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【摘要】 本文首先阐述了数学教学中学生能熟练掌握“数学定义”的重要性,并通过《平面向量的正交分解及坐标表示》这一教学案例介绍了自己的实践过程,望批评指正。
【关键词】 新课程改革 定义 向量的坐标
【中图分类号】 G427 【文献标识码】 A 【文章编号】 1006-5962(2012)04(b)-0113-01
数学是一门逻辑性强而且十分严密的学科,任何一个数学定理、命题或者公式都是通过严格的论证得出的。而这些论证的依据便是数学中最原始、也是最根本的东西——定义。在数学知识体系的建立、以及数学研究过程中,都讲究“一切从定义出发”。
然而,目前的教育、选拔体制之下,学生在学习数学的过程中更注重的定理、公式等的应用,把主要精力放在如何提高解题速度之上,却忽视甚至无视数学概念性,在接受新知识的时候,并不理会它的定义如何,而是盲目的解题,以为只要多做题就一定能学好数学。首先,概念都没搞清就去解题,无异于让刚学会爬的婴儿去跑步,耗时费力,效果差,效率低。其次,学生不能从根本上理解数学,就无法体会数学体系的科学性以及数学中的美,更何谈对数学产生兴趣。数学知识是相互联系的,一个新知识点的出现往往有一些“前奏”,每一个环节都要掌握得十分透彻,才更有利于新知识的学习。以下将以《平面向量的正交分解及坐标表示》一课的教学过程为例,谈谈笔者对如何引导学生掌握定义,并从定义出发解决问题。《平面向量的正交分解及坐标表示》这一节是在平面向量基本定理的基础上展开的,因此,在展开新课之前,教师有必要带领学生简单回顾一下该定理的内容及应用,并在“应用”的过程中提出新问题,激发学生的兴趣,以分析问题的方式引入新知识,掌握了新的数学工具之后解决问题。
教学过程:
1、复习引入,提出问题。
师:上节课我们研究了平面向量基本定理,它的内容是什么？
生:如果是同一平面内两不共线的非零向量,那么对于这一平面内的任意向量,有且仅有一对实数,使得
师:这个定理的意义何在？
生:它告诉我们,给定平面中两不共线的向量,平面内任一向量都可以在这两个方向上进行唯一分解,表示在方向上的分解系数
师:非常好！如图为向量在方向上的分解（几何画板给出图形及数量关系）其中,,,发现向量在方向上分别对应着唯一的有序实数对（2,2）,(3,3)。回忆平面直角坐标系中点的坐标的定义:点A在x轴、y轴对应的实数为x,y,则定义序实数对（x,y）为点A的坐标。类比于此,可否将（2,2）、（3,3）视为向量相对于基底的坐标？（提炼相似点,从学生熟知的概念入手引入新知识）
师:对于以上向量,如果基底改变（大小、方向）,两向量的“坐标”是否会发生改变？（几何画板演示:改变基底,观察“坐标”的变化）
生:向量的坐标随着基底的改变而改变！
师:既然如此,我们是否可以找到一组较好、较简单的基底将向量分解,以至于更容易确定向量的坐标？请各小组针对这个问题进行讨论。（提出问题）
讨论结果:
一组:时,是比较好的基底,将平面内任一向量在方向上分解后,能够利用直角三角形的性质及三角函数关系确定向量相对于的坐标;
二组:,且时,是更好的基底,不仅能利用直角三角形的关系确定向量的坐标,而且,恰为在方向上分向量的模长
．．．．．．
（在此过程中,教师要求学生用分解图形说明各自选择基底的理由）
师:很好！一组、二组的同学告诉我们,可以选一组相互垂直的基底将平面上的向量分解,我们把这种分解称为正交分解。正交分解在物理中有着很重要的意义（学生自学教材95页力的分解）。
2、自主学习、阐明定义;比较异同,强化定义
师:二组的同学告诉我们当这两个相互垂直的基底为单位向量时,将更容易写出向量的坐标,这正是教材中给出的一种方法,将向量放到平面直角坐标系中,给向量赋了坐标。那么,平面直角坐标系中向量的坐标究竟怎样定义？请大家自学95页“思考”下边的文字,然后回答下列问题:
（1）怎样选取的基底？
（2）怎样定义向量的坐标？
（3）向量坐标的几何意义是什么？
（4）向量的坐标与点的坐标有何本质区别？
生:（仔细认真研读教材后）
（1）基底别为轴、轴正方向上的单位向量。
（2）向量坐标的定义为:若,则称有序实数对为向量的坐标记,称为在轴上的坐标,称为在轴上的坐标。
（3）向量坐标的意义是:向量的坐标为它在方向上分解后对应的一对系数
（4）向量的坐标与点的坐标本质区别:点的坐标表示它在坐标系中的位置,向量的坐标表示它在方向的分解程度
师:回答得非常好！下面我们根据向量坐标的定义,求一组向量的坐标。
3、从定义出发分析问题、解决问题
（教师板书课本96页例2的题目,请学生思考后,个别提问。提问后,教师先板书示范其中一个向量坐标的求法及解题步骤,其余的留给学生自主完成。在充分的理解了向量坐标的含义后,学生将很容易完成此任务）
4、提高层次,深化定义
（本环节中教师给出关于向量坐标表示的不同层次的题目,以更好的掌握新知识,提高能力）
课堂小结:
本节主要任务是,在平面向量基本定理的基础上,理解向量坐标的定义,并会根据其定义求向量的坐标。
【关键词】 新课程改革 定义 向量的坐标
【中图分类号】 G427 【文献标识码】 A 【文章编号】 1006-5962(2012)04(b)-0113-01
数学是一门逻辑性强而且十分严密的学科,任何一个数学定理、命题或者公式都是通过严格的论证得出的。而这些论证的依据便是数学中最原始、也是最根本的东西——定义。在数学知识体系的建立、以及数学研究过程中,都讲究“一切从定义出发”。
然而,目前的教育、选拔体制之下,学生在学习数学的过程中更注重的定理、公式等的应用,把主要精力放在如何提高解题速度之上,却忽视甚至无视数学概念性,在接受新知识的时候,并不理会它的定义如何,而是盲目的解题,以为只要多做题就一定能学好数学。首先,概念都没搞清就去解题,无异于让刚学会爬的婴儿去跑步,耗时费力,效果差,效率低。其次,学生不能从根本上理解数学,就无法体会数学体系的科学性以及数学中的美,更何谈对数学产生兴趣。数学知识是相互联系的,一个新知识点的出现往往有一些“前奏”,每一个环节都要掌握得十分透彻,才更有利于新知识的学习。以下将以《平面向量的正交分解及坐标表示》一课的教学过程为例,谈谈笔者对如何引导学生掌握定义,并从定义出发解决问题。《平面向量的正交分解及坐标表示》这一节是在平面向量基本定理的基础上展开的,因此,在展开新课之前,教师有必要带领学生简单回顾一下该定理的内容及应用,并在“应用”的过程中提出新问题,激发学生的兴趣,以分析问题的方式引入新知识,掌握了新的数学工具之后解决问题。
教学过程:
1、复习引入,提出问题。
师:上节课我们研究了平面向量基本定理,它的内容是什么？
生:如果是同一平面内两不共线的非零向量,那么对于这一平面内的任意向量,有且仅有一对实数,使得
师:这个定理的意义何在？
生:它告诉我们,给定平面中两不共线的向量,平面内任一向量都可以在这两个方向上进行唯一分解,表示在方向上的分解系数
师:非常好！如图为向量在方向上的分解（几何画板给出图形及数量关系）其中,,,发现向量在方向上分别对应着唯一的有序实数对（2,2）,(3,3)。回忆平面直角坐标系中点的坐标的定义:点A在x轴、y轴对应的实数为x,y,则定义序实数对（x,y）为点A的坐标。类比于此,可否将（2,2）、（3,3）视为向量相对于基底的坐标？（提炼相似点,从学生熟知的概念入手引入新知识）
师:对于以上向量,如果基底改变（大小、方向）,两向量的“坐标”是否会发生改变？（几何画板演示:改变基底,观察“坐标”的变化）
生:向量的坐标随着基底的改变而改变！
师:既然如此,我们是否可以找到一组较好、较简单的基底将向量分解,以至于更容易确定向量的坐标？请各小组针对这个问题进行讨论。（提出问题）
讨论结果:
一组:时,是比较好的基底,将平面内任一向量在方向上分解后,能够利用直角三角形的性质及三角函数关系确定向量相对于的坐标;
二组:,且时,是更好的基底,不仅能利用直角三角形的关系确定向量的坐标,而且,恰为在方向上分向量的模长
．．．．．．
（在此过程中,教师要求学生用分解图形说明各自选择基底的理由）
师:很好！一组、二组的同学告诉我们,可以选一组相互垂直的基底将平面上的向量分解,我们把这种分解称为正交分解。正交分解在物理中有着很重要的意义（学生自学教材95页力的分解）。
2、自主学习、阐明定义;比较异同,强化定义
师:二组的同学告诉我们当这两个相互垂直的基底为单位向量时,将更容易写出向量的坐标,这正是教材中给出的一种方法,将向量放到平面直角坐标系中,给向量赋了坐标。那么,平面直角坐标系中向量的坐标究竟怎样定义？请大家自学95页“思考”下边的文字,然后回答下列问题:
（1）怎样选取的基底？
（2）怎样定义向量的坐标？
（3）向量坐标的几何意义是什么？
（4）向量的坐标与点的坐标有何本质区别？
生:（仔细认真研读教材后）
（1）基底别为轴、轴正方向上的单位向量。
（2）向量坐标的定义为:若,则称有序实数对为向量的坐标记,称为在轴上的坐标,称为在轴上的坐标。
（3）向量坐标的意义是:向量的坐标为它在方向上分解后对应的一对系数
（4）向量的坐标与点的坐标本质区别:点的坐标表示它在坐标系中的位置,向量的坐标表示它在方向的分解程度
师:回答得非常好！下面我们根据向量坐标的定义,求一组向量的坐标。
3、从定义出发分析问题、解决问题
（教师板书课本96页例2的题目,请学生思考后,个别提问。提问后,教师先板书示范其中一个向量坐标的求法及解题步骤,其余的留给学生自主完成。在充分的理解了向量坐标的含义后,学生将很容易完成此任务）
4、提高层次,深化定义
（本环节中教师给出关于向量坐标表示的不同层次的题目,以更好的掌握新知识,提高能力）
课堂小结:
本节主要任务是,在平面向量基本定理的基础上,理解向量坐标的定义,并会根据其定义求向量的坐标。