摘 要：课堂教学要寻找到学生的最近发展区，在学生原有的认知上，激发学生的兴趣，使之主动建构新知，这是课堂教学的重要原则。《同角三角函数的基本关系》一课知识内容简单，但是在知识应用方面，学生却一直非常困难。故在本课的设计中本人采用了一种开放式的探究教学方式，学生在本节中的表现却大大出乎我的意料之外，他们的智慧让教师惊讶。这堂课，不失为化平淡为神奇。笔者由此认识到：课堂教学要适合学生的最近发展区，继而拨动学生的思维弦，使他们产生共鸣，继而“触动，心动，行动”。
　　关键词：同角三角函数的基本关系 课堂教学 最近发展区 激发思维
　　
　　一、案例背景
　　本课是必修4《1.2.2同角三角函数的基本关系》的内容。在本节课的常规教学中发生了两个非常好的教学片段,学生讨论激烈，思维火花。
　　二、课堂情景描述及相关案例解读
　　 [片段一]以旧知带新知，触动学生头脑中“三角函数定义”的弦
　　师：在高中阶段,三角函数是以______来定义的？并请叙述定义？
　　生甲：是以单位圆的点的坐标来定义，定义是……（略）
　　师：非常好，在这个基础上我们还为这三个三角函数找到了几何表示方法，是？
　　生甲：（非常完整的叙述了三角函数线的定义）。
　　师：请大家根据定义，再画单位圆，并结合图像，思考:同一个角 α的三个不同三角函数sinα，cosα，tanα之间的有怎样的关系？
　　学生自主探究3分钟后，生乙：根据三角函数线和勾股定理，
　　ＯＭ2＋ＭＰ2＝１，得sin2α+cos2α=1。
　　师：很好，那么这里对角α有什么要求？
　　生：角α是任意角。 （教师同时在黑板上给出角 终边落在第二，第三象限时的情况）
　　师：不管α终边落在哪个象限，总是可以得到一个直角三角形所以等式始终成立，那么 有没有一条终边使得不能构成三角形的？
　　生：当终边落在坐标轴上时。
　　师：此时等式还成立吗，怎么解决？
　　生：分四种情况讨论，……（略）（让该生给出两种，剩下同理可得）。
　　师：很好，除了这条sinα，cosα的关系式，还有吗？
　　师：很好，那么这里对角α有什么要求？
　　（案例解读）这里是新知识的形成阶段了，注重了从学生已有的知识出发，触动了学生头脑中已存留的关于三角函数定义和函数线的知识这根弦， 打通了新旧知识之间的衔接点，使学生产生了去寻找新知识的心动。但是在具体的处理过程中，由于学生考虑问题不全面，不严谨会出现一些细节问题，教师通过适当的提问进行点拨，使学生自己找到问题所在，主动去解决。但是这里的提问还是需要技巧的，要使问题正好触动学生已有的敏感那几根弦，比如角 终边一旦落到坐标轴上则不能得到直角三角形。 而这个知识学生在三角函数线中是由接触过的。 也比如对商数关系，对角的限制也是前面就学过的，一问学生就可以自己解决了。 所以这个环节的教学任务完成得非常好。
　　[片段二]利用学生积极好动的性格，激活问题开放课堂，使学生去改造重组新经验
　　师：根据这两个关系式，我现在知道了 ，那么还可以求得什么？
　　生：（全班学生即在下面一起回答） 。
　　师：还有呢？
　　生：（思考了一会） 。tanα
　　师：那么知道一个三角函数还能求出另外两个来，现在请大家动手求求看。给出：
　　学生动手做2分钟后，叫一个学生回答。
　　师：对吗，我请个同学来改一下．
　　生丁：不对，应该是：或
　　师：也就是只有两种情况，那生丙这里有几种，四种情况混在一起了。答案这时候有两个是有什么决定的，（和学生一起寻找），是有求 开方得到正负两种情况决定的，那正负都要，还是只保留一个？看什么？
　　生：看α所在的象限！因为 所以 可以是第三或第四象限的角，所以两个都要。
　　师：在黑板上就着原来的板书补充分类讨论部分。
　　师：现在请同学们一起来总结求这类问题的步骤是：
　　生：先判断象限，再求值，最后就角分类讨论给出答案。（师在刚才解决的题目旁边补充写上步骤）。
　　师：刚才是知道sinα，求得另外两个，那还可以知道____，求______？请同学们也一起来编写题目，并完成这些题目。
　　生：知cosα，求sinα，tanα.或是tanα求sinα,cosα给出数据如下：
　　师：请大家在本子上求解，请同学F来黑板上做.（略）
　　学生板演，学生老师一起点评，再次总结步骤和本质。特别是指出在知正切求弦的时候采用了利用关系式构造了两个方程才解出了正弦和余弦，是解方程的思想。
　　师：在这里我们发现三个函数名中，只要知道一个的值就可以求出另外两个，是同角关系式的一个重要应用：求值（知一求二解方程）。
　　生：解法一：和平方关系Θsin2α+cos2α=1一起构造两个方程，解得cosα，sinα，再求得sinα·cosα.
　　生：解法二：不用解方程，就可以得到。
　　生：根据变式3，
　　师：总结变式3，4，同角三角函数基本关系除了可以解方程求值，也可以采用整体思想求值。
　　板书： 求值“整体思想”。
　　（案例解读）：学生在初中时已经学会简单求值，这里从学生经验出发的同时，还需思考怎样让学生的经验得到提升，这是教学的本质所在。变式1，2是让学生自己出题，看到三个量之间的互相转换，知一求二，但是还要引导学生提升到解方程的高度。这个环节由于学生自己出题，提高了积极性，从而从“心动”变成“行动”。 变式3，4则是作为对重点高中学生的知识点的提升，其中要让学生去对比两种解法，从而得到更有效率的解法。这样加深了学生对原有解方程思想的理解，认识到对具体问题还可以采用整体思想从而使得解题更有效率！相信这对学生的精神肯定是有很大的触动的，而且会潜移默化，使学生养成解题时要去寻找效率的习惯。教学的过程，就是要成为不断地激活学生经验的过程。
　　三、课后反思
　　新课程理念一直强调要提倡关注学生。要关注学生，必须关注学生最近发展区,关注学生的生活经验，在学生的最近发展区上建构新知。 但教学如果只仅仅停留在这一点上，是远远不够的。 教师必须不断追加提问，设计新的问题，激发学生研究、解决问题的热情，延续课堂的生命活力，从而对本节的教学内容有个全面深刻的认识。
　　在这节课的教学中由于注重学生思维的演变，借助合理的复习，适当的提问和例题设置，激活了学生的思维，再在同学们集体的思维火花上，提炼出新的问题，形成新的高度，拨动了学生大脑中的“弦”，使学生经历了“触动，心动，行动”的一个心理过程，变被动学习为主动学习，使课堂教学真正成为学生自己的课堂。
　　（浙江省乐清市鹤阳中学数学组 325600）