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【摘要】数形结合思想是高中常用的数学思想方法之一,它能使学生感受到数学之美妙及数形结合的直观形象,激发起学生探索的意识和创新欲望,突破思维的常规,使思路更简捷、明快.采用数形结合的思想来解决二次方程根的分布、求值域等问题更是如此,能培养学生思维的灵活性,拓宽学生的知识面.
【关键词】数形结合思想;根的分布;值域;不等式
一些数学问题,所给的是方程的根或者是函數的极值点等,若按常规思维来解,有难度,且运算过程繁杂,这时巧用数形结合,就能起到事半功倍之功效.下面就数形结合在二次方程根的分布、求值域、证明不等式中的应用举例如下.
一、在二次方程根的分布中的应用
例1设一元二次方程ax2-(3a 1)x 3=0的两根为x1,x2,且1 分析本题如果按常规解法,利用一元二次方程根的分布来解,需要考虑判别式、两根之和、两根之积的范围等问题,运算繁杂,而且要分类讨论.巧用数形结合,将方程问题转化为函数问题,观察函数图形问题便可轻松解得.
或
解设f(x)=ax2-(3a 1)x 3,因为10,af(2)<0-a2 a>0,-2a2 a<0, 解得:a12 因此,实数a的取值范围a12 解后反思:对于一元二次方程根的分布问题,当两根分布在两个区间上时只考虑区间端点的函数值与零的关系,而不考虑判别式和对称轴;当两根分布在一个区间上时应该从三方面考虑(1)考虑区间端点的函数值与零的关系;(2)考虑判别式;(3)考虑对称轴:可根据对称轴所在区间的位置写出等价式.另外当二次函数的二次项系数含有参数时,改为二次项系数乘根所在区间端点的函数值与零的关系问题,观察图像便可得出结论.
二、在求函数最值中的应用
例2已知函数f(x)=-x2 2x-3,对于任意实数t,探究f(x)在闭区间[t,t 1]上的最大(小)值.
分析本题属于二次函数中“轴定区间动”的问题.根据t的不同取值范围,数形结合,使区间[t,t 1]“处”在f(x)的不同区间上问题即可解决.
解法略.
三、在证明不等式中的应用
例3(2009年全国高考数学试卷理(Ⅰ)第22题)设函数f(x)=x3 3bx2 3cx有两个极值点x1,x2,且x1∈[-1,0],x2∈[1,2].
(Ⅰ)求b,c满足的约束条件,并在下面的坐标平面内,画出满足这些条件的点(b,c)的区域;
(Ⅱ)证明:-10≤f(x2)≤-12.
分析对于问题(Ⅰ),仍发挥数形结合的优势,便可知道导函数的两个根在区间上分布时满足的条件,b,c满足的线性约束条件轻松可得,问题便迎刃而解.
对于问题(Ⅱ),我们似乎无从下手.但仔细分析题目的条件就可知道,x2是原函数的极值点,就是导函数等于零的一个根,利用这个根满足的条件x2∈[1,2],结合问题(Ⅰ)中数形结合得到c的范围就有柳暗花明的感觉,证明的问题也一蹴而就了.
解(Ⅰ)略.
(Ⅱ)由题设知f′(x2)=3x22 6bx2 3c=0,
故bx2=-12x22-12c,
于是f(x2)=x32 3bx22 3cx2=-12x32-3c2x2.
由于x2∈[1,2],而由(Ⅰ)知c≤0,
故-4 3c≤f(x2)≤-12 32c.
又由(Ⅰ)知-2≤c≤0,
所以-10≤f(x2)≤-12,问题得证.
总之在解决函数中的问题时,采用数形结合的思想来思考会给我们带来意想不到的效果.尤其是可转化为一元二次方程根的分布问题,用数形结合更有居高临下“一览众山小”的感觉.
【参考文献】
[1]甘肃省教育科学研究所.学业质量模块测评·数学(必修1)[M].兰州:甘肃教育出版社,2011.
[2]薛金星.2009年全国及各省市高考试题全解[M].西安:陕西人民教育出版社,2009.
【关键词】数形结合思想;根的分布;值域;不等式
一些数学问题,所给的是方程的根或者是函數的极值点等,若按常规思维来解,有难度,且运算过程繁杂,这时巧用数形结合,就能起到事半功倍之功效.下面就数形结合在二次方程根的分布、求值域、证明不等式中的应用举例如下.
一、在二次方程根的分布中的应用
例1设一元二次方程ax2-(3a 1)x 3=0的两根为x1,x2,且1
或
解设f(x)=ax2-(3a 1)x 3,因为1
二、在求函数最值中的应用
例2已知函数f(x)=-x2 2x-3,对于任意实数t,探究f(x)在闭区间[t,t 1]上的最大(小)值.
分析本题属于二次函数中“轴定区间动”的问题.根据t的不同取值范围,数形结合,使区间[t,t 1]“处”在f(x)的不同区间上问题即可解决.
解法略.
三、在证明不等式中的应用
例3(2009年全国高考数学试卷理(Ⅰ)第22题)设函数f(x)=x3 3bx2 3cx有两个极值点x1,x2,且x1∈[-1,0],x2∈[1,2].
(Ⅰ)求b,c满足的约束条件,并在下面的坐标平面内,画出满足这些条件的点(b,c)的区域;
(Ⅱ)证明:-10≤f(x2)≤-12.
分析对于问题(Ⅰ),仍发挥数形结合的优势,便可知道导函数的两个根在区间上分布时满足的条件,b,c满足的线性约束条件轻松可得,问题便迎刃而解.
对于问题(Ⅱ),我们似乎无从下手.但仔细分析题目的条件就可知道,x2是原函数的极值点,就是导函数等于零的一个根,利用这个根满足的条件x2∈[1,2],结合问题(Ⅰ)中数形结合得到c的范围就有柳暗花明的感觉,证明的问题也一蹴而就了.
解(Ⅰ)略.
(Ⅱ)由题设知f′(x2)=3x22 6bx2 3c=0,
故bx2=-12x22-12c,
于是f(x2)=x32 3bx22 3cx2=-12x32-3c2x2.
由于x2∈[1,2],而由(Ⅰ)知c≤0,
故-4 3c≤f(x2)≤-12 32c.
又由(Ⅰ)知-2≤c≤0,
所以-10≤f(x2)≤-12,问题得证.
总之在解决函数中的问题时,采用数形结合的思想来思考会给我们带来意想不到的效果.尤其是可转化为一元二次方程根的分布问题,用数形结合更有居高临下“一览众山小”的感觉.
【参考文献】
[1]甘肃省教育科学研究所.学业质量模块测评·数学(必修1)[M].兰州:甘肃教育出版社,2011.
[2]薛金星.2009年全国及各省市高考试题全解[M].西安:陕西人民教育出版社,2009.