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【关键词】模型思想 《四则运算》教学策略
【中图分类号】G 【文献标识码】A
【文章编号】0450-9889（2016）01A-0021-02
《义务教育数学课程标准（2011年版）》提出了十个核心概念，“模型思想”是新增的核心概念之一，并且是唯一以“思想”指称的概念。模型思想的基本内涵是什么？数学建模活动有哪几个基本环节？其教育价值体现在哪些方面？怎样培养学生的模型思想？本文试图结合《四则运算》这一单元的教学实例谈一些认识。
一、模型思想的基本内涵
人民教育出版社课程教材研究所王永春老师在《小学数学思想方法的梳理（三）》一文中这样阐述：“数学模型是用数学语言概括或近似地描述现实世界事物的特征、数量关系和空间形式的一种数学结构。从广义角度讲，数学的概念、定理、规律、法则、公式、性质、数量关系等都是数学模型。”
学生通过抽象，在现实生活中得到数学的概念和运算法则，通过推理得到数学的发展，然后通过模型建立数学与外部世界的联系。在义务教育阶段，模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界的基本途径。也就是说，我们应建立这样的认识：数学与外部世界是紧密联系的，连接它们之间的“桥梁”是数学模型。
二、数学建模过程的三个主要环节
王永春老师认为，建立和求解模型的活动应体现“问题情境→建立模型→求解验证”的过程。模型思想的建立首先要“从现实生活或具体的情境中抽象出数学问题”，这表明现实的生活原型或情境是建模的源点，从中抽象出数学问题是建模的起点，此“从情境到问题”的环节可称为“建模准备”。然后“用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律”，学生要通过观察、分析、抽象、判断、推理等数学活动完成模式抽象，得到模型，这是建模的关键环节，可称为“构建模型”。最后是“求出结果并讨论结果的意义”，要对模型进行分析、检验，看模型在别的同类问题中是否合理可用，如不合理，就要再次假设、修改、完善，这是模型检验、应用和拓展的过程，此“求解验证”的过程可称为“求解模型”。
三、小学数学教学中渗透模型思想的价值取向
在小学数学教学中渗透模型思想的价值取向可归咎为三个层面。基础层面是有利于学生认识数学的本质，通过构建数学模型，能使学生体会到数学与外部世界是紧密联系的，建模的过程是对现实世界“数学化”的过程。核心层面是有利于学生解决问题和数学素养的提升，数学建模是一种缜密的推理活动，感悟模型思想的过程是一种思维不断演进与发展的过程，能更好地落实数感、符号意识、几何直观、推理能力、應用意识和创新意识等课程目标，增强其数学应用意识和创新意识。发展层面是有利于学生的后续发展，建模是初中数学课程的学习内容，在小学阶段渗透模型思想能提高学生学习数学的兴趣和应用意识，同时能更好地与初中课程衔接，有利于学生的后续学习。
四、培养学生数学模型思想的策略
（一）从生活问题到数学问题
数学源于生活，又用于生活，数学教学要从学生的生活经验和已有的认识水平出发，联系生活学习数学知识。
【案例1】《加、减法的意义和各部分间的关系：逆推》教学片段
教师提供一个现实的生活情境引入新课，提问：（1）早上上学怎么走？（2）放学回家怎么走？（3）上学和放学所走的路线有什么关系？（4）怎样才能原路返回？
上述教学片段，教师从一个现实的生活情境引入，让学生调用已有的旧知识（方向和路程）和生活经验，在思考解决“怎样原路返回”这一问题的过程中感悟到“要回去就得逆向走”，初步感知互逆关系和逆推策略。这样引入新课，充分调动了学生原有的知识和经验，并有效迁移，有利于学生领悟加减法和乘除法的互逆关系，为今后继续探索逆推策略作好心理准备。
（二）从数学问题到数学模型
数学模型是沟通数学与外部世界之间的桥梁。数学模型来自于现实世界，从现实抽象出数学问题，从数学问题出发构建数学模型，数学模型又用于解决类似的问题。如何帮助学生建立数学模型？这就需要教师指导学生运用数学的语言、符号和思想方法一步一步建立数学模型。
【案例2】《租船问题：优化思想与有序思考》教学片段
怎样租船最省钱？
师：要最省钱，应该选择租什么船？怎么租？
生1：租小船，因为32÷4=8（条）。刚好，不浪费座位。
生2：租大船，因为大船每人付5元，小船每人要付6元，所以要租6条大船。
生3：租6条大船，浪费4个座位，所以要尽量多租大船，再租小船，并且要尽量没有空位。
师：这3种方案都各有理由，究竟哪种最省钱，需要通过计算来比较。
学生通过一系列计算、比较得出方案三最省钱后，教师让学生讨论如何快速有序找出最佳方案并计算费用：32=6×5+2，32=6×4+4×2，30×4+24×2=168（元），再引导学生建立初步的数学模型：总人数=大船限乘人数×大船数量+小船限乘人数×小船数量，租大船是最佳选择，应该优先考虑，且要省钱就不能有空位。
上述案例，教师从租船这一生活情境引入，让学生联系已经学习过的“有序思考”或“逆推策略”寻找问题中隐含的二元一次方程4x+2y=32的解，在思考和解决“怎样租船最省钱”这一问题的过程中初步感知优化策略与有序思考。“有序思考”还要“有序表达”，学生在教师的指导下学习“有序表达”，在运用数学语言和符号分析问题的同时理解模型结构化。 （三）从数学模型到数学问题
学生学习数学模型大致有两种途径：一是基本模型的学习，即学习教材中以例题为代表的新知识，这是一个探索的过程；二是利用基本模型去解决各种问题，这是一个应用、拓展的过程。
【案例3】《解决问题的策略：逆推》教学片段
学生独立解答后交流自己的思考过程，教师即时板书，使学生明确自己使用的是逆推策略：从右往左逆推时，加法要变减法，乘法要变除法，逆推策略可以帮助我们解决一些数学问题。
学生在初步建立逆推模型（已知现在求原来的基本策略是要‘回去’就得‘倒着走’）后，就可以应用、拓展到习题中，帮助学生初步形成模型思想，提高学生的数学兴趣和应用意识。上述案例中，教师没有直接提出让学生应用逆推策略进行推算，而是结合学生的交流思考过程演变成一个显性的逆推题图，使学生获得更为深刻的感性认识：逆推策略和“回家的路”很相似，已知现在求原来，可以“倒着算”。
（四）从数学问题到生活问题
数学家华罗庚说过：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，无处不用数学。”这段话阐述了这样一个观点：现实世界中的“故事”可以用数学来阐述，数学可以帮助我们解决生活问题。
【案例4】《解决问题的策略：逆推和有序思考》在现实中的应用
1.基本应用。
师：刚才我们以租船为例，学习了用优化、有序思考和逆推的方法解决问题，你能用这种方法快速计算出练习三中的第4题吗？
春游：我校共有老师14人，学生326人。大车可坐40人，租金900元；小车可坐20人，租金500元。怎样租车最省钱？
解答：14+326=340人，340=40×8+20，900×4+500=4100（元）。
2.拓展應用。
①王叔叔要购买220千克大米，怎样买合算？一共要多少元？（注：20千克，96元/袋；30千克，135元/袋。）解答：220=30×7+10，220=30×6+20×2，135×6+96×2=1002（元）。
②现在有一批货物，重50吨，准备用大货车和小货车运输。怎样安排最省钱？（注：小货车载重量5吨，运输费80元/次；大货车载重量8吨，运输费110元/次。）解答：50=8×6+2，50=8×5+5×2，110×5+80×2=710（元）。
上述案例，让学生对基本模型（总人数=大船限乘人数×大船数量+小船限乘人数×小船数量）分层次地进行检验、拓展。以购物、载货等现实原型为背景，对模型进行逐步完善，抽象出二次模型：总数=最佳选择×数量+次佳选择×数量。这些习题，加深了学生对有序思考和逆推策略的认识，也使学生体会到了数学和生活的密切联系，有助于学生初步形成模型思想，提高学习兴趣和应用意识。
特级教师徐斌老师在《为学生的数学学习服务》讲座中指出：数学要从生活出发培养应用意识，数学与生活紧密关联，它们之间的关系可以理解为：
显然，本文所叙策略正是对徐老师所揭示的生活与数学的关系的理解和具体运用。
一个单元必定有几个串联的主要知识节点，“四则运算”的节点是从生活问题入手揭示四则运算各部分间的关系，再运用这种关系和顺向、逆向的计算方法有效解决问题。当然，从“四则运算”这一单元中的计算和问题解决两个方面来探索模型思想的培养策略只是一个小小的视觉。模型思想涵盖于各数学领域，在教学中，需要教师在数与代数、图形与几何、统计与概率、综合与实践四大领域的教学中进行有机渗透。让学生在获取数学知识和技能的过程中体验从实际背景中抽象出数学问题、构建数学模型、寻求结果、解决问题的过程，这个过程有助于学生初步形成模型思想，也有助于教师在现实中探寻培养策略，从而促进学生数学模型思想的形成和发展，最终提高学生的数学素养。（责编 林 剑）
【中图分类号】G 【文献标识码】A
【文章编号】0450-9889（2016）01A-0021-02
《义务教育数学课程标准（2011年版）》提出了十个核心概念，“模型思想”是新增的核心概念之一，并且是唯一以“思想”指称的概念。模型思想的基本内涵是什么？数学建模活动有哪几个基本环节？其教育价值体现在哪些方面？怎样培养学生的模型思想？本文试图结合《四则运算》这一单元的教学实例谈一些认识。
一、模型思想的基本内涵
人民教育出版社课程教材研究所王永春老师在《小学数学思想方法的梳理（三）》一文中这样阐述：“数学模型是用数学语言概括或近似地描述现实世界事物的特征、数量关系和空间形式的一种数学结构。从广义角度讲，数学的概念、定理、规律、法则、公式、性质、数量关系等都是数学模型。”
学生通过抽象，在现实生活中得到数学的概念和运算法则，通过推理得到数学的发展，然后通过模型建立数学与外部世界的联系。在义务教育阶段，模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界的基本途径。也就是说，我们应建立这样的认识：数学与外部世界是紧密联系的，连接它们之间的“桥梁”是数学模型。
二、数学建模过程的三个主要环节
王永春老师认为，建立和求解模型的活动应体现“问题情境→建立模型→求解验证”的过程。模型思想的建立首先要“从现实生活或具体的情境中抽象出数学问题”，这表明现实的生活原型或情境是建模的源点，从中抽象出数学问题是建模的起点，此“从情境到问题”的环节可称为“建模准备”。然后“用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律”，学生要通过观察、分析、抽象、判断、推理等数学活动完成模式抽象，得到模型，这是建模的关键环节，可称为“构建模型”。最后是“求出结果并讨论结果的意义”，要对模型进行分析、检验，看模型在别的同类问题中是否合理可用，如不合理，就要再次假设、修改、完善，这是模型检验、应用和拓展的过程，此“求解验证”的过程可称为“求解模型”。
三、小学数学教学中渗透模型思想的价值取向
在小学数学教学中渗透模型思想的价值取向可归咎为三个层面。基础层面是有利于学生认识数学的本质，通过构建数学模型，能使学生体会到数学与外部世界是紧密联系的，建模的过程是对现实世界“数学化”的过程。核心层面是有利于学生解决问题和数学素养的提升，数学建模是一种缜密的推理活动，感悟模型思想的过程是一种思维不断演进与发展的过程，能更好地落实数感、符号意识、几何直观、推理能力、應用意识和创新意识等课程目标，增强其数学应用意识和创新意识。发展层面是有利于学生的后续发展，建模是初中数学课程的学习内容，在小学阶段渗透模型思想能提高学生学习数学的兴趣和应用意识，同时能更好地与初中课程衔接，有利于学生的后续学习。
四、培养学生数学模型思想的策略
（一）从生活问题到数学问题
数学源于生活，又用于生活，数学教学要从学生的生活经验和已有的认识水平出发，联系生活学习数学知识。
【案例1】《加、减法的意义和各部分间的关系：逆推》教学片段
教师提供一个现实的生活情境引入新课，提问：（1）早上上学怎么走？（2）放学回家怎么走？（3）上学和放学所走的路线有什么关系？（4）怎样才能原路返回？
上述教学片段，教师从一个现实的生活情境引入，让学生调用已有的旧知识（方向和路程）和生活经验，在思考解决“怎样原路返回”这一问题的过程中感悟到“要回去就得逆向走”，初步感知互逆关系和逆推策略。这样引入新课，充分调动了学生原有的知识和经验，并有效迁移，有利于学生领悟加减法和乘除法的互逆关系，为今后继续探索逆推策略作好心理准备。
（二）从数学问题到数学模型
数学模型是沟通数学与外部世界之间的桥梁。数学模型来自于现实世界，从现实抽象出数学问题，从数学问题出发构建数学模型，数学模型又用于解决类似的问题。如何帮助学生建立数学模型？这就需要教师指导学生运用数学的语言、符号和思想方法一步一步建立数学模型。
【案例2】《租船问题：优化思想与有序思考》教学片段
怎样租船最省钱？
师：要最省钱，应该选择租什么船？怎么租？
生1：租小船，因为32÷4=8（条）。刚好，不浪费座位。
生2：租大船，因为大船每人付5元，小船每人要付6元，所以要租6条大船。
生3：租6条大船，浪费4个座位，所以要尽量多租大船，再租小船，并且要尽量没有空位。
师：这3种方案都各有理由，究竟哪种最省钱，需要通过计算来比较。
学生通过一系列计算、比较得出方案三最省钱后，教师让学生讨论如何快速有序找出最佳方案并计算费用：32=6×5+2，32=6×4+4×2，30×4+24×2=168（元），再引导学生建立初步的数学模型：总人数=大船限乘人数×大船数量+小船限乘人数×小船数量，租大船是最佳选择，应该优先考虑，且要省钱就不能有空位。
上述案例，教师从租船这一生活情境引入，让学生联系已经学习过的“有序思考”或“逆推策略”寻找问题中隐含的二元一次方程4x+2y=32的解，在思考和解决“怎样租船最省钱”这一问题的过程中初步感知优化策略与有序思考。“有序思考”还要“有序表达”，学生在教师的指导下学习“有序表达”，在运用数学语言和符号分析问题的同时理解模型结构化。 （三）从数学模型到数学问题
学生学习数学模型大致有两种途径：一是基本模型的学习，即学习教材中以例题为代表的新知识，这是一个探索的过程；二是利用基本模型去解决各种问题，这是一个应用、拓展的过程。
【案例3】《解决问题的策略：逆推》教学片段
学生独立解答后交流自己的思考过程，教师即时板书，使学生明确自己使用的是逆推策略：从右往左逆推时，加法要变减法，乘法要变除法，逆推策略可以帮助我们解决一些数学问题。
学生在初步建立逆推模型（已知现在求原来的基本策略是要‘回去’就得‘倒着走’）后，就可以应用、拓展到习题中，帮助学生初步形成模型思想，提高学生的数学兴趣和应用意识。上述案例中，教师没有直接提出让学生应用逆推策略进行推算，而是结合学生的交流思考过程演变成一个显性的逆推题图，使学生获得更为深刻的感性认识：逆推策略和“回家的路”很相似，已知现在求原来，可以“倒着算”。
（四）从数学问题到生活问题
数学家华罗庚说过：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，无处不用数学。”这段话阐述了这样一个观点：现实世界中的“故事”可以用数学来阐述，数学可以帮助我们解决生活问题。
【案例4】《解决问题的策略：逆推和有序思考》在现实中的应用
1.基本应用。
师：刚才我们以租船为例，学习了用优化、有序思考和逆推的方法解决问题，你能用这种方法快速计算出练习三中的第4题吗？
春游：我校共有老师14人，学生326人。大车可坐40人，租金900元；小车可坐20人，租金500元。怎样租车最省钱？
解答：14+326=340人，340=40×8+20，900×4+500=4100（元）。
2.拓展應用。
①王叔叔要购买220千克大米，怎样买合算？一共要多少元？（注：20千克，96元/袋；30千克，135元/袋。）解答：220=30×7+10，220=30×6+20×2，135×6+96×2=1002（元）。
②现在有一批货物，重50吨，准备用大货车和小货车运输。怎样安排最省钱？（注：小货车载重量5吨，运输费80元/次；大货车载重量8吨，运输费110元/次。）解答：50=8×6+2，50=8×5+5×2，110×5+80×2=710（元）。
上述案例，让学生对基本模型（总人数=大船限乘人数×大船数量+小船限乘人数×小船数量）分层次地进行检验、拓展。以购物、载货等现实原型为背景，对模型进行逐步完善，抽象出二次模型：总数=最佳选择×数量+次佳选择×数量。这些习题，加深了学生对有序思考和逆推策略的认识，也使学生体会到了数学和生活的密切联系，有助于学生初步形成模型思想，提高学习兴趣和应用意识。
特级教师徐斌老师在《为学生的数学学习服务》讲座中指出：数学要从生活出发培养应用意识，数学与生活紧密关联，它们之间的关系可以理解为：
显然，本文所叙策略正是对徐老师所揭示的生活与数学的关系的理解和具体运用。
一个单元必定有几个串联的主要知识节点，“四则运算”的节点是从生活问题入手揭示四则运算各部分间的关系，再运用这种关系和顺向、逆向的计算方法有效解决问题。当然，从“四则运算”这一单元中的计算和问题解决两个方面来探索模型思想的培养策略只是一个小小的视觉。模型思想涵盖于各数学领域，在教学中，需要教师在数与代数、图形与几何、统计与概率、综合与实践四大领域的教学中进行有机渗透。让学生在获取数学知识和技能的过程中体验从实际背景中抽象出数学问题、构建数学模型、寻求结果、解决问题的过程，这个过程有助于学生初步形成模型思想，也有助于教师在现实中探寻培养策略，从而促进学生数学模型思想的形成和发展，最终提高学生的数学素养。（责编 林 剑）