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题目1 （2010年四川高考理科12题）设a>b>c>0，则2a2+1ab+1a(a-b)-10ac+25c2的最小值是().
A.2
B.4
C.25
D.5
题目2 （2010年四川高考理科19题）（1）①证明两角和的余弦公式Cα+β：cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ；
②由Cα+β推导两角和的正弦公式Sα+β：sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ.
（2）已知△ABC的面积S=12，AB•AC=3且cosB=35，求cosC.
评析 本文根据分析此两题体现的亮点，对2011级高三复习提出点建议供参考.
亮点1 体现了高考试题源于教材，又高于教材，不拘泥于教材的命题原则
题目1是由人教社高二（上）复习参考题六B组第3题“已知a>b>0，求a2+16b(a-b)的最小值”改编而得；题目2是人教社高一（下）数学（必修）P37-39的正文内容.这样源于教材的高考试题每年都有，比如2007年四川高考17题三角函数就与人教社高一（下）数学（必修）习题4.6的12题如出一辙；2008年高考四川延考区理科第5题是由教材高一（下）第四章复习参考题四第9题改编而成等，但这次尤为典型.
四川这五年自主命制高考试题一直在追求“稳中有进，稳中有变，稳中求新”，但无论怎么进、变、新，高考命题都会坚持“依纲靠本”的原则，高考命题最根本的依据就是《考试大纲》和《教材》，教材是高考中、低档试题的直接来源，命题人都不会刻意去回避它，一套高考试题及其蕴涵的数学思想方法都能在教材中找到根源，2010年的高考试题继承了前4年的优点之一：部分试题是由教材中的典型例、习题改编而成（上述题目1），或是教材中多个内容或多道试题交汇组合而成等.在此之上，命题人在2010年做了一个大胆的尝试、创新，也是2010年高考的一个最大亮点：就是直接引用教材上最基本的三角公式的推导作为一道题目（上述题目2），突出考查了数学本质和数学理性思维.这五年的高考试题中来自教材的试题及其改编题，在基本平稳的基础上是一年比一年有深度，一年比一年有新意，一年比一年导向性更明朗.
亮点2 体现了稳中有变、稳中出新
自主命题以来，前4年的解答题都是三角、概率、立体几何这一顺序编排，2010年则打破这一不变的常规，变为概率、立几、三角，将三角放在了第三大题，这样打破了平时教学复习时老师教给学生的高考试卷的固定模式，六个大题的编排顺序不是固定不变的，这就要求教师在高三复习教学时要教给学生应试技巧，要教会学生调整应试心理；再则或许是因为题目2第（1）问是教材上的公式证明，绝大多数老师和学生都只在高一学习新课时关注过，在高三复习时基本都对它无人问津，命题人也预感到该题会难倒很多考生，出于关注考生心理因素和减轻考生心理压力等种种因素考虑，故将该题后移到第三大题，可见命题人之用心良苦；无论是出于何种情由，2010年试卷在编排体系上的变化最终实现了稳中有变、稳中出新的目的.
亮点3 重视基础，凸显能力，渗透新课程理念
2010年秋季四川省已全面实行新课程，新课程理念中要求学生的数学学习不应只限于接收、记忆、模仿和练习，要注重强调返璞归真，努力揭示数学概念、法则、结论的发展背景、形成过程和本质，体会蕴涵在其中的数学思想，体验寻找真理和发现真理的方法，体现数学的文化价值与人文精神，感受数学美.题目2第（1）问就是这一理念的充分体现，它不仅要求学生要掌握并应用这一公式，更要掌握该公式的推导过程，并体会其蕴涵的数学思想，这就在重视教材基础的同时，凸显了学生数学能力的提升.这就启发我们在平时的教学过程中不是把一些现成的结论直接告诉给学生，而是要多注重知识的发生发展过程，培养学生理性思辨能力，让学生学会数学思维，真正理解重要的数学思想方法，减少过多的程式化训练.
亮点4 方法多样，交会自然，平和中见新奇
题目1
解法1 已知可化为2a2+1b(a-b)-10ac+25c2.
又 b(a-b)≤b+a-b22=a24，
∴2a2+1b(a-b)-10ac+25c2≥2a2+4a2-10ac+25c2=a2+4a2+a2-10ac+25c2=a2+4a2+(a-5c)2≥a2+4a2≥4，
当且仅当b=a-b，a=5c且a=2，即a=2b=5c=2时，“=”成立.
解法2 2a2+1ab+1a(a-b)-10ac+25c2=(a-5c)2+a2-ab+ab+1ab+1a(a-b)=(a-5c)2+ab+1ab+a(a-b)+1a(a-b)≥0+2+2=4，
当且仅当a-5c=0,ab=1,a(a-b)=1，
即a=2,b=22,c=25时，等号成立.
题目2（1）①
证法1 如图，在直角坐标系xOy内作单位圆O，并作出角α，β与-β，使角α的始边为Ox，交⊙O于点P1，终边交⊙O于点P2；角β的始边为OP2，终边交⊙O于点P3；角-β的始边为OP1，终边交⊙O于点P4.则P1(1,0),P2(cosα,sinα)，
P3(cos(α+β),sin(α+β)),P4(cos(-β),sin(-β)).
由P1P3=P2P4及两点间的距离公式，
得［cos(α+β)-1］2+sin2(α+β)=［cos(-β)-cosα］2+［sin(-β)-sinα］2.
展开并整理，得2-2cos(α+β)=2-2(cosαcosβ-sinαsinβ).
∴cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ.
此方法是运用两点间的距离公式及圆的有关知识来推导，看似简单，实则对学生来说是有一定难度的.
证法2 如图，在平面直角坐标系xOy内作单位圆O，以Ox为始边作角α，β，它们的终边与单位圆O的交点分别为A，B.
则OA=(cosα,sinα)，OB=(cosβ,sinβ).
由向量数量积的坐标表示有：
OA•OB=(cosα，sinα)•(cosβ，sinβ)
=cosαcosβ+sinαsinβ.
设OA与OB的夹角为θ，
则OA•OB=|OA|•|OB|cosθ=cosαcosβ+sinαsinβ.
又由图可知，α=2kπ+β+θ或α=2kπ+β-θ，
于是α-β=2kπ±θ，k∈Z.
∴cos(α-β)=cosθ，
∴cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.
此法用向量知识证明，很自然地将向量、三角与圆进行交会，过程简洁易懂，也从一道平凡试题中展示了向量方法的新奇性，但学生不易想到.
证法3 用单位圆上的三角函数线也可给以证明，此处略.
亮点5 寓含深意，注重思想，导向功能强
罗增儒老师说过：“高考复习的指导思想可界定为：以考试规律为指导，以近年高考命题的稳定性风格为导向；依纲靠本；以解题训练为中心，以中档综合题为重点，以近年高考试题为基本素材.平时教学要按教学规律进行，高考复习要按考试规律进行.考什么就练什么、怎么考就怎么练.”高考试卷就是指挥棒，就是高三复习的导向风标.四川这五年的高考试卷都有一个日趋明朗的教学与高考复习导向，就是引导中学数学教学抓纲务本，回归教材，回归基础，回归近几年的高考试题，注意挖掘课本潜力，减轻负担.尤其是2010年高考试题中的第12和19题展现得更是明显，突出了对数学本质和数学思想方法的考查，体现了“过程与方法”的理念，这对高三数学教学与复习回归教材、认识数学本质、重视知识之间的逻辑关系等有着很清晰的导向作用，这样更有利于纠正复习过程中的“教学题型化”“解题套路化”和“资料泛滥化”.四川省2010年秋季首次实施新课程标准，2010年高考的这一良好导向也为实施新课程奠定了基础，教学课时相对减少，教学内容有所增加等，这就要求教师和学生必须要以教材为根本，读懂、理解、吃透教材，领悟和把握教材，并对其变式、引申、拓展，提炼和掌握其蕴涵的数学思想、方法等通性通法，减轻学业负担，提高教学效益和实施素质教育等都具有良好的导向功能.
A.2
B.4
C.25
D.5
题目2 （2010年四川高考理科19题）（1）①证明两角和的余弦公式Cα+β：cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ；
②由Cα+β推导两角和的正弦公式Sα+β：sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ.
（2）已知△ABC的面积S=12，AB•AC=3且cosB=35，求cosC.
评析 本文根据分析此两题体现的亮点，对2011级高三复习提出点建议供参考.
亮点1 体现了高考试题源于教材，又高于教材，不拘泥于教材的命题原则
题目1是由人教社高二（上）复习参考题六B组第3题“已知a>b>0，求a2+16b(a-b)的最小值”改编而得；题目2是人教社高一（下）数学（必修）P37-39的正文内容.这样源于教材的高考试题每年都有，比如2007年四川高考17题三角函数就与人教社高一（下）数学（必修）习题4.6的12题如出一辙；2008年高考四川延考区理科第5题是由教材高一（下）第四章复习参考题四第9题改编而成等，但这次尤为典型.
四川这五年自主命制高考试题一直在追求“稳中有进，稳中有变，稳中求新”，但无论怎么进、变、新，高考命题都会坚持“依纲靠本”的原则，高考命题最根本的依据就是《考试大纲》和《教材》，教材是高考中、低档试题的直接来源，命题人都不会刻意去回避它，一套高考试题及其蕴涵的数学思想方法都能在教材中找到根源，2010年的高考试题继承了前4年的优点之一：部分试题是由教材中的典型例、习题改编而成（上述题目1），或是教材中多个内容或多道试题交汇组合而成等.在此之上，命题人在2010年做了一个大胆的尝试、创新，也是2010年高考的一个最大亮点：就是直接引用教材上最基本的三角公式的推导作为一道题目（上述题目2），突出考查了数学本质和数学理性思维.这五年的高考试题中来自教材的试题及其改编题，在基本平稳的基础上是一年比一年有深度，一年比一年有新意，一年比一年导向性更明朗.
亮点2 体现了稳中有变、稳中出新
自主命题以来，前4年的解答题都是三角、概率、立体几何这一顺序编排，2010年则打破这一不变的常规，变为概率、立几、三角，将三角放在了第三大题，这样打破了平时教学复习时老师教给学生的高考试卷的固定模式，六个大题的编排顺序不是固定不变的，这就要求教师在高三复习教学时要教给学生应试技巧，要教会学生调整应试心理；再则或许是因为题目2第（1）问是教材上的公式证明，绝大多数老师和学生都只在高一学习新课时关注过，在高三复习时基本都对它无人问津，命题人也预感到该题会难倒很多考生，出于关注考生心理因素和减轻考生心理压力等种种因素考虑，故将该题后移到第三大题，可见命题人之用心良苦；无论是出于何种情由，2010年试卷在编排体系上的变化最终实现了稳中有变、稳中出新的目的.
亮点3 重视基础，凸显能力，渗透新课程理念
2010年秋季四川省已全面实行新课程，新课程理念中要求学生的数学学习不应只限于接收、记忆、模仿和练习，要注重强调返璞归真，努力揭示数学概念、法则、结论的发展背景、形成过程和本质，体会蕴涵在其中的数学思想，体验寻找真理和发现真理的方法，体现数学的文化价值与人文精神，感受数学美.题目2第（1）问就是这一理念的充分体现，它不仅要求学生要掌握并应用这一公式，更要掌握该公式的推导过程，并体会其蕴涵的数学思想，这就在重视教材基础的同时，凸显了学生数学能力的提升.这就启发我们在平时的教学过程中不是把一些现成的结论直接告诉给学生，而是要多注重知识的发生发展过程，培养学生理性思辨能力，让学生学会数学思维，真正理解重要的数学思想方法，减少过多的程式化训练.
亮点4 方法多样，交会自然，平和中见新奇
题目1
解法1 已知可化为2a2+1b(a-b)-10ac+25c2.
又 b(a-b)≤b+a-b22=a24，
∴2a2+1b(a-b)-10ac+25c2≥2a2+4a2-10ac+25c2=a2+4a2+a2-10ac+25c2=a2+4a2+(a-5c)2≥a2+4a2≥4，
当且仅当b=a-b，a=5c且a=2，即a=2b=5c=2时，“=”成立.
解法2 2a2+1ab+1a(a-b)-10ac+25c2=(a-5c)2+a2-ab+ab+1ab+1a(a-b)=(a-5c)2+ab+1ab+a(a-b)+1a(a-b)≥0+2+2=4，
当且仅当a-5c=0,ab=1,a(a-b)=1，
即a=2,b=22,c=25时，等号成立.
题目2（1）①
证法1 如图，在直角坐标系xOy内作单位圆O，并作出角α，β与-β，使角α的始边为Ox，交⊙O于点P1，终边交⊙O于点P2；角β的始边为OP2，终边交⊙O于点P3；角-β的始边为OP1，终边交⊙O于点P4.则P1(1,0),P2(cosα,sinα)，
P3(cos(α+β),sin(α+β)),P4(cos(-β),sin(-β)).
由P1P3=P2P4及两点间的距离公式，
得［cos(α+β)-1］2+sin2(α+β)=［cos(-β)-cosα］2+［sin(-β)-sinα］2.
展开并整理，得2-2cos(α+β)=2-2(cosαcosβ-sinαsinβ).
∴cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ.
此方法是运用两点间的距离公式及圆的有关知识来推导，看似简单，实则对学生来说是有一定难度的.
证法2 如图，在平面直角坐标系xOy内作单位圆O，以Ox为始边作角α，β，它们的终边与单位圆O的交点分别为A，B.
则OA=(cosα,sinα)，OB=(cosβ,sinβ).
由向量数量积的坐标表示有：
OA•OB=(cosα，sinα)•(cosβ，sinβ)
=cosαcosβ+sinαsinβ.
设OA与OB的夹角为θ，
则OA•OB=|OA|•|OB|cosθ=cosαcosβ+sinαsinβ.
又由图可知，α=2kπ+β+θ或α=2kπ+β-θ，
于是α-β=2kπ±θ，k∈Z.
∴cos(α-β)=cosθ，
∴cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.
此法用向量知识证明，很自然地将向量、三角与圆进行交会，过程简洁易懂，也从一道平凡试题中展示了向量方法的新奇性，但学生不易想到.
证法3 用单位圆上的三角函数线也可给以证明，此处略.
亮点5 寓含深意，注重思想，导向功能强
罗增儒老师说过：“高考复习的指导思想可界定为：以考试规律为指导，以近年高考命题的稳定性风格为导向；依纲靠本；以解题训练为中心，以中档综合题为重点，以近年高考试题为基本素材.平时教学要按教学规律进行，高考复习要按考试规律进行.考什么就练什么、怎么考就怎么练.”高考试卷就是指挥棒，就是高三复习的导向风标.四川这五年的高考试卷都有一个日趋明朗的教学与高考复习导向，就是引导中学数学教学抓纲务本，回归教材，回归基础，回归近几年的高考试题，注意挖掘课本潜力，减轻负担.尤其是2010年高考试题中的第12和19题展现得更是明显，突出了对数学本质和数学思想方法的考查，体现了“过程与方法”的理念，这对高三数学教学与复习回归教材、认识数学本质、重视知识之间的逻辑关系等有着很清晰的导向作用，这样更有利于纠正复习过程中的“教学题型化”“解题套路化”和“资料泛滥化”.四川省2010年秋季首次实施新课程标准，2010年高考的这一良好导向也为实施新课程奠定了基础，教学课时相对减少，教学内容有所增加等，这就要求教师和学生必须要以教材为根本，读懂、理解、吃透教材，领悟和把握教材，并对其变式、引申、拓展，提炼和掌握其蕴涵的数学思想、方法等通性通法，减轻学业负担，提高教学效益和实施素质教育等都具有良好的导向功能.