C坐标为（0，c），所以OC=c，
所以OA=OC=c，所以A（c，0），
又A（c，0）在抛物线上，则0=a·c2 b·c c，即c（ac b 1）=0，
因为c≠0，所以ac b 1=0，所以选D.
【剖析】线段的长度一定是正数，而点的坐标可以是正数，可以是负数，也可以是零，所以长度转化为点的坐标时，一定要考虑其正负情况.本题中，OA=OC=c，但点A在x轴负半轴上，因此，点A坐标不是（c，0），而是（-c，0）.
【正解】因为点C坐标为（0，c），且点C在y轴正半轴上，所以OC=c，
由OA=OC，且点A在x轴负半轴，所以A点坐标为（-c，0），
A（-c，0）在抛物线上，则0=a·（-c）2 b·（-c） c，即c（ac-b 1）=0，
因为c≠0，所以ac-b 1=0，即ac 1=b，所以选A.
三、 数形结合，避免错误
例3 已知二次函数y=x2-4x-3，若-1≤x≤6，则y的取值范围是________.
【错解】当x=-1时，y=（-1）2-4×（-1）-3=2；当x=6时，y=62-4×6-3=9，因此y的取值范围是 2≤y≤9.
【剖析】二次函数图像是抛物线，在对称轴左右两侧，y随x的变化情况正好是相反的，所以这里我们既要考虑x的端点值，也要关注函数的最大（最小）值，这样才能确定y的取值范围.
【正解】在二次函数y=x2-4x-3中，
∵a=1>0，
∴抛物线开口向上，y有最小值，
∵y=x2-4x-3=（x-2）2-7，
∴抛物线的对称轴为直线x=2，y最小=-7，
∵-1≤x≤6，
∴当x=6时，y最大=62-4×6-3=9.
∴-7≤y≤9.
因此y的取值范围是：-7≤y≤9.
例4 已知二次函数y=mx2 （m-1）x m-1有最小值0，则m的值为________.
【错解】由题意得： =0，3m2-2m-1=0，解得m1=1，m2=- ，因此m的值为1或- .
【剖析】二次函数有最小值的前提条件是抛物线的开口向上，即m>0，错解中显然忽略了这一点，所以我们要清楚地理解二次函数的性质.
【正解】由题意得： =0，3m2-2m-1=0，解得m1=1，m2=- ，又因为m>0，所以m=1，因此m的值为1.
四、 考虑问题周全，避免错误
例5 （2014·山东东营）若函数y=mx2 （m 2）x m 1的图像与x轴只有一个交点，那么m的值为（ ）.
A. 0 B. 0或2
C. 2或-2 D. 0，2或-2
【错解】∵函数y=mx2 （m 2）x m 1的图像与x轴只有一个交点，∴Δ=（m 2）2-4m m 1=0，且m≠0，解得：m=±2，故选C.
【剖析】题目并未明确此函数一定是二次函数，而“错解”中由于思维定式，将它只当作二次函数来解，以至于出现漏解.
【正解】分为两种情况：①当函数是二次函数时，∵函数y=mx2 （m 2）x m 1的图像与x轴只有一个交点，∴Δ=（m 2）2-4m
· m 1=0，且m≠0，解得：m=±2；②当函数是一次函数时，m=0，此时函数解析式是y=2x 1，和x轴只有一个交点，因此选D.
五、 审题清楚，不主观臆断，避免错误
例6 抛物线y=kx2-6x 3的顶点在x轴的下方，则k的取值范围是________.
【错解】因为抛物线y=kx2-6x 3的顶点在x轴的下方，所以抛物线与x轴有两个交点，因此Δ=（-6）2-4×k×3>0，得k<3，又抛物线中k≠0，所以k的取值范围是k<3且k≠0.
【剖析】主观臆断——抛物线开口向上，导致错误.事实上，由于二次项系数k的不确定，所以抛物线开口可能向上，也可能向下，因此应分两种情况讨论.
【正解】①若抛物线开口向上，则k>0，因为抛物线的顶点在x轴的下方，所以抛物线与x轴有两个交点，则Δ=（-6）2-4×k×3>0，得k<3，又抛物线中k≠0，得0
因此k的取值范围是0