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数学活动经验是指学习者在参与数学活动的过程中所形成的感性知识、情绪体验和应用意识。数学活动经验对于数学活动的探究、数学思想方法的领悟、数学观念的形成等方面有着十分重要的作用。丰富的数学活动经验是学生学好数学、提高数学素养的重要途径和基础。如何在小学数学课堂教学中引领学生有效积累数学活动经验？这是不少教师教学实践中的困惑。下面笔者结合苏教版五年级下册“倍数、因数”的教学实践谈一些体会和思考，以求教于小学数学教学同行。
【思考与实践】
一、引发冲突，激活已有经验
数学基本活动经验是一种隐性的知识，它会影响个体的认知方式和思维方式，学生已有经验将对其从实际背景中抽象出数学问题、建构数学模型、迁移数学知识、解决实际问题产生积极的影响。因此，数学教学应从学生已有的经验出发，创设合适的问题情境，激活学生已有经验，让所有学生都能找到学习起点和探索路径，并以自己的认知和思维方式进行有效学习活动。
如在“倍数、因数”的开课之初，设计操作竞赛环节，由学生原有差异的认识经验引发认知冲突，激发学习探究的需要，并在初步的操作活动中获得与“倍数、因数”相关的原初经验，为后续学习提供认知经验和情绪体验准备。
（一）拼图竞赛
师：我们进行一个小正方形拼长方形的比赛，比赛规则是：①每次都把小正方形用完；②写出算式表示拼法；③通过平移或旋转后能完全重合的只算一种；④拼出长方形个数多的获胜。小正方形的个数有两种情况，12个和14个。你愿意选多的，还是选少的？
学生一部分选多的，一部分选少的。
师：请学习小组长按你们选择的小正方形的个数领取，小组内拼图写算式。（生分组操作）
（二）拼图展示
小组一：我们选的12个，拼出了3个长方形，算式是：1×12；3×4；2×6。
小组二：我们选的14个，拼出了2个长方形，算式是：14÷2=7；14×1=14。
师：哪组获胜？（选12个的小组）你有什么发现？
生：个数少摆法多。
师：为什么？
生：12的因数多，因为14比12少两个因数，所以拼出的长方形个数少。
生：因数少所以拼出的长方形少。
师：谁是12的因数？
生：3是12的因数。
师：对，3是12的因数，反过来说，12是3的倍数。
师：今天我们就一起研究因数、倍数的知识。（板书课题：倍数、因数）
二、暴露困惑，积累再生经验
基本活动经验也是个体在经历了具体的数学活动之后留下的、具有个体特色的内容。由于学生的知识背景、思维方式、感知视角的不同，他们在同样的学习过程中获得的活动经验也会有很大的差别。学生的基本数学活动经验能合理地积累与积淀，还需要经历一个判断、筛选、确认的环节。在“倍数、因数”的学习探究环节，应充分让学生展示、表达各自在学习过程中的认知、情感及观念方面的经历、感悟、体验，暴露学生数学活动经验的不足，然后据此引导学生经历判断、筛选、补充、确认、吸纳的经验再生过程，积累较完整的、全面的、准确的数学活动经验。
（一）认识倍数、因数
师：看着你们自己写的算式说说，谁是谁的倍数，谁是谁的因数。（生说）
师：大家说得很好，12的因数有哪些呢？
生：1，2，3，4，6，12。
师：你们是怎么找的？
生：根据乘法算式：（ ）×（ ）=12。
生：还可以想除法算式12÷（ ）=（ ）。
师：12÷5=2.4，能不能说12是5和2.4的倍数？为什么？
生：拼长方形时，一行摆5个是可以，但摆2.4行不是长方形，要是整数行才能摆成长方形。
师：也就是我们这里的“倍数、因数”有个范围，都要是整数，也就是在非0自然数的范围内研究“倍数、因数”。
师：14的因数有哪些？
生：1，2，7，14。
师：现在让你们选小正方形拼长方形，以拼出个数多的为胜，你选多的还是选少的？
生：选因数多的。
（二）找一个数的因数
出示问题：找出36的因数
1.学生独立找。
生：我找出36的因数有1，6，3，12，36，算式是：1×36=36，6×6=36，3×12=36，12×3=36。
生：我找出36的因数有1，36，6，6，4，9，算式是：36÷1=36，36÷6=6，36÷4=9，36÷9=4。
师：看看这两个同学找因数的过程，你有什么建议和问题？
生：他们都没有写完，还有重复的。
生：算式3×12=36，12×3=36可不可以只写一个？36÷4=9，36÷9=4可不可以只写一个？
生：两个因数6可不可以只写一个？
师：大家的问题集中在不要重复、不要漏掉上，很有道理。怎样才能不遗漏、不重复呢？怎样可以少写甚至可以不写算式？
2.交流展示。
（1）先独立思考，再小组交流。
（2）全班交流汇报。
生：找36的因数的时候，依次去除。
生：从1开始依次去除，找两个因数只需要想一个算式就行了。
生：除到大概36的一半就行了。
师：你是想说算式要有顺序，有序思考才能保证不重复、不遗漏。按照这样的方法把12，14，36的因数不重复、不遗漏地找完。
（3）试一试，找24，23的因数。学生独立找；全班展示交流。
（4）因数特点。 师：观察12，14，36，24，23的因数，你能发现什么？
生：它们的因数都有1，最大的因数是这个数本身。
师生完整小结：一个数的因数都有1和它本身，也就是说一个数的因数最小的是1，最大的是它本身。
（三）找一个数的倍数
1.找出6，8，5的倍数。学生独立找倍数；全班展示。
师：你是怎样找一个数的倍数的？观察6，8，5的倍数你有什么发现？
生：我是用这个数分别乘1，2，3……找倍数的，这样找不会漏掉。
生：我发现一个数最小的倍数是它自己，找不到最大的倍数。
生：一个数的倍数的个数是无限的，也就是它没有最大的倍数。
2.试一试（练习反馈略）。
三、反思提炼，生成概括性经验
学生学习数学的结果，除了掌握一定的知识和技能外，还有长时间积累后形成的思维模式，这是积累学生数学基本活动经验的核心和关键。这种数学思维模式主要表现为从特例入手，尝试性探索和归纳猜想一般规律或结论。怎样让学生的数学学习活动经验促进这种数学思维模式形成，使之成为今后遇到相似问题情境和学习过程的经验图式？这需要对学生在学习活动中获得的数学活动经验进行反思提炼，让学生在学习过程中的原初经验及再生经验成为有广泛迁移力的概括性经验。为此，“倍数、因数”的教学从学习过程、学习方式、思维方法等角度引导学生回顾反思，提升学生数学活动经验的概括性水平。
师：这节课学到这里，你们有什么收获？
生：知道了什么是倍数、因数，学会找倍数、因数的方法，还知道了倍数、因数的特点。
师：我们是通过怎样的方式获得这些知识的？
生：我们先摆图形和写算式，发现小正方形个数多不一定拼出的长方形多，想知道为什么，就进一步学习了倍数和因数。
生：我们开始找一个数的因数时，容易漏掉，后来我们学会了有序地找、有序地思考，才能不重复、不遗漏，找倍数也一样。
生：我们是在发现问题、发现错误后进行思考研究学到这些知识的。
……
【实践后的感悟】
一、经历了经验激活再生过程
任何一个小学数学知识内容的学习，都必须以学生原有经验为起点，并在进一步学习数学的过程中丰富数学活动经验，在不断地开展数学学习活动中实现经验再生、丰富与提升，最终积淀形成数学思维模式，建立一定的数学直观，形成数学素养。上述教学一方面以小正方形拼长方形的操作竞赛活动为载体，通过实践操作验证选小正方形个数少反而获胜的结果，这与多数学生认为选多的获胜的认知经验相冲突，于是产生了要探究“为什么”的心理需求，同时在竞赛过程中把倍数、因数与乘法、除法计算等相关的已有经验激活，为后续的学习探究打下心理和认知经验基础。另一方面，在“倍数、因数” 的探究学习过程中，让学生经历独立找一个数的因数、倍数，展示各自的方法与结果，观察所找到的因数、倍数，归纳各自的特点等过程，在这个过程中，学生在原有经验的基础上有了新的认识、新的感悟、新的体验，促进了数学活动经验的再生。这样让学生充分经历了数学活动经验的激活与再生过程，只有通过经验的不断再生，才会有经验的逐步丰富，经验的积累与提升才会成为可能。
二、经历了经验逐步完善过程
数学活动经验的获得是一个长期的丰富与积累的过程，那些希望一步到位达成“基本活动经验”教学目标的愿望是不可能实现的。所以在教学过程中，教师要依据学生的认知规律，让学生在学习过程中经历由模糊到清晰、由不正确到正确、由片面到全面的认知过程，促使学生的数学活动经验逐步完善。在上述教学中，教师有意识放手让学生先行操作、先行尝试，使其获得初步的原始经验，然后暴露学生在先行活动中产生的新认识、新经验，呈现的是不全面的认识甚至是错误的经验，如最先大多数学生认为小正方形个数多拼成的长方形也多，找出的因数不完全、重复、无序等等，这些不全面的认识与经验中都有各自正确的一面，教师以此为切入点，引发学生产生“为什么”“怎样才能不遗漏、不重复？怎样可以少写甚至可以不写算式”的疑问和相应的探究活动，通过独立的自我修正、思考和小组及全班的交流，最终把与倍数、因数的相关经验明晰和完善，让每个学生都经历了完整的经验再生、经验修正、经验明晰的过程，从而形成合理的数学活动经验。
三、经历了经验层次提升过程
在经历学习活动的全过程中，学生虽然获得了相关的数学活动经验，但是这些数学活动经验，往往是一些同某些实物、图形、具体操作对象、具体操作情境紧密相关的未加提炼过的经验，受到数学活动情境影响比较大，或是一部分经验还处于一种因操作性和情境性太强还没有转化为语言表征的浅层次经验。这种客观现象在教学中真实地存在着，这就需要教师及时引导学生对个人经历的数学活动进行回顾、反思、总结和讨论，以实现操作活动经验数学化，个人数学活动经验社会化，从而实现个人经验系统化。因此，上述教学中，教师首先引导学生对有序思考的方法及一个数的因数、倍数的特征进行归纳提炼。其次是在课堂教学即将结束之际，引导学生对整个学习过程进行梳理，引导学生对“通过怎样的方式来获得这些知识的”进行回顾反思，总结学习方法经验，对学习活动过程进行浓缩、抽象，并在更高级水平上重新构成相关学习活动经验，以活动过程的语言表征促使数学活动经验的内化和概括化。经过多次数学课堂学习经验的积累与提升，一定会积淀形成数学思维模式，最终为建立一定的数学直观提供坚实的支撑。
总之，基本数学活动经验的生成与丰富、积累与提升，离不开经验的激活再生、逐步完善、层次提升的过程，没有应有“经历”就没有应有“经验”，“经验”一定需要“经历”。
（重庆市沙坪坝区教师进修学院 400030）
【思考与实践】
一、引发冲突，激活已有经验
数学基本活动经验是一种隐性的知识，它会影响个体的认知方式和思维方式，学生已有经验将对其从实际背景中抽象出数学问题、建构数学模型、迁移数学知识、解决实际问题产生积极的影响。因此，数学教学应从学生已有的经验出发，创设合适的问题情境，激活学生已有经验，让所有学生都能找到学习起点和探索路径，并以自己的认知和思维方式进行有效学习活动。
如在“倍数、因数”的开课之初，设计操作竞赛环节，由学生原有差异的认识经验引发认知冲突，激发学习探究的需要，并在初步的操作活动中获得与“倍数、因数”相关的原初经验，为后续学习提供认知经验和情绪体验准备。
（一）拼图竞赛
师：我们进行一个小正方形拼长方形的比赛，比赛规则是：①每次都把小正方形用完；②写出算式表示拼法；③通过平移或旋转后能完全重合的只算一种；④拼出长方形个数多的获胜。小正方形的个数有两种情况，12个和14个。你愿意选多的，还是选少的？
学生一部分选多的，一部分选少的。
师：请学习小组长按你们选择的小正方形的个数领取，小组内拼图写算式。（生分组操作）
（二）拼图展示
小组一：我们选的12个，拼出了3个长方形，算式是：1×12；3×4；2×6。
小组二：我们选的14个，拼出了2个长方形，算式是：14÷2=7；14×1=14。
师：哪组获胜？（选12个的小组）你有什么发现？
生：个数少摆法多。
师：为什么？
生：12的因数多，因为14比12少两个因数，所以拼出的长方形个数少。
生：因数少所以拼出的长方形少。
师：谁是12的因数？
生：3是12的因数。
师：对，3是12的因数，反过来说，12是3的倍数。
师：今天我们就一起研究因数、倍数的知识。（板书课题：倍数、因数）
二、暴露困惑，积累再生经验
基本活动经验也是个体在经历了具体的数学活动之后留下的、具有个体特色的内容。由于学生的知识背景、思维方式、感知视角的不同，他们在同样的学习过程中获得的活动经验也会有很大的差别。学生的基本数学活动经验能合理地积累与积淀，还需要经历一个判断、筛选、确认的环节。在“倍数、因数”的学习探究环节，应充分让学生展示、表达各自在学习过程中的认知、情感及观念方面的经历、感悟、体验，暴露学生数学活动经验的不足，然后据此引导学生经历判断、筛选、补充、确认、吸纳的经验再生过程，积累较完整的、全面的、准确的数学活动经验。
（一）认识倍数、因数
师：看着你们自己写的算式说说，谁是谁的倍数，谁是谁的因数。（生说）
师：大家说得很好，12的因数有哪些呢？
生：1，2，3，4，6，12。
师：你们是怎么找的？
生：根据乘法算式：（ ）×（ ）=12。
生：还可以想除法算式12÷（ ）=（ ）。
师：12÷5=2.4，能不能说12是5和2.4的倍数？为什么？
生：拼长方形时，一行摆5个是可以，但摆2.4行不是长方形，要是整数行才能摆成长方形。
师：也就是我们这里的“倍数、因数”有个范围，都要是整数，也就是在非0自然数的范围内研究“倍数、因数”。
师：14的因数有哪些？
生：1，2，7，14。
师：现在让你们选小正方形拼长方形，以拼出个数多的为胜，你选多的还是选少的？
生：选因数多的。
（二）找一个数的因数
出示问题：找出36的因数
1.学生独立找。
生：我找出36的因数有1，6，3，12，36，算式是：1×36=36，6×6=36，3×12=36，12×3=36。
生：我找出36的因数有1，36，6，6，4，9，算式是：36÷1=36，36÷6=6，36÷4=9，36÷9=4。
师：看看这两个同学找因数的过程，你有什么建议和问题？
生：他们都没有写完，还有重复的。
生：算式3×12=36，12×3=36可不可以只写一个？36÷4=9，36÷9=4可不可以只写一个？
生：两个因数6可不可以只写一个？
师：大家的问题集中在不要重复、不要漏掉上，很有道理。怎样才能不遗漏、不重复呢？怎样可以少写甚至可以不写算式？
2.交流展示。
（1）先独立思考，再小组交流。
（2）全班交流汇报。
生：找36的因数的时候，依次去除。
生：从1开始依次去除，找两个因数只需要想一个算式就行了。
生：除到大概36的一半就行了。
师：你是想说算式要有顺序，有序思考才能保证不重复、不遗漏。按照这样的方法把12，14，36的因数不重复、不遗漏地找完。
（3）试一试，找24，23的因数。学生独立找；全班展示交流。
（4）因数特点。 师：观察12，14，36，24，23的因数，你能发现什么？
生：它们的因数都有1，最大的因数是这个数本身。
师生完整小结：一个数的因数都有1和它本身，也就是说一个数的因数最小的是1，最大的是它本身。
（三）找一个数的倍数
1.找出6，8，5的倍数。学生独立找倍数；全班展示。
师：你是怎样找一个数的倍数的？观察6，8，5的倍数你有什么发现？
生：我是用这个数分别乘1，2，3……找倍数的，这样找不会漏掉。
生：我发现一个数最小的倍数是它自己，找不到最大的倍数。
生：一个数的倍数的个数是无限的，也就是它没有最大的倍数。
2.试一试（练习反馈略）。
三、反思提炼，生成概括性经验
学生学习数学的结果，除了掌握一定的知识和技能外，还有长时间积累后形成的思维模式，这是积累学生数学基本活动经验的核心和关键。这种数学思维模式主要表现为从特例入手，尝试性探索和归纳猜想一般规律或结论。怎样让学生的数学学习活动经验促进这种数学思维模式形成，使之成为今后遇到相似问题情境和学习过程的经验图式？这需要对学生在学习活动中获得的数学活动经验进行反思提炼，让学生在学习过程中的原初经验及再生经验成为有广泛迁移力的概括性经验。为此，“倍数、因数”的教学从学习过程、学习方式、思维方法等角度引导学生回顾反思，提升学生数学活动经验的概括性水平。
师：这节课学到这里，你们有什么收获？
生：知道了什么是倍数、因数，学会找倍数、因数的方法，还知道了倍数、因数的特点。
师：我们是通过怎样的方式获得这些知识的？
生：我们先摆图形和写算式，发现小正方形个数多不一定拼出的长方形多，想知道为什么，就进一步学习了倍数和因数。
生：我们开始找一个数的因数时，容易漏掉，后来我们学会了有序地找、有序地思考，才能不重复、不遗漏，找倍数也一样。
生：我们是在发现问题、发现错误后进行思考研究学到这些知识的。
……
【实践后的感悟】
一、经历了经验激活再生过程
任何一个小学数学知识内容的学习，都必须以学生原有经验为起点，并在进一步学习数学的过程中丰富数学活动经验，在不断地开展数学学习活动中实现经验再生、丰富与提升，最终积淀形成数学思维模式，建立一定的数学直观，形成数学素养。上述教学一方面以小正方形拼长方形的操作竞赛活动为载体，通过实践操作验证选小正方形个数少反而获胜的结果，这与多数学生认为选多的获胜的认知经验相冲突，于是产生了要探究“为什么”的心理需求，同时在竞赛过程中把倍数、因数与乘法、除法计算等相关的已有经验激活，为后续的学习探究打下心理和认知经验基础。另一方面，在“倍数、因数” 的探究学习过程中，让学生经历独立找一个数的因数、倍数，展示各自的方法与结果，观察所找到的因数、倍数，归纳各自的特点等过程，在这个过程中，学生在原有经验的基础上有了新的认识、新的感悟、新的体验，促进了数学活动经验的再生。这样让学生充分经历了数学活动经验的激活与再生过程，只有通过经验的不断再生，才会有经验的逐步丰富，经验的积累与提升才会成为可能。
二、经历了经验逐步完善过程
数学活动经验的获得是一个长期的丰富与积累的过程，那些希望一步到位达成“基本活动经验”教学目标的愿望是不可能实现的。所以在教学过程中，教师要依据学生的认知规律，让学生在学习过程中经历由模糊到清晰、由不正确到正确、由片面到全面的认知过程，促使学生的数学活动经验逐步完善。在上述教学中，教师有意识放手让学生先行操作、先行尝试，使其获得初步的原始经验，然后暴露学生在先行活动中产生的新认识、新经验，呈现的是不全面的认识甚至是错误的经验，如最先大多数学生认为小正方形个数多拼成的长方形也多，找出的因数不完全、重复、无序等等，这些不全面的认识与经验中都有各自正确的一面，教师以此为切入点，引发学生产生“为什么”“怎样才能不遗漏、不重复？怎样可以少写甚至可以不写算式”的疑问和相应的探究活动，通过独立的自我修正、思考和小组及全班的交流，最终把与倍数、因数的相关经验明晰和完善，让每个学生都经历了完整的经验再生、经验修正、经验明晰的过程，从而形成合理的数学活动经验。
三、经历了经验层次提升过程
在经历学习活动的全过程中，学生虽然获得了相关的数学活动经验，但是这些数学活动经验，往往是一些同某些实物、图形、具体操作对象、具体操作情境紧密相关的未加提炼过的经验，受到数学活动情境影响比较大，或是一部分经验还处于一种因操作性和情境性太强还没有转化为语言表征的浅层次经验。这种客观现象在教学中真实地存在着，这就需要教师及时引导学生对个人经历的数学活动进行回顾、反思、总结和讨论，以实现操作活动经验数学化，个人数学活动经验社会化，从而实现个人经验系统化。因此，上述教学中，教师首先引导学生对有序思考的方法及一个数的因数、倍数的特征进行归纳提炼。其次是在课堂教学即将结束之际，引导学生对整个学习过程进行梳理，引导学生对“通过怎样的方式来获得这些知识的”进行回顾反思，总结学习方法经验，对学习活动过程进行浓缩、抽象，并在更高级水平上重新构成相关学习活动经验，以活动过程的语言表征促使数学活动经验的内化和概括化。经过多次数学课堂学习经验的积累与提升，一定会积淀形成数学思维模式，最终为建立一定的数学直观提供坚实的支撑。
总之，基本数学活动经验的生成与丰富、积累与提升，离不开经验的激活再生、逐步完善、层次提升的过程，没有应有“经历”就没有应有“经验”，“经验”一定需要“经历”。
（重庆市沙坪坝区教师进修学院 400030）