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【摘 要】《义务教育数学课程标准（2011年版）》颁布以来，数学课程目标“四基”与“四能”的培养在全国产生了很大反响。要想培养学生对问题的发现和探究能力，教师需要发挥示范引导作用。本文以厦门市2020年3月线上质检理科数学第11题为例，引导学生多层次、多角度、多方位开展探究，以期培养学生的问题探究意识，提升学生的自主探究能力。
【关键词】高中数学;解题;问题探究;核心素养
【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】1671-8437（2020）28-0103-03
数学教学的本质是思维过程的引导、启发。如果学生缺乏对数学问题的探究意识，仅停留在“就题论题”的层次，这既不利于其培养数学思维，也很难使他们的解题能力得到提升[1]。因此，解答数学题要从根本入手，通过研究问题的变式、优化解题的方法、拓展问题的应用、揭示问题的背景等方式，跳出“书山题海”，还要通过对解题过程的“反刍”，留住知识之“根”、方法之“根”、价值之“根”和本质之“根”[2]。
笔者以厦门市2020年3月线上质检理科数学第11题为例，引导学生挖掘试题的内涵，从试题探源、解法探究、试题推广、推广逆向、类似试题、试题的再命制等角度开展多层次、多角度、多方位的探究，以达到让学生在训练中发展思维的灵活性，提升问题探究能力，培养数学核心素养的目的。
试题再现 已知、是双曲线的左、右焦点，过且与的渐近线平行的直线与交于点，，则的离心率为（ ）。
A. B.
C. D.
1 試题探源
图1
（2019年全国卷Ⅰ理科数学第16题）如图1，已知双曲线 的左、右焦点分别为，过的直线与的两条渐近线分别交于两点。若，，则的离心率为_______。
通过对比可以发现，原试题与2019年全国卷Ⅰ理科数学第16题极其相似，惟一差别在于原试题中点在双曲线上，真题中的中点在双曲线的渐近线上。
评注 通过对高考真题进行适当的变式，实现问题迁移，不失为跳出“题海”的一个行之有效的方法。
2 解法探究
破解圆锥曲线问题常需要借助题目所涉及图形的几何性质。从“几何角度”入手，利用平面几何知识，可以更简便地剖析出问题本质。另外，以坐标系为桥梁，将几何问题转化成代数问题，从“代数角度”入手，通过坐标运算研究几何性质，也是常见的破题之策。
图2
解法一（几何法）：如图2，由于直线平行于渐近线，可得，即，根据双
曲线定理得，由此可解得
，。在中，根据勾股定理
得，化简得，，，离心率。
解法二（代数法）：由直线平行于渐近线可得，直线方程为，因为，
所以直线的方程为。联立
与，求解得点坐标为，将其代入，得，从而，化简得，离心率。
评注 解法一充分利用了双曲线的定义，使得问题求解的运算过程得到简化。解法二求解思路较为直接，易于理解，但运算量稍大。类似于解法二，还可通过联立直线与方程求出点坐标，再代入方程中得到与关系式;或在得到点坐标后，利用，建立与关系式;或联立直线、方程求出点坐标，再代入，得到与关系式。
3 试题推广
图3
在试题评讲过程中，引导学生将试题题设条件一般化，通过生生互动、师生互动，得到如下试题推广。
定理1 如图3，已知、是双曲线的左、右焦点，过且与的渐近线平行的直线与交于点，，则。
评注 原题中的条件“”等价于“”，令定理1中即可得原试题，故定理1是原试题的推广。
证明 直线的方程为，将其与联立，求得点的坐标为，则，，
，
从而，得，
，。
命制新题1 双曲线的左、右焦点分别为，过且与的渐近线平行的直线与交于点，，则的离心率为____。
答案：。
命制新题2 双曲线的左、右焦点分别为，过且与的渐近线平行的直线与交于点，，则的离心率为____。
答案：。
4 试题推广的逆向
调换题设的条件与结论，是常见的命题手法。在教学
中，引导学生思考：“将定理1中的题设条件与结论调换，所得命题是否成立？”经验证，可得。
定理2 已知、是双曲线的左、右焦点，过且与的渐近线平行的直线与交于点，的离心率为，则。
定理2的证明类似于定理1，此处略去。
命制新题3 双曲线的左、右焦点分别为，过且与的渐近线平行的直线与交于点，若的离心率为，则_______。
答案：。
命制新题4 双曲线的左、右焦点分别为，过且与的渐近线平行的直线与交于点，若的离心率为，则_______。
答案：。
5 试题的类似与推广
原题中条件“直线平行于渐近线”等价于“”，将点改换为与的交点，可将原试题作进一步的迁移。
类似 已知、是双曲线的左、右焦点，过的直线与交于、两点，若，，则的离心率为_______。
图4
将上述试题进行推广，可得。
定理3 如图4，已知、是双曲线的左、右焦点，过的直线与交于、两点，若，，则的离心率。
证明 根据条件，点坐标满足方程，
将此方程与联立，可得点的坐标为。由得 ，则点的横坐标为，纵坐标，又因为在上，则，去分母整理得，即
，化简得，则。
命制新题5 已知、是双曲线的左、右焦点，过的直线与交于、两点，若，，则的离心率为_______。
答案：。
数学家波利亚曾说：“没有任何一道题目是彻底完成了的，总还会有些事情可以做。”在教学中，教师应有意识地培养学生的问题探究意识，挖掘问题中蕴含的方方面面，将问题进行拓展延伸、迁移类比、变式升华，以提高学生发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力，进而培养和提升学生的数学核心素养[1]。另外，这种基于探究策略的试题研究，对提升数学教师的专业素养，提高数学教师析题能力、变题能力、命题能力和教题能力也有极大的裨益。
【参考文献】
[1]郑键鸣，田艳玲.增强问题探究意识，提高数学解题能力——对一道高考题的探究、推广与反思[J].中学数学教学参考
（上旬），2020.
[2]蔡小雄.更高更妙的高中数学思想与方法[M].杭州：浙江大学出版社，2017.
【作者简介】
林彬（1968～），男，福建福清人，本科，中学一级教师。研究方向：数学教育。
【关键词】高中数学;解题;问题探究;核心素养
【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】1671-8437（2020）28-0103-03
数学教学的本质是思维过程的引导、启发。如果学生缺乏对数学问题的探究意识，仅停留在“就题论题”的层次，这既不利于其培养数学思维，也很难使他们的解题能力得到提升[1]。因此，解答数学题要从根本入手，通过研究问题的变式、优化解题的方法、拓展问题的应用、揭示问题的背景等方式，跳出“书山题海”，还要通过对解题过程的“反刍”，留住知识之“根”、方法之“根”、价值之“根”和本质之“根”[2]。
笔者以厦门市2020年3月线上质检理科数学第11题为例，引导学生挖掘试题的内涵，从试题探源、解法探究、试题推广、推广逆向、类似试题、试题的再命制等角度开展多层次、多角度、多方位的探究，以达到让学生在训练中发展思维的灵活性，提升问题探究能力，培养数学核心素养的目的。
试题再现 已知、是双曲线的左、右焦点，过且与的渐近线平行的直线与交于点，，则的离心率为（ ）。
A. B.
C. D.
1 試题探源
图1
（2019年全国卷Ⅰ理科数学第16题）如图1，已知双曲线 的左、右焦点分别为，过的直线与的两条渐近线分别交于两点。若，，则的离心率为_______。
通过对比可以发现，原试题与2019年全国卷Ⅰ理科数学第16题极其相似，惟一差别在于原试题中点在双曲线上，真题中的中点在双曲线的渐近线上。
评注 通过对高考真题进行适当的变式，实现问题迁移，不失为跳出“题海”的一个行之有效的方法。
2 解法探究
破解圆锥曲线问题常需要借助题目所涉及图形的几何性质。从“几何角度”入手，利用平面几何知识，可以更简便地剖析出问题本质。另外，以坐标系为桥梁，将几何问题转化成代数问题，从“代数角度”入手，通过坐标运算研究几何性质，也是常见的破题之策。
图2
解法一（几何法）：如图2，由于直线平行于渐近线，可得，即，根据双
曲线定理得，由此可解得
，。在中，根据勾股定理
得，化简得，，，离心率。
解法二（代数法）：由直线平行于渐近线可得，直线方程为，因为，
所以直线的方程为。联立
与，求解得点坐标为，将其代入，得，从而，化简得，离心率。
评注 解法一充分利用了双曲线的定义，使得问题求解的运算过程得到简化。解法二求解思路较为直接，易于理解，但运算量稍大。类似于解法二，还可通过联立直线与方程求出点坐标，再代入方程中得到与关系式;或在得到点坐标后，利用，建立与关系式;或联立直线、方程求出点坐标，再代入，得到与关系式。
3 试题推广
图3
在试题评讲过程中，引导学生将试题题设条件一般化，通过生生互动、师生互动，得到如下试题推广。
定理1 如图3，已知、是双曲线的左、右焦点，过且与的渐近线平行的直线与交于点，，则。
评注 原题中的条件“”等价于“”，令定理1中即可得原试题，故定理1是原试题的推广。
证明 直线的方程为，将其与联立，求得点的坐标为，则，，
，
从而，得，
，。
命制新题1 双曲线的左、右焦点分别为，过且与的渐近线平行的直线与交于点，，则的离心率为____。
答案：。
命制新题2 双曲线的左、右焦点分别为，过且与的渐近线平行的直线与交于点，，则的离心率为____。
答案：。
4 试题推广的逆向
调换题设的条件与结论，是常见的命题手法。在教学
中，引导学生思考：“将定理1中的题设条件与结论调换，所得命题是否成立？”经验证，可得。
定理2 已知、是双曲线的左、右焦点，过且与的渐近线平行的直线与交于点，的离心率为，则。
定理2的证明类似于定理1，此处略去。
命制新题3 双曲线的左、右焦点分别为，过且与的渐近线平行的直线与交于点，若的离心率为，则_______。
答案：。
命制新题4 双曲线的左、右焦点分别为，过且与的渐近线平行的直线与交于点，若的离心率为，则_______。
答案：。
5 试题的类似与推广
原题中条件“直线平行于渐近线”等价于“”，将点改换为与的交点，可将原试题作进一步的迁移。
类似 已知、是双曲线的左、右焦点，过的直线与交于、两点，若，，则的离心率为_______。
图4
将上述试题进行推广，可得。
定理3 如图4，已知、是双曲线的左、右焦点，过的直线与交于、两点，若，，则的离心率。
证明 根据条件，点坐标满足方程，
将此方程与联立，可得点的坐标为。由得 ，则点的横坐标为，纵坐标，又因为在上，则，去分母整理得，即
，化简得，则。
命制新题5 已知、是双曲线的左、右焦点，过的直线与交于、两点，若，，则的离心率为_______。
答案：。
数学家波利亚曾说：“没有任何一道题目是彻底完成了的，总还会有些事情可以做。”在教学中，教师应有意识地培养学生的问题探究意识，挖掘问题中蕴含的方方面面，将问题进行拓展延伸、迁移类比、变式升华，以提高学生发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力，进而培养和提升学生的数学核心素养[1]。另外，这种基于探究策略的试题研究，对提升数学教师的专业素养，提高数学教师析题能力、变题能力、命题能力和教题能力也有极大的裨益。
【参考文献】
[1]郑键鸣，田艳玲.增强问题探究意识，提高数学解题能力——对一道高考题的探究、推广与反思[J].中学数学教学参考
（上旬），2020.
[2]蔡小雄.更高更妙的高中数学思想与方法[M].杭州：浙江大学出版社，2017.
【作者简介】
林彬（1968～），男，福建福清人，本科，中学一级教师。研究方向：数学教育。