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数学探究活动是指在教学中设计的以操作观察活动、问题情境为载体,引导学生自主探索、研究问题本质的活动。探究活动的过程是学生自主探索、合作交流的过程,是在教师的指导下发挥自我意识和主观能动性,自主发现问题、解决问题的过程。借助于TI-Nspire图形计算器可扩大学生数学探究的主题范围,提高学生数学探究的效率。
一、学习目标
第一,了解斐波那契数列,理解数列的递推关系。
第二,能探索斐波那契数列和黄金分割比的关系。
第三,能探索斐波那契数列相邻三项的关系。
二、技术准备
一是会生成递归数列。
二是会根据已有数列生成新的数列。
三是会绘制数列的图像。
三、探究过程
1.环节一:创设情境,引入活动主题
为了激发学生参与研究活动的兴趣,教师播放《达·芬奇密码》中的电影片段,利用电影中斐波那契数列的出现开头,创建活动情景,引出活动主题。
2.环节二:合作探究,了解斐波那契数列及其递推关系
问题背景:意大利数学家斐波那契在他的著作《算盘书》中提出了一个关于兔子繁殖的问题。一般而言,兔子在出生两个月后,就有繁殖能力。如果一对兔子每月能生1对小兔子(一雄一雌),而每对小兔子在它出生后的第三个月里,又能生1对兔子。假定在不发生死亡的情况下,由一对初生的小兔子(一雄一雌)开始,第12个月后会有多少对兔子?
问题1:上述兔子繁殖问题中有什么规律,请小组合作探究规律,并完成下表:
问题2:记上述问题中兔子的对数为数列an,写出数列{an} 的递推公式。
首先教师组织学生分小组合作探究规律,笔算完成上述表格。然后请各小组代表介绍探究过程,并反馈计算结果。教师引导学生修正完善研究过程中出现的错误,总结研究过程中好的思路和方法,并给予学生积极的评价和鼓励。教师介绍这个数列就是著名的斐波那契数列,其中的每一个数称为斐波那契数。斐波那契数列在自然界和生产生活中有其方泛的应用。教师借助多媒体演示请学生欣赏生活中出现斐波那契数列的实例。
【设计意图】(1)使学生了解斐波那契数列的由來,并通过尝试多种解决问题的方法,学生逐步体会数形结合、转化化归等思想方法,培养学生发散思维能力。(2)使学生在合作交流中培养探索精神,提高合作意识。(3)使学生感受斐波那契数列在大自然和生活中的体现,了解活动主题的实际意义,激发学生进一步研究的欲望。
问题3:利用图形计算器计算数列{an} 的前60项。
首先由学生利用TI-Nspire图形计算器中数列的相关功能完成计算,然后由学生说明解决问题的方法,展示计算结果。
【设计意图】通过借助图形计算器解决问题,进一步理解斐波那契数列的递推关系,同时准备数据以备进一步研究问题。
3.环节三:研究斐波那契数列的性质
问题背景:已知数列{bn} 满足。
问题1.计算{bn} 前15项。
问题2.猜想数列{bn} 的项bn与斐波那契数列an的项an 有什么关系?
首先由学生笔算或借助图形计算器自主完成,然后小组讨论交流,最后小组代表展示结果,教师适当点评。
【设计意图】由于斐波那契数列的这一性质超出学生自主探究的能力范围,因此在研究斐波那契数列性质之前通过以上问题为学生搭建“垫脚石”,一方面使斐波那契数列在研究问题中出现,承上启下,另一方面为学生接下来研究斐波那契数列的性质做好铺垫。
问题3.探究随着n的增大,bn的值有何变化规律?
问题4.通过问题3,能得到斐波那契数列{an} 有什么规律?
鼓励学生用多种方法探究问题3,例如可通过递推关系借助图形计算器求得数列{bn} 的项bn的数值,观察数值的变化规律。也可利用数列bn的图像观察变化规律。在解决问题3的基础上,小组合作交流得到问题4的结果:随着数列项数的增加,斐波那契数列{an} 的前一项与后一项之比越来越逼
近0.618,即。
教师进一步提出黄金比值的概念,并通过PPT展示黄金分割(或黄金比值)在日常生产、生活中的作用,让学生感受数学美。
【设计意图】使学生进一步理解数列的递推关系,体会数列并能运用递推关系或利用图像解决极限问题。
最后,对利用 TI-Nspire图形计算器进行数学探究活动的过程中应重点关注以下几个方面:一是借助恰当的问题或问题情境,通过观察、操作等数学活动,为学生提供探索发展的空间;二是在学生探索问题的过程中,通过师生间的讨论交流等多种合作逐步解决问题。
一、学习目标
第一,了解斐波那契数列,理解数列的递推关系。
第二,能探索斐波那契数列和黄金分割比的关系。
第三,能探索斐波那契数列相邻三项的关系。
二、技术准备
一是会生成递归数列。
二是会根据已有数列生成新的数列。
三是会绘制数列的图像。
三、探究过程
1.环节一:创设情境,引入活动主题
为了激发学生参与研究活动的兴趣,教师播放《达·芬奇密码》中的电影片段,利用电影中斐波那契数列的出现开头,创建活动情景,引出活动主题。
2.环节二:合作探究,了解斐波那契数列及其递推关系
问题背景:意大利数学家斐波那契在他的著作《算盘书》中提出了一个关于兔子繁殖的问题。一般而言,兔子在出生两个月后,就有繁殖能力。如果一对兔子每月能生1对小兔子(一雄一雌),而每对小兔子在它出生后的第三个月里,又能生1对兔子。假定在不发生死亡的情况下,由一对初生的小兔子(一雄一雌)开始,第12个月后会有多少对兔子?
问题1:上述兔子繁殖问题中有什么规律,请小组合作探究规律,并完成下表:
问题2:记上述问题中兔子的对数为数列an,写出数列{an} 的递推公式。
首先教师组织学生分小组合作探究规律,笔算完成上述表格。然后请各小组代表介绍探究过程,并反馈计算结果。教师引导学生修正完善研究过程中出现的错误,总结研究过程中好的思路和方法,并给予学生积极的评价和鼓励。教师介绍这个数列就是著名的斐波那契数列,其中的每一个数称为斐波那契数。斐波那契数列在自然界和生产生活中有其方泛的应用。教师借助多媒体演示请学生欣赏生活中出现斐波那契数列的实例。
【设计意图】(1)使学生了解斐波那契数列的由來,并通过尝试多种解决问题的方法,学生逐步体会数形结合、转化化归等思想方法,培养学生发散思维能力。(2)使学生在合作交流中培养探索精神,提高合作意识。(3)使学生感受斐波那契数列在大自然和生活中的体现,了解活动主题的实际意义,激发学生进一步研究的欲望。
问题3:利用图形计算器计算数列{an} 的前60项。
首先由学生利用TI-Nspire图形计算器中数列的相关功能完成计算,然后由学生说明解决问题的方法,展示计算结果。
【设计意图】通过借助图形计算器解决问题,进一步理解斐波那契数列的递推关系,同时准备数据以备进一步研究问题。
3.环节三:研究斐波那契数列的性质
问题背景:已知数列{bn} 满足。
问题1.计算{bn} 前15项。
问题2.猜想数列{bn} 的项bn与斐波那契数列an的项an 有什么关系?
首先由学生笔算或借助图形计算器自主完成,然后小组讨论交流,最后小组代表展示结果,教师适当点评。
【设计意图】由于斐波那契数列的这一性质超出学生自主探究的能力范围,因此在研究斐波那契数列性质之前通过以上问题为学生搭建“垫脚石”,一方面使斐波那契数列在研究问题中出现,承上启下,另一方面为学生接下来研究斐波那契数列的性质做好铺垫。
问题3.探究随着n的增大,bn的值有何变化规律?
问题4.通过问题3,能得到斐波那契数列{an} 有什么规律?
鼓励学生用多种方法探究问题3,例如可通过递推关系借助图形计算器求得数列{bn} 的项bn的数值,观察数值的变化规律。也可利用数列bn的图像观察变化规律。在解决问题3的基础上,小组合作交流得到问题4的结果:随着数列项数的增加,斐波那契数列{an} 的前一项与后一项之比越来越逼
近0.618,即。
教师进一步提出黄金比值的概念,并通过PPT展示黄金分割(或黄金比值)在日常生产、生活中的作用,让学生感受数学美。
【设计意图】使学生进一步理解数列的递推关系,体会数列并能运用递推关系或利用图像解决极限问题。
最后,对利用 TI-Nspire图形计算器进行数学探究活动的过程中应重点关注以下几个方面:一是借助恰当的问题或问题情境,通过观察、操作等数学活动,为学生提供探索发展的空间;二是在学生探索问题的过程中,通过师生间的讨论交流等多种合作逐步解决问题。