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【摘要】 直线与圆锥曲线的位置关系问题是学生学习过程中的难点之一，针对不少学生在解答过程中思路混乱或者根本找不到出发点下手这一实际教学现状，笔者提出“从点出发”这一解题策略，主要帮助学生能找准这类问题的切入口或下手点，并能对方程求解作出正确的处理，并在实际教学过程的检验中取得较好的效果。
【关键词】解题策略；点；方程
【中图分类号】G634.6
解析几何是高中数学知识体系的重要组成部分，也是历年高考解答题中的重点考查内容之一，同时又是不少学生的“难题”之一。之所以“难”， 主要涉及两方面原因，一方面， 解析几何需要运用坐标法的思想通过代数的方法解决几何问题，学生对这一思维模式的认知比较缺乏，在坐标表征的策略上也会显的相对欠缺；另一方面，解析几何问题的处理过程往往和函数思想、方程思想等结合，而学生综合运用这些思想处理问题的能力还是比较薄弱。因而，教师应充分了解学生认知过程的特点，顺应学生认知发展的模式，研究有针对性的、适宜操作的、通用性强的有效解题策略，来帮助引导学生进行知识和思维的构建。本文就一类直线与圆锥曲线位置问题的教学展开研究和设计。
一、陷入困境，追寻根源
（一）、 教学现状
在直线与圆锥曲线位置关系的教学过程中，无论是平时的作业还是检测，对不少学生而言前一小题基本没有问题，但后一小题就只能做一部分甚至是一点都做不了，只有为数较少的学生才能完整的做下来（还不算完全正确的）。虽然对于直线与圆锥曲线位置关系的解答题到了最后关头都会有考查较强的数据处理能力这一关，但学生们更多的是还没走到这一关就已早早的偃旗息鼓，停滞不前了。可见，学生对这类问题的解题障碍更多的还是思路的欠缺。而教师在平时的课堂教学过程中往往会把重心放在抓后续的计算能力这一关上，对问题本质及思路方法的引导却略有欠缺，于此同时，市面上的教辅资料对直线与圆锥曲线位置关系问题的教学方案主要侧重内容上的分类，如取值范围问题、定值定点问题、探索性问题等等，给出的方法指引仅是针对这几种类型的常用方法的罗列或特定步骤的归纳，很少有对问题的共通性进行提炼，对思路的形成方式进行引导等等。于是，学生尽管做了很多题，也见识了很多方法，但仍无法顺利的让自己形成系统的思路网络，真正等到自己独立做的时候，就只能“望题兴叹”了。因此，对学生进行有效易行的解题策略的指引就显的尤为必要和重要。
（二）、 原因分析
那么，具体在解题过程中是什么阻碍了这部分学生思维的前行？针对他们平时存在的问题，我总结了以下几点原因： 1、缺乏对解析几何本质的理解，对曲线和方程的对应关系理解不到位，所以面对条件中的诸多点和线时思路模糊，一筹莫展。2还未形成一套明确的思路模式考虑这类问题 ，所以题目做的虽多，但只是就题论题，碰到新的问题不能触类旁通，或者出现有時会做有时又不会做了等等现象。3、坐标表征策略薄弱，导致产生不恰当的处理根的方式。
针对这些情况，我对这类直线与圆锥曲线位置问题的解题策略进行了探寻。
二、 寻找策略，突破困境
（一）、回归本质，紧抓核心思想
要解好一类题，如果没有对应的数学思想，学生往往抓不住问题的数学本质，这不利于解题思路的形成。 所以，要解好直线与圆锥曲线位置的问题，首先就要明确解析几何的学科本质，掌握其核心思想。
解析几何，又叫做坐标几何，是用代数方法研究几何图形的一门学科。要用代数方法研究几何图形，首先需要把图形问题转化成代数形式，然后才能用代数方法进行计算，在获得代数结果以后，又需要把代数结果转化为几何结论.一个解析几何问题的解决是通过“几何图形代数化与代数结果几何化”和代数计算来实现的，图形问题代数化是解析几何的核心思想，它把几何中的点与代数中的有序实数对——坐标进行对应，把曲线与二元方程进行对应，通过平面直角坐标系这座桥梁，使两种数学形式根据需要可以“互化”，然后可以通过对方程的研究来研究曲线的性质，这是解析几何的理论基础。
因此，根据解析几何学科的这一本质思想，要解好题目，首先就要具备代数、几何互相转化的思想，具体就是点与坐标的转化 ，曲线与方程的转化。
（二）、从点出发，构建思路网络
直线与圆锥曲线位置的解答题一般都包含了各种条件之间的复杂联系，需要清晰的掌握各个条件之间的关系，才能形成合适的解题思路，如何搭建好一张思路的网络，可以通过分析已知条件中各个元素与元素之间的关联。
点是解析几何问题中的最基本的元素，在直线与圆锥曲线相交的问题里， 很多问题都是由直线与圆锥曲线的交点来展开，通过分析这些点的产生方式或者其他元素的构成形式，就可以将条件中的点、线等元素串联成网，所以，点是这类问题的聚焦和联系，求解直线与圆锥曲线相交问题可以看成是求这些点的过程，只要能将点“求得”，问题就可以解决，因此，不妨可以从这些“点”入手，分析这些点的产生来源，以求解这些点作为解题过程的驱动。
分析：此题中涉及的元素有一个椭圆，三条直线，三个点，最后要求的是直线EF的斜率，则只要将E、F两点的坐标“求”得，问题就可解决。
第一步，分析E、F这两点的产生方式，以E点为例， E点既可以看成是直线AE与椭圆的交点，也可看成是直线EF与椭圆的交点，这样，求解E点的过程就非常自然，而且产生了两条途径。
第二步，运用转化思想，将求交点转化为求解对应的方程组。途径一是将E点看成是直线AE与椭圆的交点，由此便应先产生直线AE方程， 再与椭圆C的方程联立求之； 途径二是将E点看成是直线EF与椭圆的交点，那么也可以由直线EF的方程与椭圆C的方程联立求之。
（三）、解易设难，冲破求解障碍
如上所说，联立方程是为了求出直线与曲线的交点，所以处理方程的方式就要以求方程的解为目标，根据求解方程的不同情况及后续计算的难易程度，可以分下面两种情况来具体处理。 1、直线与圆锥曲线的两个交点其中一点已知
途径一中联立了直线AE与椭圆C的方程，此时由于A点给定，即联立后的方程有一个根是已知的，故另一根（即E点坐标）已经很明确，此时应果断求出另一根可使思维更清晰明了。
小结1：当直线与圆锥曲线的两个交点其中一点已知，或两者具有特殊的对称关系时，对应的方程的根较为容易求得，此时应将它们独立求出，可减少所设参数的个数。
2、直线与圆锥曲线的两个交点都未知且无对称关系
途径二中联立了直线EF与椭圆C的方程，此时由于E、F两点既没有特殊的对称关系，也没有一个点是已知點，方程的两根（E、F点坐标）形式势必较为复杂，而且还会导致后续计算过程繁复不堪，故可采用“设而不求”的思想，即设E、F两点之后暂且不具体求出，利用直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数这一条件，将得到的关系式整理为两根之和或两根之积的形式，即可将前面的韦达关系整体代人求得k值。
小结2：当直线与圆锥曲线的两个交点都未知且无对称关系时，方程的两根求出来比较复杂，不利后续计算，此时应设而不求。
三、效果检验，思维绽放
为检验这一解题策略的具体效果，我在课堂上让学生思考了下面这道题：
例2、已知椭圆 的离心率为 ，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线 相切.
（I）求椭圆 的方程；
（II）设P（4，0），A，B是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连接PE交椭圆C于另一点E，直线AE与x轴相交于点Q，证明：点Q为定点。
学生拿到题目后都异常积极的投入了思考，在上述解题思想的引领下，一段时间过后就有几位同学将求直线AE的过程整理下来了，下面是学生对此题的分析过程：
生1：所求的点Q是直线AE与x轴的交点，根据点Q的产生方式需要将直线AE 表示出来，故需求解A、E两点，其中A点是由B点对称得来，故得到B点就可得到A点。而B、E两点均可看成直线BP与椭圆的交点，所以通过设直线PB方程与椭圆C方程联立来求解，但因两个交点均为未知，故采用了设而不求的方法写出直线AE的方程，令方程中的y=0，就是点Q的横坐标，接下来就用韦达定理整体代换整理出Q点坐标。
此学生回答完后有好几位学生都轻轻的“嗯”了一声，说明有不少同学都采用了这条途径，看到学生可以比较顺畅运用这一方法找到解这类问题的门道，我很感欣慰。接下来，我又问道：要得到A、E两点还有别的途径吗？“有”，几个不大的声音从底下传来，我叫了其中一位学生讲了他的思路。
生2：我觉的点A和点E都跟点B有关，所以我就通过设B点坐标 来得到这两点，A点直接根据对称得到，E点仍旧看成直线BP与椭圆的交点，此时联立之后的方程我就可以直接把E点坐标表示出来了，因为虽然B点还是未知点，但设了 之后就可以将此点看成是相对已知的点，便可直接表示出另一根即E点的坐标来了，之后根据表示下来的A、E这两点就能写出直线AE方程了。
生2回答完后我对他的解法表示了肯定，有了这两位同学正确的回答作开头，也激起了其他同学的自信以及分享自己想法的欲望。
生3： 我是将A、E两点看作直线AE与椭圆的交点这一角度出发的。设直线AE方程y=kx+b与椭圆方程联立，由条件同样需要设而不求，又因为A，B两点关于x轴对称，B点的坐标就可对应得到，然后利用E、B、P这三点是共线关系就可以列出关系式整理出k与b的关系，将其代入AE方程后定点就出来了 。
“很好！”，看到学生能将解题思想运用自如，问题分析到位，说明学生已能真正明确直线和圆锥曲线位置关系问题的本质思想，我心里很是满意。这时，又有一个学生进行了补充。
生4：我跟生3的做法基本一样，不过有一个地方有点区别，因为考虑到A，B两点关于x轴对称，所以直线AP和EP的斜率就互为相反数，这样，就可直接利用 这一关系来求了。
这位学生从这个角度发现的这一点似乎带给了其他同学一定的启发，此时我身边的一位同学也似乎想到了什么，于是我又问了这位同学他的想法。
生5：我是因为刚才生4说的那个思路突然想到的，既然AP和EP的斜率相反，也就是关于x轴对称，那么就题目就相当于是由x轴上一点P出发，作两条关于x轴对称的直线分别与椭圆相交（如图3），显然四个交点构成一个等腰梯形，AE就是这个等腰梯形的对角线，后面还没想好。
虽然，他只讲了一半，但这一思路很快得到了其他同学的赞赏，一阵思考过后，生6对后面的思路进行了补充。
生6：可以利用相似比，得到 ，即 ，从而 ，然后用前面的韦达定理代人即可。
这是超出我预设的一种解法，在对他的解法表示肯定的同时，我也小有激动，我没想到这道题学生还会从这一角度入手。 正当我准备作小结时，又有一生忽然站起来问了个问题：这道题可不可以看成由一条直线AE与椭圆相交出发，只要满足直线AP和EP斜率相反，那么直线AE就过定点？
经过分析比较，大家发现这两个问题的本质是一样的，从这个视角出发，条件就可从4个点减少为3个点，题目的特征更为明显，思路也就更为清晰。看来学生不仅会解题，还会开始考虑题目的本质了。此时下课铃已响，但学生仍意犹未尽，在我走出教室的时候，还有学生在继续讨论着
波利亚说，只有对数学思想、数学方法理解透彻及融会贯通时，才能提出新看法、新解法。学生们的表现应该就是这一解题策略效果的最好答案了。
【关键词】解题策略；点；方程
【中图分类号】G634.6
解析几何是高中数学知识体系的重要组成部分，也是历年高考解答题中的重点考查内容之一，同时又是不少学生的“难题”之一。之所以“难”， 主要涉及两方面原因，一方面， 解析几何需要运用坐标法的思想通过代数的方法解决几何问题，学生对这一思维模式的认知比较缺乏，在坐标表征的策略上也会显的相对欠缺；另一方面，解析几何问题的处理过程往往和函数思想、方程思想等结合，而学生综合运用这些思想处理问题的能力还是比较薄弱。因而，教师应充分了解学生认知过程的特点，顺应学生认知发展的模式，研究有针对性的、适宜操作的、通用性强的有效解题策略，来帮助引导学生进行知识和思维的构建。本文就一类直线与圆锥曲线位置问题的教学展开研究和设计。
一、陷入困境，追寻根源
（一）、 教学现状
在直线与圆锥曲线位置关系的教学过程中，无论是平时的作业还是检测，对不少学生而言前一小题基本没有问题，但后一小题就只能做一部分甚至是一点都做不了，只有为数较少的学生才能完整的做下来（还不算完全正确的）。虽然对于直线与圆锥曲线位置关系的解答题到了最后关头都会有考查较强的数据处理能力这一关，但学生们更多的是还没走到这一关就已早早的偃旗息鼓，停滞不前了。可见，学生对这类问题的解题障碍更多的还是思路的欠缺。而教师在平时的课堂教学过程中往往会把重心放在抓后续的计算能力这一关上，对问题本质及思路方法的引导却略有欠缺，于此同时，市面上的教辅资料对直线与圆锥曲线位置关系问题的教学方案主要侧重内容上的分类，如取值范围问题、定值定点问题、探索性问题等等，给出的方法指引仅是针对这几种类型的常用方法的罗列或特定步骤的归纳，很少有对问题的共通性进行提炼，对思路的形成方式进行引导等等。于是，学生尽管做了很多题，也见识了很多方法，但仍无法顺利的让自己形成系统的思路网络，真正等到自己独立做的时候，就只能“望题兴叹”了。因此，对学生进行有效易行的解题策略的指引就显的尤为必要和重要。
（二）、 原因分析
那么，具体在解题过程中是什么阻碍了这部分学生思维的前行？针对他们平时存在的问题，我总结了以下几点原因： 1、缺乏对解析几何本质的理解，对曲线和方程的对应关系理解不到位，所以面对条件中的诸多点和线时思路模糊，一筹莫展。2还未形成一套明确的思路模式考虑这类问题 ，所以题目做的虽多，但只是就题论题，碰到新的问题不能触类旁通，或者出现有時会做有时又不会做了等等现象。3、坐标表征策略薄弱，导致产生不恰当的处理根的方式。
针对这些情况，我对这类直线与圆锥曲线位置问题的解题策略进行了探寻。
二、 寻找策略，突破困境
（一）、回归本质，紧抓核心思想
要解好一类题，如果没有对应的数学思想，学生往往抓不住问题的数学本质，这不利于解题思路的形成。 所以，要解好直线与圆锥曲线位置的问题，首先就要明确解析几何的学科本质，掌握其核心思想。
解析几何，又叫做坐标几何，是用代数方法研究几何图形的一门学科。要用代数方法研究几何图形，首先需要把图形问题转化成代数形式，然后才能用代数方法进行计算，在获得代数结果以后，又需要把代数结果转化为几何结论.一个解析几何问题的解决是通过“几何图形代数化与代数结果几何化”和代数计算来实现的，图形问题代数化是解析几何的核心思想，它把几何中的点与代数中的有序实数对——坐标进行对应，把曲线与二元方程进行对应，通过平面直角坐标系这座桥梁，使两种数学形式根据需要可以“互化”，然后可以通过对方程的研究来研究曲线的性质，这是解析几何的理论基础。
因此，根据解析几何学科的这一本质思想，要解好题目，首先就要具备代数、几何互相转化的思想，具体就是点与坐标的转化 ，曲线与方程的转化。
（二）、从点出发，构建思路网络
直线与圆锥曲线位置的解答题一般都包含了各种条件之间的复杂联系，需要清晰的掌握各个条件之间的关系，才能形成合适的解题思路，如何搭建好一张思路的网络，可以通过分析已知条件中各个元素与元素之间的关联。
点是解析几何问题中的最基本的元素，在直线与圆锥曲线相交的问题里， 很多问题都是由直线与圆锥曲线的交点来展开，通过分析这些点的产生方式或者其他元素的构成形式，就可以将条件中的点、线等元素串联成网，所以，点是这类问题的聚焦和联系，求解直线与圆锥曲线相交问题可以看成是求这些点的过程，只要能将点“求得”，问题就可以解决，因此，不妨可以从这些“点”入手，分析这些点的产生来源，以求解这些点作为解题过程的驱动。
分析：此题中涉及的元素有一个椭圆，三条直线，三个点，最后要求的是直线EF的斜率，则只要将E、F两点的坐标“求”得，问题就可解决。
第一步，分析E、F这两点的产生方式，以E点为例， E点既可以看成是直线AE与椭圆的交点，也可看成是直线EF与椭圆的交点，这样，求解E点的过程就非常自然，而且产生了两条途径。
第二步，运用转化思想，将求交点转化为求解对应的方程组。途径一是将E点看成是直线AE与椭圆的交点，由此便应先产生直线AE方程， 再与椭圆C的方程联立求之； 途径二是将E点看成是直线EF与椭圆的交点，那么也可以由直线EF的方程与椭圆C的方程联立求之。
（三）、解易设难，冲破求解障碍
如上所说，联立方程是为了求出直线与曲线的交点，所以处理方程的方式就要以求方程的解为目标，根据求解方程的不同情况及后续计算的难易程度，可以分下面两种情况来具体处理。 1、直线与圆锥曲线的两个交点其中一点已知
途径一中联立了直线AE与椭圆C的方程，此时由于A点给定，即联立后的方程有一个根是已知的，故另一根（即E点坐标）已经很明确，此时应果断求出另一根可使思维更清晰明了。
小结1：当直线与圆锥曲线的两个交点其中一点已知，或两者具有特殊的对称关系时，对应的方程的根较为容易求得，此时应将它们独立求出，可减少所设参数的个数。
2、直线与圆锥曲线的两个交点都未知且无对称关系
途径二中联立了直线EF与椭圆C的方程，此时由于E、F两点既没有特殊的对称关系，也没有一个点是已知點，方程的两根（E、F点坐标）形式势必较为复杂，而且还会导致后续计算过程繁复不堪，故可采用“设而不求”的思想，即设E、F两点之后暂且不具体求出，利用直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数这一条件，将得到的关系式整理为两根之和或两根之积的形式，即可将前面的韦达关系整体代人求得k值。
小结2：当直线与圆锥曲线的两个交点都未知且无对称关系时，方程的两根求出来比较复杂，不利后续计算，此时应设而不求。
三、效果检验，思维绽放
为检验这一解题策略的具体效果，我在课堂上让学生思考了下面这道题：
例2、已知椭圆 的离心率为 ，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线 相切.
（I）求椭圆 的方程；
（II）设P（4，0），A，B是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连接PE交椭圆C于另一点E，直线AE与x轴相交于点Q，证明：点Q为定点。
学生拿到题目后都异常积极的投入了思考，在上述解题思想的引领下，一段时间过后就有几位同学将求直线AE的过程整理下来了，下面是学生对此题的分析过程：
生1：所求的点Q是直线AE与x轴的交点，根据点Q的产生方式需要将直线AE 表示出来，故需求解A、E两点，其中A点是由B点对称得来，故得到B点就可得到A点。而B、E两点均可看成直线BP与椭圆的交点，所以通过设直线PB方程与椭圆C方程联立来求解，但因两个交点均为未知，故采用了设而不求的方法写出直线AE的方程，令方程中的y=0，就是点Q的横坐标，接下来就用韦达定理整体代换整理出Q点坐标。
此学生回答完后有好几位学生都轻轻的“嗯”了一声，说明有不少同学都采用了这条途径，看到学生可以比较顺畅运用这一方法找到解这类问题的门道，我很感欣慰。接下来，我又问道：要得到A、E两点还有别的途径吗？“有”，几个不大的声音从底下传来，我叫了其中一位学生讲了他的思路。
生2：我觉的点A和点E都跟点B有关，所以我就通过设B点坐标 来得到这两点，A点直接根据对称得到，E点仍旧看成直线BP与椭圆的交点，此时联立之后的方程我就可以直接把E点坐标表示出来了，因为虽然B点还是未知点，但设了 之后就可以将此点看成是相对已知的点，便可直接表示出另一根即E点的坐标来了，之后根据表示下来的A、E这两点就能写出直线AE方程了。
生2回答完后我对他的解法表示了肯定，有了这两位同学正确的回答作开头，也激起了其他同学的自信以及分享自己想法的欲望。
生3： 我是将A、E两点看作直线AE与椭圆的交点这一角度出发的。设直线AE方程y=kx+b与椭圆方程联立，由条件同样需要设而不求，又因为A，B两点关于x轴对称，B点的坐标就可对应得到，然后利用E、B、P这三点是共线关系就可以列出关系式整理出k与b的关系，将其代入AE方程后定点就出来了 。
“很好！”，看到学生能将解题思想运用自如，问题分析到位，说明学生已能真正明确直线和圆锥曲线位置关系问题的本质思想，我心里很是满意。这时，又有一个学生进行了补充。
生4：我跟生3的做法基本一样，不过有一个地方有点区别，因为考虑到A，B两点关于x轴对称，所以直线AP和EP的斜率就互为相反数，这样，就可直接利用 这一关系来求了。
这位学生从这个角度发现的这一点似乎带给了其他同学一定的启发，此时我身边的一位同学也似乎想到了什么，于是我又问了这位同学他的想法。
生5：我是因为刚才生4说的那个思路突然想到的，既然AP和EP的斜率相反，也就是关于x轴对称，那么就题目就相当于是由x轴上一点P出发，作两条关于x轴对称的直线分别与椭圆相交（如图3），显然四个交点构成一个等腰梯形，AE就是这个等腰梯形的对角线，后面还没想好。
虽然，他只讲了一半，但这一思路很快得到了其他同学的赞赏，一阵思考过后，生6对后面的思路进行了补充。
生6：可以利用相似比，得到 ，即 ，从而 ，然后用前面的韦达定理代人即可。
这是超出我预设的一种解法，在对他的解法表示肯定的同时，我也小有激动，我没想到这道题学生还会从这一角度入手。 正当我准备作小结时，又有一生忽然站起来问了个问题：这道题可不可以看成由一条直线AE与椭圆相交出发，只要满足直线AP和EP斜率相反，那么直线AE就过定点？
经过分析比较，大家发现这两个问题的本质是一样的，从这个视角出发，条件就可从4个点减少为3个点，题目的特征更为明显，思路也就更为清晰。看来学生不仅会解题，还会开始考虑题目的本质了。此时下课铃已响，但学生仍意犹未尽，在我走出教室的时候，还有学生在继续讨论着
波利亚说，只有对数学思想、数学方法理解透彻及融会贯通时，才能提出新看法、新解法。学生们的表现应该就是这一解题策略效果的最好答案了。