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[摘要]在高等数学教学中，不少问题可以培养学生的求异思维能力。求异思维能力的培养，有利于克服学生的思维定势，可锻炼他们的创新能力，帮助其开拓新的知识领域。
[关键词]求异思维 思维定势 创新
一、引言
时代的发展对现代教育提出了新的内涵和要求，把受教育者培养成基础扎实、具有科学思维方式，具有创新意识和应用能力的高素质人才迫在眉睫。作为大一新生刚入学所面临的一门基础课程----高等数学，在现代教育中，又被赋予了新的内涵。从事高等数学教学者应尽快从应试教育中走出来，改变教学理念，挖掘高等数学所蕴含的思想方法，为培养学生的创造性思维能力，提高学生分析和解决实际问题的能力而努力。
求异思维即发散思维，是人们重要的一种思维方式。它是指大脑在思维时呈现的一种扩散状态的思维模式，它表现为思维视野广阔，思维呈现出多维发散状。不少心理学家认为，求异思维是创造性思维的最主要的特点，是测定创造力的主要标志之一。
在高等数学教学中，不少内容都可以用来培养学生的求异思维能力。例如，对于考虑的问题，常可考虑使用间接方法、逆推、研究逆（否）命题、研究问题的反面等，即从常规思路的相反方向去思考问题，进行探索，寻找新方法。有意识的培养学生的求异思维，有利于克服思维定势的保守性，常常可帮助学生寻求新的思路、新的方法，开拓新的知识领域。以下我们将从几个典型例题来说明这一问题。
2、典型例题
例1 计算 。
分析：本题属于高等数学中不定积分的计算方法----分部积分法中的一道典型例题。几乎所有的教学者在课堂教学时都会选择此例题。在以往教学中，仅仅作为一道普通例题讲授，能反映分部积分公式的应用，就认为达到了教学目的。实际上，只让学生掌握课本中的解法是绝对不够的，也与数学教育的要求不相符。考虑到求导数与求不定积分为互逆运算，我们结合函数的求导方法，给出下列新的思路与方法。
解 因为
对（1）、（2）两边分别积分，得
由（3）、（4）得
例2 求密度为ρ（x，y，z）=x2+y2+z2，Σ为介于平面z=0，z=H之间的圆柱面x2+y2=R2的质量M。
分析：这是一道第一型曲面积分的典型应用。由第一型曲面积分的物理意义，将问题的解决转化为求相应的第一型曲面积分。其次，使用第一型曲面积分一般的计算方法-----一投二代三换，将其转换为二重积分计算。但是由于被积函数以及积分元素比较复杂，从而计算过程较繁琐。下面考虑间接方法，通过选取合适的积分元素，可以极大地简化计算过程，提高学生寻求简单办法解决问题的兴趣，锻炼他们解决问题的能力。
解 由第一型曲面积分的物理意义，得
为了计算上述积分，取典型小区间[z，z+△Z]上的圆柱面，面积元素ds=2πRdz，则曲面积分可以转化为定积分的计算，即
例3 求曲线 在点（1，1，1）处的切线与法平面。
分析：要求空间曲线在定点处的切线以及法平面，关键是求出曲线的切向量。当空间曲线以一般式给出时，曲线的切向量为T=（1，y`（x），z`（x）），而y`（x），z`（x）要通过解方程组得到，计算过程比较繁琐。注意到定点处的切向量与两面的法向量都垂直，我们可取两者的叉积为曲线的切向量。这种解法不仅简化了计算过程，而且锻炼了学生的空间思维能力。
解 点（1，1，1）处两曲面的法向量为
所求切线的方向向量可取为 。
所以，在点（1，1，1）处的切线为
法平面为16（x-1）+9（y-1）-（z-1）=0
三、小结
在高等数学中，对于不同问题，一般有其解决的基本方法。但是，對于新时代的受教育者来说，掌握基本计算方法是不够的。只有对问题进行反复思考、多方位考虑，挖掘出不同于基本方法的解决思路，将有利于培养学生的创新性思维，提高他们分析、解决问题的能力。
体现这种求异思维的内容还很多。例如，定积分的定义是一种特定和式的极限。利用定义的可逆性，反过来，我们在求某些类型的极限时，可以转化为定积分来计算。又如，定积分的几何意义是几何中一个平面图形的面积，反过来，如果平面图形面积已知，我们可以通过它来求某些特定类型的定积分。这就是我们通常所说的“出奇”才能‘“制胜”。所以，在高等数学的教学过程中，教师应当结合已学知识，引导学生求异思维，寻找新旧知识点之间的联系，构建其它解题途径，使他们在学习中学会观察、分析、思考，主动研究问题，解决问题，这对学习高等数学有很大帮助，而且有利于学生开拓思路，发展思维，提高能力。
[参考文献]
[1]裴礼文，数学分析中的典型问题与方法[M].北京：高等教育出版社，1993.58-60.
[2]同济大学数学教研室，高等数学（第六版）[M].北京：高等教育出版社，2007.
[3]刘雄伟，基于元素法的积分应用统一施教策略[J].高等函授学报（自然科学版），2011：44-46.
[4]王知人，浅谈反例的教学功能[J].教学研究，2000：278-279.
（作者单位：陕西省西安市第二炮兵工程大学 理学院数学与军事运筹教研室）
[关键词]求异思维 思维定势 创新
一、引言
时代的发展对现代教育提出了新的内涵和要求，把受教育者培养成基础扎实、具有科学思维方式，具有创新意识和应用能力的高素质人才迫在眉睫。作为大一新生刚入学所面临的一门基础课程----高等数学，在现代教育中，又被赋予了新的内涵。从事高等数学教学者应尽快从应试教育中走出来，改变教学理念，挖掘高等数学所蕴含的思想方法，为培养学生的创造性思维能力，提高学生分析和解决实际问题的能力而努力。
求异思维即发散思维，是人们重要的一种思维方式。它是指大脑在思维时呈现的一种扩散状态的思维模式，它表现为思维视野广阔，思维呈现出多维发散状。不少心理学家认为，求异思维是创造性思维的最主要的特点，是测定创造力的主要标志之一。
在高等数学教学中，不少内容都可以用来培养学生的求异思维能力。例如，对于考虑的问题，常可考虑使用间接方法、逆推、研究逆（否）命题、研究问题的反面等，即从常规思路的相反方向去思考问题，进行探索，寻找新方法。有意识的培养学生的求异思维，有利于克服思维定势的保守性，常常可帮助学生寻求新的思路、新的方法，开拓新的知识领域。以下我们将从几个典型例题来说明这一问题。
2、典型例题
例1 计算 。
分析：本题属于高等数学中不定积分的计算方法----分部积分法中的一道典型例题。几乎所有的教学者在课堂教学时都会选择此例题。在以往教学中，仅仅作为一道普通例题讲授，能反映分部积分公式的应用，就认为达到了教学目的。实际上，只让学生掌握课本中的解法是绝对不够的，也与数学教育的要求不相符。考虑到求导数与求不定积分为互逆运算，我们结合函数的求导方法，给出下列新的思路与方法。
解 因为
对（1）、（2）两边分别积分，得
由（3）、（4）得
例2 求密度为ρ（x，y，z）=x2+y2+z2，Σ为介于平面z=0，z=H之间的圆柱面x2+y2=R2的质量M。
分析：这是一道第一型曲面积分的典型应用。由第一型曲面积分的物理意义，将问题的解决转化为求相应的第一型曲面积分。其次，使用第一型曲面积分一般的计算方法-----一投二代三换，将其转换为二重积分计算。但是由于被积函数以及积分元素比较复杂，从而计算过程较繁琐。下面考虑间接方法，通过选取合适的积分元素，可以极大地简化计算过程，提高学生寻求简单办法解决问题的兴趣，锻炼他们解决问题的能力。
解 由第一型曲面积分的物理意义，得
为了计算上述积分，取典型小区间[z，z+△Z]上的圆柱面，面积元素ds=2πRdz，则曲面积分可以转化为定积分的计算，即
例3 求曲线 在点（1，1，1）处的切线与法平面。
分析：要求空间曲线在定点处的切线以及法平面，关键是求出曲线的切向量。当空间曲线以一般式给出时，曲线的切向量为T=（1，y`（x），z`（x）），而y`（x），z`（x）要通过解方程组得到，计算过程比较繁琐。注意到定点处的切向量与两面的法向量都垂直，我们可取两者的叉积为曲线的切向量。这种解法不仅简化了计算过程，而且锻炼了学生的空间思维能力。
解 点（1，1，1）处两曲面的法向量为
所求切线的方向向量可取为 。
所以，在点（1，1，1）处的切线为
法平面为16（x-1）+9（y-1）-（z-1）=0
三、小结
在高等数学中，对于不同问题，一般有其解决的基本方法。但是，對于新时代的受教育者来说，掌握基本计算方法是不够的。只有对问题进行反复思考、多方位考虑，挖掘出不同于基本方法的解决思路，将有利于培养学生的创新性思维，提高他们分析、解决问题的能力。
体现这种求异思维的内容还很多。例如，定积分的定义是一种特定和式的极限。利用定义的可逆性，反过来，我们在求某些类型的极限时，可以转化为定积分来计算。又如，定积分的几何意义是几何中一个平面图形的面积，反过来，如果平面图形面积已知，我们可以通过它来求某些特定类型的定积分。这就是我们通常所说的“出奇”才能‘“制胜”。所以，在高等数学的教学过程中，教师应当结合已学知识，引导学生求异思维，寻找新旧知识点之间的联系，构建其它解题途径，使他们在学习中学会观察、分析、思考，主动研究问题，解决问题，这对学习高等数学有很大帮助，而且有利于学生开拓思路，发展思维，提高能力。
[参考文献]
[1]裴礼文，数学分析中的典型问题与方法[M].北京：高等教育出版社，1993.58-60.
[2]同济大学数学教研室，高等数学（第六版）[M].北京：高等教育出版社，2007.
[3]刘雄伟，基于元素法的积分应用统一施教策略[J].高等函授学报（自然科学版），2011：44-46.
[4]王知人，浅谈反例的教学功能[J].教学研究，2000：278-279.
（作者单位：陕西省西安市第二炮兵工程大学 理学院数学与军事运筹教研室）