向量是数形结合的典范,是历年高考的必考知识点,本知识点的高考题主要以选择题、填空题为主,考查学生的运算能力、逻辑推理能力、知识迁移能力.本文将结合2009年各地高考题,对此知识点分类评析.
　　
　　一、考查向量的坐标运算
　　
　　【例1】 (广东)已知平面向量a=(x,1),b=(-x,x2),则向量a+b().
　　A.平行于x轴
　　B.平行于第一、三象限的角平分线
　　C.平行于y轴
　　D.平行于第二、四象限的角平分线
　　解析:a+b=(0,1+x2),由1+x2≠0及向量的性质可知,C正确.
　　【例2】 (浙江)已知向量a=(1,2),b=(2,-3).若向量c满足(c+a)∥b,c⊥(a+b),则c=().
　　A.(79,73)____ B.(-73,-79)
　　C.(73,79)D.(-79,-73)
　　解析:不妨设c=(m,n),则a+c=(1+m,2+n),a+b=(3,-1),由(c+a∥b,则有-3(1+m)=2(2+n);又c⊥(a+b),则有3m-n=0,则有m=-79,n=-73.
　　评析:对向量的加法、减法、数量积、向量的模坐标运算公式要熟记,能够灵活运用向量共线、向量垂直的充要条件对应的坐标表示.
　　
　　二、考查向量的几何意义
　　
　　【例3】 (广东)一质点受到平面上的三个力F1、F2、F3(单位:牛顿)的作用而处于平衡状态.已知F1、F2成角60°,且F1、F2的大小分别为2和4,则F3的大小为().
　　A.6B.2C.25D.27
　　解析:F23=F21+F22-2F1F2cos(180°-60°)=28,所以F3=27,选D.
　　评析:此类试题的解题关键是熟练掌握向量运算的三角形法则及平行四边形法则以及向量引入的几何背景.
　　
　　三、考查向量模的有关运算
　　
　　【例4】 (全国(Ⅱ))已知向量a=(2,1),a•b=10,︱a+b︱=52,则︱b︱=().
　　A.5B.10C.5D.25
　　解析:由︱a+b︱=52,(a+b)2=a2+b2+2ab=50,得|b|=5.选C.
　　评析:涉及到模的运算,一方面可直接求向量的坐标,用模的计算公式计算,另一方面可将模的运算转化为向量的数量积.
　　
　　四、考查向量共线的充要条件
　　
　　【例5】(北京)a、b不共线,c=ka+b(k∈R),d=a-b,如果c∥d,那么().
　　A.k=1且c与d同向
　　B.k=1且c与d反向
　　C.k=-1且c与d同向
　　D.k=-1且c与d反向
　　解析:本题主要考查向量的共线(平行)、向量的加减法,属于基础知识、基本运算的考查.
　　取a=(1,0),b=(0,1),若k=1,则c=a+b=(1,1),d=a-b=(1,-1),
　　显然,a与b不平行,排除A、B.
　　若k=-1,则c=-a+b=(-1,1),d=-a+b=-(-1,1),
　　即c∥d且c与d反向,排除C,故选D.
　　评析:向量共线的充要条件是:设a=(x1,y1),b=(x2,y2),当且仅当x1y2-x2y1=0时,ab共线.
　　
　　五、考查向量垂直的充要条件
　　
　　【例6】(宁夏,海南)已知a=(-3,2),b=(-1,0),向量λa+b与a-2b垂直,则实数λ的值为().
　　A.-17B.17C.-16D.16
　　解析:向量λa+b=(-3λ-1,2λ),a-2b=(-1,2),因为两个向量垂直,故有(-3λ-1)×(-1)+2λ•2=0,即3λ+1+4λ=0,解得λ=-17,故选A.
　　评析:向量垂直的充要条件为OA⊥OB,可设A(x1,y1),B(x2,y2),则OA=(x1,y1),OB=(x2,y2),则x1x2+y1y2=0.
　　
　　六、向量与三角形
　　
　　【例7】(宁夏,海南)已知点O、N、P在△ABC所在平面内,且|OA|=|OB|=|OC|,NA+NB+NC=0,PA•PB=PB•PC=PC•PA,则点O,N,P依次是△ABC的().
　　A.重心、外心、垂心
　　B.重心、外心、内心
　　C.外心、重心、垂心
　　D.外心、重心、内心
　　解析:由|OA|=|OB|=|OC|知,O为△ABC的外心;由NA+NB+NC=0知,O为△ABC的重心.
　　∵PA•PB=PB•PC,∴(PA-PC)•PB=0,∴CA•PB=0,∴CA⊥PB,
　　同理,AP⊥BC,∴P为△ABC的垂心,选C.
　　评析:此类试题主要利用向量的几何意义以及三角形中的角平分线、高线、中线所对应的向量特征,如垂心即高线与对应边所在向量的数量积为0.
　　
　　七、考查向量信息迁移
　　
　　【例8】 (安徽)给定两个长度为1的平面向量OA和OB,它们的夹角为120°.
　　如右图所示,点C在以O为圆心的圆弧AB上变动.
　　若OC=xOA+yOB(其中x,y∈R),则x+y的最大值是____.
　　解析:设∠AOC=α,
　　OC•OA=xOA•OA+yOB•OA,
　　OC•OB=xOA•OB+yOB•OB,
　　即cosα=x-12y,cos(120°-α)=-12x+y,
　　∴x+y=2[cosα+cos(120°-α)]=cosα+3sinα=2sin(α+π6)≤2.
　　评析:本类题主要考查学生阅读与理解、信息迁移的能力以及分析问题和解决问题的能力.本题求解关键是看懂题意,由题中的向量相等,建立x+y的对应函数式,再借助三角函数知识求解.
　　【巩固练习】
　　1.设P是△ABC所在平面内的一点,BC+BA=2BP,则().
　　A.PA+PB=0 B.PC+PA=0
　　C.PB+PC=0D.PA+PB+PC=0
　　解析:因为BC+BA=2BP,所以点P为线段AC的中点,选B.
　　2.设向量a,b满足:|a|=3,|b|=4,a•b=0.以a,b,a-b的模为边长构成三角形,则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为().
　　A.3____B.4____C.5____D.6
　　解析:对于半径为1的圆有一个位置正好是三角形的内切圆,此时只有三个交点,对于圆的位置稍右移或其他的变化,能实现4个交点的情况,但5个以上的交点不能实现.选C.
　　3.在平行四边形ABCD中,AC与BD交于点O,E是线段OD的中点,AE的延长线与CD交于点F.若AC=a,BD=b,则AF=().
　　A.14a+12b____
　　B.23a+13b
　　C.12a+14b
　　D.13a+23b
　　
　　解析:利用平面几何知识得出DF∶FC=1∶2,然后利用向量的加减法则易得答案B.
　　4.a,b的夹角为120°,|a|=1,|b|=3,则|5a-b|=____.
　　解析:因为a•b=1×3×(-12)=-32,
　　所以|5a-b|2=(5a-b)2=25a2+b2-10a•b=49.因此|5a-b|=7.
　　5.如右图,D,E,F分别是△ABC的边AB,BC,CA的中点,则().
　　A.AD+BE+CF=0
　　B.BD-CF+DF=0
　　C.AD+CE-CF=0
　　D.BD-BE-FC=0
　　解析:∵AD=DB
　　,∴AD+BE=DB+BE=DE=FC,得AD+BE+CF=0,选A.
　　6.已知向量a=(3,1),b=(1,3),c=(k,2),若(a-c)⊥b,则k=____.
　　答案:0.
　　(责任编辑 金 铃)