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【摘要】：本文拟通过目前普通中学普遍存在重数学知识的传授，而轻数学能力培养的现状，分析探讨运用类比和提高学生想象力对培养学生数学创造性思维能力的作用。
【关键词】：类比；想象；创造性思维；中学数学
1引言
素质教育已提出多年，中学数学教材也进行了改革。从传统教材只是介绍数学思维的结果，很少揭露思维的过程与方法，到现在教材加强了实验、归纳、类比、发现的方法，比较重视介绍思维的过程，这有利于数学思维的培养。但由于数学教学在很大程度上仍然被看作是提高升学率的手段，于是教师在课堂上仍然比较重视对知识的传授，把学生作为装知识的容器，而忽视尽量多激励学生思考，学生的学习是被动的，好像成了一部记忆的机器，不需要提出太多的为什么。
著名美藉华人学者杨振宁博士在比较中国留学生和外国留学生有哪些不同时曾指出：“在国外，中国留学生学习成绩都非常出色，同样一类题目，中国学生在中学已经做过成百上千遍，而外国学生才只知道一些皮毛，但中国学生胆子小，老师没讲过的不敢想，老师没做过的不敢做。”杨教授指出的这种现象带有一定的普遍性。这说明我们的学生长于求同思维，而短于求异思维，也就是缺乏创造性思维。
如何培养学生数学创造性思维呢？这是初等教育工作者面临的重要课题，也是数学教育追求的目标和时代发展的要求。
2 创造性思维的含义和本质
创造性思维就是大脑皮层区域不断恢复联系和形成联系的过程。它在很大程度上是以直观、猜想和想象为基础而进行的一种心智活动。它的本质是多种思维的综合表现，是人类思维的高级形式，这种思维不仅能揭露客观事物的本质及其内部联系，而且能在此基础上产生新颖的，独特的思维成果。
3 类比对培养学生数学创造性思维能力的作用
著名数学家波利亚说过：“类比是伟大的引路人。”所谓类比就是通过两个（或两类）不同对象，找出他们在某一方面的类似点，并考虑到它们在其它方面的差异，根据这些类似，推出另一个对象也有这些相同或类似属性的思维形式。它有以下特点：（1）类比是人们从已经掌握的事物的属性，推测正在研究中的事物的属性，它以旧有认识作基础，类比出新的结果。（2）类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性。（3）类比的结果是猜测性的，不一定可靠，但它却具有发现的功能。
3.1通过类比，有助于学生形成良好的认知结构
学习数学法则、性质和公式等，仅知它们的内涵和使用范围还不够，还应掌握它们之间的联系，不然的话，所学的知识在头脑中彼此毫无联系，就不能灵活运用这些知识。通过类比，可对彼此孤立的认识进行整理，发现它们的内在关系，使它们便于記忆和融会贯通，有助于在头脑中形成良好的知识链。因此教学时，要充分利用类比的方法，把知识联系起来研究。如类比分数的概念、性质和运算研究分式的概念、性质和运算；类比同底数幂乘法法则推导的方法研究幂的乘方法则和积的乘方法则；类比全等三角形的性质、判定定理研究相似三角形的性质、判定定理；类比平面几何中线与线的关系来研究立体几何中面与面的关系等等。这样能更好地理解新旧知识的区别与联系，加深理解的效果。
3.2通过类比，引起联想，促进创造性思维能力的发展
联想就是由一事物想起另一有关事物。联想的思维基础是类比。联想能使知识向更广阔的领域迁移、拓展，能激发学生学习兴趣，是培养学生创造性思维能力的有效途径之一。
例1： 求 的值
本题常规解法较多，但通过观察其结构特征，发现该题结构跟余弦定理的形式很类似，可将原式表示为：
原式= 结合正弦定理，在直径为1的圆内构造一个如图所示的
再由余弦定理得：
即：
∴原式=
显然在解题中根据原式的结构特征类比余弦定理的形式，引起联想，从而巧妙构造出 ，实施了命题的变更，顺利完成解题。
例2：设 求证：
此题是不等式的证明题，解法有很多种，但仔细观察后发现式子 的结构与点到直线的距离公式很类似，于是由式子 联想到解析几何中点到直线的距离，而由式子 联想到圆的方程，因此就有用直角坐标系中解决问题的办法。
解：设在直角坐标系中有一圆： ， 有一过原点的直线 ，点 是圆上的点，则显然：
就有
即
可以看出，运用类比的方法，展开丰富的联想，产生迁移，形成新的观点，使原有的知识结构得到补充。改造并逐步完善开阔学生的知识领域提高思维的创造性。
3.3 运用类比指导学生猜想，促进学生创造性思维能力的发展
类比是一种从特殊到特殊的推理。教学时可以指导学生找出两类对象之间可以确切表述的相似性，然后用一类对象的性质去推测另一类对象的性质，从而得出猜想。比如，学习等比数列时，可以指导学生类比等差数列的性质先猜想等比数列的性质，然后再论证。又如，在直角三角形中，有两条直角边的平方和等于斜边的平方。由此指导学生类比猜想：三个两两垂直相邻面的四体中，三个两两垂直相邻面的平方和是否等于第四个面的平方呢？可以证明，这个结论是正确的。
4 想象对培养学生数学创造性思维能力的作用
普通心理学中解释道：想象是人在头脑里对已储存的表象进行加工改造形成新形象的心理过程，也就是人们将过去经验中已形成的一些暂时联系进行新的结合。它是人类特有的对客观世界的一种反映形式，它能突破时间和空间的束缚。
4.1 想象是理解和掌握数学知识必不可少的条件
数学是一门相对比较抽象的学科。想象能把数学语言所表达的空间形式在头脑中或者图像上复现出来。如果没有想象，就很难理解点、线、面这类原始概念，当然更谈不上形成空间想象力。离开了想象，数学学习将苍白无力，困难异常。列宁说过：“以为只有诗人才需要想象这是没有道理的，这是愚蠢的偏见，甚至在数学上也是需要想象，甚至微积分的发现没有想象也是不可能的。” 4.2想象是数学猜想的一个重要来源
想象是思维的翅膀，它不满足像记忆那样只再现过去的知识，而是人脑对已有感知材料经过加工改造后进一步深化的知识，它甚至可以不依据现成的描述而独立创造出新的形象。在研究数学问题时，通过丰富的想象得出合理的猜想，它省去了一步一步分析推理的中间环节，而采取了“跳跃式”的思维形式，往往能缩短解决问题的时间，获得数学发现的机会。使学生的创造性思维能力得到有效的培养。
5提高学生的想象力，是培养学生数学创造性思维的关键
想象力是人的智力结构中的一个重要成分，是以客观信息为基础，在大脑中塑造出来的一种超越现实的思维能力。它的实质是沉积在大脑深处的信息被激活，被调动起来，重新进行编码组合，得到一种超越现实的结果。想象力能使现实中没有的事物和信号通过想象勾划出来帮助完成思维的跨越。爱因斯坦说：“想象比知识更重要，因为知识是有限的，而想象力概括着世界上的一切，推动着进步，并且是知识进化的源泉。”
创造性思维一般是运用已有的知识和经验，通过有意识的想象产生以前尚不存在的事物，因而想象是创造心理的起点和必经的过程。数学教师应注意提高学生的想象力，它是培养学生创造性思维能力的关键。那么如何提高学生的想象力呢？
5.1要创造培养想象力的土壤
教学活动中，教师须克服过多地发挥主导作用，而使大多数学生成了观众、听众的旧式教学模式。而应尊重学生的爱好、个性和人格，以平等、宽容、友善的态度对待学生，形成一种宽松和谐的教育环境，使学生真正成为学习的主人。只有这样学生才敢畅所欲言，各抒己见，敢于发表独立的见解，大胆想象，大胆质疑。
5.2要有扎实的基础知识和丰富的经验
想象是一种特殊的思维活动，它不同于胡思乱想，而是客观现实在人脑中的一种反映，是一种知识飞跃性的联想。因而要有扎实的基础知识和丰富的经验支持。如一个建筑设计师能够设计出未曾建造过的建筑物，主要是由于建筑师不仅要具有丰富的建筑物感性认识，而且还要具有建筑物的理性认识。
5.3要引导学生想象
教学中应根据教材潜在因素，创设想象的情境，提供想象的材料，诱发学生想象。
（1）讲授新课时，不要把全部内容和盘托出，而是有意识地制造一定的空白地带和悬念，让学生去想象。
（2）讲解习题时，引导学生想象。如：在直线 同侧有 两点，在直线 上找一点 ，使它对 两点的张角最大。可以这样引导学生想象：假设动点 在直线 上从左向右渐渐移动，并随时观察张角 的变化，可以发现，开始时张角极小，随着 点的右移，张角逐渐增大，当接近某一点时，张角又逐渐变小，于是初步猜想：一定存在一点 ，它对 两点张角最大，再结合圆周角的知识，便可得：过 两点作圆与直线 相切，切点 即为所求。通过这样引导，学生想象的动机被有效激发出来，创造性思维得到较好的培养。
5.4应加强对学生进行实物的观察、解剖、分析或作图，实地测量，设计和制作模型的训练。
总之，以“升学率”为教育目标的应试教育，使得教师和学生都处于高度緊张的机械的知识传授中，很难形成创新的意识，这些严重阻碍了学生创造性思维能力的培养。要明确数学教育的目的不只是让学生掌握一些数学的知识，更重要的是要培养数学的能力，特别是数学创造性思维能力。而培养数学创造性思维能力不是一朝一夕的事情，要循序渐进，踏踏实实的训练。数学教师应在教学中创设一种自由思考的课堂教学氛围，给学生思维提供漫游的空间，进而产生创造的欲望。
参考文献：
[1]十三院校协编组编.中学数学教材教法[M].北京：高等教育出版社
[2]韩振卿.培养发散思维能力初探[J].福建中学教学
[3]林向东.在数学教学中培养学生良好的思维品质[J].福建中学教学
【关键词】：类比；想象；创造性思维；中学数学
1引言
素质教育已提出多年，中学数学教材也进行了改革。从传统教材只是介绍数学思维的结果，很少揭露思维的过程与方法，到现在教材加强了实验、归纳、类比、发现的方法，比较重视介绍思维的过程，这有利于数学思维的培养。但由于数学教学在很大程度上仍然被看作是提高升学率的手段，于是教师在课堂上仍然比较重视对知识的传授，把学生作为装知识的容器，而忽视尽量多激励学生思考，学生的学习是被动的，好像成了一部记忆的机器，不需要提出太多的为什么。
著名美藉华人学者杨振宁博士在比较中国留学生和外国留学生有哪些不同时曾指出：“在国外，中国留学生学习成绩都非常出色，同样一类题目，中国学生在中学已经做过成百上千遍，而外国学生才只知道一些皮毛，但中国学生胆子小，老师没讲过的不敢想，老师没做过的不敢做。”杨教授指出的这种现象带有一定的普遍性。这说明我们的学生长于求同思维，而短于求异思维，也就是缺乏创造性思维。
如何培养学生数学创造性思维呢？这是初等教育工作者面临的重要课题，也是数学教育追求的目标和时代发展的要求。
2 创造性思维的含义和本质
创造性思维就是大脑皮层区域不断恢复联系和形成联系的过程。它在很大程度上是以直观、猜想和想象为基础而进行的一种心智活动。它的本质是多种思维的综合表现，是人类思维的高级形式，这种思维不仅能揭露客观事物的本质及其内部联系，而且能在此基础上产生新颖的，独特的思维成果。
3 类比对培养学生数学创造性思维能力的作用
著名数学家波利亚说过：“类比是伟大的引路人。”所谓类比就是通过两个（或两类）不同对象，找出他们在某一方面的类似点，并考虑到它们在其它方面的差异，根据这些类似，推出另一个对象也有这些相同或类似属性的思维形式。它有以下特点：（1）类比是人们从已经掌握的事物的属性，推测正在研究中的事物的属性，它以旧有认识作基础，类比出新的结果。（2）类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性。（3）类比的结果是猜测性的，不一定可靠，但它却具有发现的功能。
3.1通过类比，有助于学生形成良好的认知结构
学习数学法则、性质和公式等，仅知它们的内涵和使用范围还不够，还应掌握它们之间的联系，不然的话，所学的知识在头脑中彼此毫无联系，就不能灵活运用这些知识。通过类比，可对彼此孤立的认识进行整理，发现它们的内在关系，使它们便于記忆和融会贯通，有助于在头脑中形成良好的知识链。因此教学时，要充分利用类比的方法，把知识联系起来研究。如类比分数的概念、性质和运算研究分式的概念、性质和运算；类比同底数幂乘法法则推导的方法研究幂的乘方法则和积的乘方法则；类比全等三角形的性质、判定定理研究相似三角形的性质、判定定理；类比平面几何中线与线的关系来研究立体几何中面与面的关系等等。这样能更好地理解新旧知识的区别与联系，加深理解的效果。
3.2通过类比，引起联想，促进创造性思维能力的发展
联想就是由一事物想起另一有关事物。联想的思维基础是类比。联想能使知识向更广阔的领域迁移、拓展，能激发学生学习兴趣，是培养学生创造性思维能力的有效途径之一。
例1： 求 的值
本题常规解法较多，但通过观察其结构特征，发现该题结构跟余弦定理的形式很类似，可将原式表示为：
原式= 结合正弦定理，在直径为1的圆内构造一个如图所示的
再由余弦定理得：
即：
∴原式=
显然在解题中根据原式的结构特征类比余弦定理的形式，引起联想，从而巧妙构造出 ，实施了命题的变更，顺利完成解题。
例2：设 求证：
此题是不等式的证明题，解法有很多种，但仔细观察后发现式子 的结构与点到直线的距离公式很类似，于是由式子 联想到解析几何中点到直线的距离，而由式子 联想到圆的方程，因此就有用直角坐标系中解决问题的办法。
解：设在直角坐标系中有一圆： ， 有一过原点的直线 ，点 是圆上的点，则显然：
就有
即
可以看出，运用类比的方法，展开丰富的联想，产生迁移，形成新的观点，使原有的知识结构得到补充。改造并逐步完善开阔学生的知识领域提高思维的创造性。
3.3 运用类比指导学生猜想，促进学生创造性思维能力的发展
类比是一种从特殊到特殊的推理。教学时可以指导学生找出两类对象之间可以确切表述的相似性，然后用一类对象的性质去推测另一类对象的性质，从而得出猜想。比如，学习等比数列时，可以指导学生类比等差数列的性质先猜想等比数列的性质，然后再论证。又如，在直角三角形中，有两条直角边的平方和等于斜边的平方。由此指导学生类比猜想：三个两两垂直相邻面的四体中，三个两两垂直相邻面的平方和是否等于第四个面的平方呢？可以证明，这个结论是正确的。
4 想象对培养学生数学创造性思维能力的作用
普通心理学中解释道：想象是人在头脑里对已储存的表象进行加工改造形成新形象的心理过程，也就是人们将过去经验中已形成的一些暂时联系进行新的结合。它是人类特有的对客观世界的一种反映形式，它能突破时间和空间的束缚。
4.1 想象是理解和掌握数学知识必不可少的条件
数学是一门相对比较抽象的学科。想象能把数学语言所表达的空间形式在头脑中或者图像上复现出来。如果没有想象，就很难理解点、线、面这类原始概念，当然更谈不上形成空间想象力。离开了想象，数学学习将苍白无力，困难异常。列宁说过：“以为只有诗人才需要想象这是没有道理的，这是愚蠢的偏见，甚至在数学上也是需要想象，甚至微积分的发现没有想象也是不可能的。” 4.2想象是数学猜想的一个重要来源
想象是思维的翅膀，它不满足像记忆那样只再现过去的知识，而是人脑对已有感知材料经过加工改造后进一步深化的知识，它甚至可以不依据现成的描述而独立创造出新的形象。在研究数学问题时，通过丰富的想象得出合理的猜想，它省去了一步一步分析推理的中间环节，而采取了“跳跃式”的思维形式，往往能缩短解决问题的时间，获得数学发现的机会。使学生的创造性思维能力得到有效的培养。
5提高学生的想象力，是培养学生数学创造性思维的关键
想象力是人的智力结构中的一个重要成分，是以客观信息为基础，在大脑中塑造出来的一种超越现实的思维能力。它的实质是沉积在大脑深处的信息被激活，被调动起来，重新进行编码组合，得到一种超越现实的结果。想象力能使现实中没有的事物和信号通过想象勾划出来帮助完成思维的跨越。爱因斯坦说：“想象比知识更重要，因为知识是有限的，而想象力概括着世界上的一切，推动着进步，并且是知识进化的源泉。”
创造性思维一般是运用已有的知识和经验，通过有意识的想象产生以前尚不存在的事物，因而想象是创造心理的起点和必经的过程。数学教师应注意提高学生的想象力，它是培养学生创造性思维能力的关键。那么如何提高学生的想象力呢？
5.1要创造培养想象力的土壤
教学活动中，教师须克服过多地发挥主导作用，而使大多数学生成了观众、听众的旧式教学模式。而应尊重学生的爱好、个性和人格，以平等、宽容、友善的态度对待学生，形成一种宽松和谐的教育环境，使学生真正成为学习的主人。只有这样学生才敢畅所欲言，各抒己见，敢于发表独立的见解，大胆想象，大胆质疑。
5.2要有扎实的基础知识和丰富的经验
想象是一种特殊的思维活动，它不同于胡思乱想，而是客观现实在人脑中的一种反映，是一种知识飞跃性的联想。因而要有扎实的基础知识和丰富的经验支持。如一个建筑设计师能够设计出未曾建造过的建筑物，主要是由于建筑师不仅要具有丰富的建筑物感性认识，而且还要具有建筑物的理性认识。
5.3要引导学生想象
教学中应根据教材潜在因素，创设想象的情境，提供想象的材料，诱发学生想象。
（1）讲授新课时，不要把全部内容和盘托出，而是有意识地制造一定的空白地带和悬念，让学生去想象。
（2）讲解习题时，引导学生想象。如：在直线 同侧有 两点，在直线 上找一点 ，使它对 两点的张角最大。可以这样引导学生想象：假设动点 在直线 上从左向右渐渐移动，并随时观察张角 的变化，可以发现，开始时张角极小，随着 点的右移，张角逐渐增大，当接近某一点时，张角又逐渐变小，于是初步猜想：一定存在一点 ，它对 两点张角最大，再结合圆周角的知识，便可得：过 两点作圆与直线 相切，切点 即为所求。通过这样引导，学生想象的动机被有效激发出来，创造性思维得到较好的培养。
5.4应加强对学生进行实物的观察、解剖、分析或作图，实地测量，设计和制作模型的训练。
总之，以“升学率”为教育目标的应试教育，使得教师和学生都处于高度緊张的机械的知识传授中，很难形成创新的意识，这些严重阻碍了学生创造性思维能力的培养。要明确数学教育的目的不只是让学生掌握一些数学的知识，更重要的是要培养数学的能力，特别是数学创造性思维能力。而培养数学创造性思维能力不是一朝一夕的事情，要循序渐进，踏踏实实的训练。数学教师应在教学中创设一种自由思考的课堂教学氛围，给学生思维提供漫游的空间，进而产生创造的欲望。
参考文献：
[1]十三院校协编组编.中学数学教材教法[M].北京：高等教育出版社
[2]韩振卿.培养发散思维能力初探[J].福建中学教学
[3]林向东.在数学教学中培养学生良好的思维品质[J].福建中学教学