有些动曲线恒过定点，解题时若能抓住这个“小不点”，从定点入手，把定点作为寻找思路的切入点和突破口，往往可起到“点”到路开，曲径通幽，成功解题之功效。下面笔者通过例题介绍曲线过定点在解题中的应用。
　　
　　一、求参数的取值范围
　　
　　例1：已知直线y=kx-1与椭圆 + =1恒有公共点，求实数m的取值范围。
　　分析：若联立方程组消去x得到一元二次方程，再用△≥0求出m的范围，这样运算量较大，过程较繁琐。若注意到直线y=kx-1恒过定点(0，-1)这一条件，问题就迎刃而解了。
　　解：由方程知直线y=kx-1恒过定点(0，-1)，要使直线与椭圆恒有公共点，则点（0，-1）必在椭圆内或在椭圆上。故有 + ≤1，所以m≥1，又因为 + =1表示椭圆，所以m＞0且m≠3。故所求实数m的取值范围是［1，3）∪（3，+∞）。
　　
　　二、证明有关问题
　　
　　例2：已知⊙C：（x-1） +(y-2) =25，直线l：(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0（m∈R），
　　（1）求證：不论m取什么实数，直线l与圆恒交于两点。
　　（2）求直线l被⊙C截得的线段的最短长度以及这时直线l的方程。
　　分析：证直线与圆恒相交，若用方程组有解，消去y得x的方程，再证明这个方程的二次项系数不为0，且△＞0，显然运算量较大，难将解法进行到底。若证圆心到直线的距离恒小于半径，虽运算量小些，但对第二问没什么帮助。若注意到含参数m的直线一定过定点这一事实，又能听出不论m取什么实数，直线l与圆恒交于两点的“弦外之音”，那么只需证明这个定点在圆内即可。
　　解：（1）将直线l的方程按m整理，
　　
　　∴ 对任意实数m，直线l恒过定点P（3，1），又圆心C的坐标为（1，2），r=5
　　
　　∴对任意实数m，直线l与圆恒交于两点。
　　（2）当直线l⊥CP时，直线l被⊙C截得的线段AB最短。
　　
　　∴直线l的斜率为2
　　∴直线l的方程为：y-1=2(x-3)，即2x-y-5=0。
　　
　　三、求离心率
　　
　　例3：椭圆 + =1(a＞b＞0)上的一点P，使∠OPA=90°，O为坐标原点，A为右顶点，则椭圆的离心率的取值范围是（）。
　　
　　解：∵∠OPA=90°，∴点P在以OA为直径的圆上。
　　圆的方程为：x-+y = ，即x +y -ax=0①，
　　又点P在椭圆上
　　∴ + =1②，
　　由①、②消去y，得 c x -a x+a b =0
　　此方程有两个实根，它们分别是圆与椭圆交点A、P的横坐标x ，x ，又x =a，由根与系数关系得ax = ，
　　
　　点评：注意到一元二次方程c x-ax+ab=0的两个根就是A、P两点的横坐标x 、x ，而x =a，再由根与系数关系求x 是本解法的巧妙之所在。若用求根公式解运算量大，很难继续进行到底。
　　
　　四、求最值
　　
　　例4：设抛物线y =4x上不同于原点的两点A、B，满足 · =0，其中O为坐标原点。
　　（1）在x轴上是否存在定点C，使得 =λ （λ为非零常数）。若存在求出C点坐标，若不存在，请说明理由。
　　（2）求△AOB面积的最小值及此时直线AB的方程。（07湖北部分重点中学期中联考高二年级数学理第20题）
　　解：（1）假设在x轴上存在定点C，使得 =λ ，即直线AB与x轴交于定点C。显然直线AB不能与x轴平行，设直线AB方程为：x=my+n，则n＞0，代入y =4x得y -4my-4n=0，设A（x ，y ），B（x ，y ），
　　
　　∴直线AB方程为：x=my+4。
　　所以直线AB与x轴交于定点（4，0），故满足题目条件的点C的坐标为（4，0）。
　　（2）设△AOB面积为S，则
　　
　　故此时直线AB方程为：x=4。
　　点评：由（1）知直线AB过定点C，∴OC=4，故可将△OAB分成以OC为底的两个三角形的面积之和，得S=2(|y |+|y |)，再用均值不等式及y y =-16可得最小值。
　　从上数例可以看出，解题时若能充分利用曲线过定点这一已知条件，或者挖掘出曲线过定点这一隐藏条件，利用数形结合，揭示这一定点的几何意义和代数意义，洞察定点和问题之间的惟妙关系，则可达到快捷寻找解题思路，优化解题过程之功效。
　　
　　注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”