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[摘 要]带电粒子进入有界磁场运动时产生临界问题的两个原因是速度大小不确定和速度方向不確定。文章结合例题，说明运用放大或缩小带电粒子在磁场中运动的圆周轨迹和动态旋转圆周轨迹的办法寻找临界轨迹，进而解决带电粒子在有界磁场中运动的临界问题。
[关键词]临界问题；带电粒子；有界磁场
[中图分类号] G633.7 [文献标识码] A [文章编号] 1674-6058（2018）14-0055-02
带电粒子在磁场中运动的临界问题是每年高考的热点和难点，它不但涉及力学、电磁学等高中物理知识，而且还涉及数学中有关圆的知识，题目的综合性较强，难度较大，考生的得分率普遍不高。原因之一是考生在解答带电粒子在有界磁场中运动的临界问题时无法准确寻找带电粒子在磁场中运动的临界轨迹。
笔者在教学中发现，要解决带电粒子在有界磁场中运动的临界问题，必须让学生明白临界问题是如何产生的。这里分两种情况讨论，一是粒子进入磁场时v的大小不确定，导致临界轨迹不确定，v的大小影响着粒子在磁场中圆周运动轨迹的大小，这种情况可以通过放大或缩小圆周轨迹的办法来寻找临界轨迹；二是粒子进入磁场时v的方向不确定，由于v的方向不确定，该粒子在磁场中运动的轨迹圆心不确定，这种情况可以采取动态旋转圆周的办法寻找临界轨迹。下面举例说明。
【例1】 如图1所示，ab边足够长的矩形区域abcd内有方向垂直纸面向里，磁感应强度为B的匀强磁场。现有一带电量为q，质量为m的粒子在ad边的中点O处以垂直磁场方向射入，且速度方向跟ad边成30°角。设ad边长为L，求：若要粒子从ab边上射出，则入射速度v0在哪个范围？（不计粒子重力）
解析：带电粒子进入磁场的方向是确定的，粒子在O点受到洛伦兹力的方向垂直于v0，即图2中OO1方向，所有不同速度大小的粒子在磁场中做圆周运动时的轨道圆心都应在直线OO1上。当速度逐渐变大时，半径变大，圆周运动的轨迹也在变大。由题意知矩形区域abcd足够长，当圆周轨迹大到与cd相切时，这个圆周的半径应是所有从ab上射出粒子做圆周运动的最大半径，对应粒子的速度为最大速度，临界轨迹如图2中①。设最大圆周与cd相切点为M，过M作cd的垂线，垂线与OO1交于O1，则粒子轨迹的圆心为O1，设其轨道半径为R1，由几何关系得R1sin30° [L2]=R1 ，解得R1=L，由公式qvB=[mv2R]，得该轨道上粒子速度为v1=[qBLm]。
对于从ab射入的粒子，当速度变小时，半径变小，圆周的轨迹也在变小，当轨迹与ab相切时，圆周轨迹最小，对应半径最小，对应粒子的速度为最小速度，临界轨迹如图2中③。设切点为N，过N作ab的垂线交直线OO1于O2，即圆心为O2，半径为R2，则R2 R2cos60°=[L2]，解得R2=[13]L，由qvB=[mv2R]可得v2=[qBL3m]。综上所述，入射粒子速度范围为[qBL3m] < v < [qBLm]。
【例2】 如图3所示，质量为m，电荷量为 q的带电粒子，不计重力，粒子以一定速度从小孔Q垂直进入N板右侧磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外的匀强磁场，磁场边界上的绝缘板CD与N板的夹角为θ=45°，孔Q到板的下端C的距离为L。当粒子以最大速度入射时，粒子恰垂直打在CD板上的H点，求： CD板上被粒子打中的区域的长度。
解析：如图4，由半径和切线垂直的几何关系知，粒子垂直N板从Q进入磁场，即入射速度方向确定，则圆心必在N板上，由题意知粒子速度最大时，粒子恰好垂直打在CD板上，则圆心必在绝缘CD板上，N板和绝缘板CD交于C，则圆心为C，临界轨迹为圆弧QH；CH=QC=L，故半径R1=L；当粒子入射速度变小时，圆周轨迹变小，半径变小，要使粒子打在绝缘板上，最小的圆周轨迹应与CD相切，则临界轨迹应为圆弧QKE。此轨迹的半径为R2，在△AKC中：
sin 45°=[R2L-R2] 解得R2=（[2]-1）L
由几何知识得KC长也等于R2=（[2]-1）L
所以CD绝缘板上被粒子打中的长度为HK，即HK=R1-R2=（2-[2]）L。
【例3】 如图5所示，有一环状匀强磁场，外半径R2=1.0 m，内半径为R1=0.5 m，磁感应强度B=1.0 T，粒子在磁场内运动时都不会穿出磁场的外边缘而被约束在该区域内。若在中空区域内带电粒子荷质比为q/m=4×107 C/kg，且粒子具有各个方向的速度。（1）当粒子沿半径方向射入环状磁场时，粒子不穿出磁场的最大速度是多少？（2）所有射入磁场的粒子不能穿出环状磁场的最大速度是多少？
解析：（1）粒子沿环状的半径方向射入磁场时，根据qvB=m[v2R]得，R=[mvqB]，因荷质比一定，B一定，v越大，则粒子做圆周运动的圆周越大，当圆周与环状磁场外缘相切时，即为粒子不穿越磁场的临界轨迹，轨迹如图6所示。此时对应速度为最大速度。由图知r12 R12=（R2-r1）2，解得r1=0.375m，根据qvB=m[v2R]，把R=r1=0.375 m代入，解得v=1.5×107 m/s。
（2）设粒子在内环半径边缘某点以速度v射入环状磁场，则轨迹应为r2=[mv2qB]的圆弧，随着速度的增大，半径也增大，圆弧也增长；因速度方向未定，所以粒子圆周运动的圆弧也要以某点为圆心转动。当以v2的速度沿与内环边缘相切方向射入磁场，且临界轨迹与外圆相切时，则以v2速度沿各方向射入环状磁场的粒子都不能穿出磁场，临界轨迹如图7所示。
由图中知r2=[R2-R12] =0.25 m ，由Bqv2=m[v22r2] 得v2=[Bqr2m]=1.0×107 m/s，所以所有粒子不能穿越磁场的最大速度v2=1.0×107 m/s。
综上所述，寻找临界轨迹时，教师一定要让学生理解：在放大或者缩小圆轨迹时，圆心一定始终在同一直线上，在分析动态圆周问题时要抓住动态圆是绕某一固定点转动，但无论哪一种方法都要让学生明白，粒子做圆周运动时和有界磁场边缘相切的轨迹往往是临界轨迹。
（责任编辑 易志毅）
[关键词]临界问题；带电粒子；有界磁场
[中图分类号] G633.7 [文献标识码] A [文章编号] 1674-6058（2018）14-0055-02
带电粒子在磁场中运动的临界问题是每年高考的热点和难点，它不但涉及力学、电磁学等高中物理知识，而且还涉及数学中有关圆的知识，题目的综合性较强，难度较大，考生的得分率普遍不高。原因之一是考生在解答带电粒子在有界磁场中运动的临界问题时无法准确寻找带电粒子在磁场中运动的临界轨迹。
笔者在教学中发现，要解决带电粒子在有界磁场中运动的临界问题，必须让学生明白临界问题是如何产生的。这里分两种情况讨论，一是粒子进入磁场时v的大小不确定，导致临界轨迹不确定，v的大小影响着粒子在磁场中圆周运动轨迹的大小，这种情况可以通过放大或缩小圆周轨迹的办法来寻找临界轨迹；二是粒子进入磁场时v的方向不确定，由于v的方向不确定，该粒子在磁场中运动的轨迹圆心不确定，这种情况可以采取动态旋转圆周的办法寻找临界轨迹。下面举例说明。
【例1】 如图1所示，ab边足够长的矩形区域abcd内有方向垂直纸面向里，磁感应强度为B的匀强磁场。现有一带电量为q，质量为m的粒子在ad边的中点O处以垂直磁场方向射入，且速度方向跟ad边成30°角。设ad边长为L，求：若要粒子从ab边上射出，则入射速度v0在哪个范围？（不计粒子重力）
解析：带电粒子进入磁场的方向是确定的，粒子在O点受到洛伦兹力的方向垂直于v0，即图2中OO1方向，所有不同速度大小的粒子在磁场中做圆周运动时的轨道圆心都应在直线OO1上。当速度逐渐变大时，半径变大，圆周运动的轨迹也在变大。由题意知矩形区域abcd足够长，当圆周轨迹大到与cd相切时，这个圆周的半径应是所有从ab上射出粒子做圆周运动的最大半径，对应粒子的速度为最大速度，临界轨迹如图2中①。设最大圆周与cd相切点为M，过M作cd的垂线，垂线与OO1交于O1，则粒子轨迹的圆心为O1，设其轨道半径为R1，由几何关系得R1sin30° [L2]=R1 ，解得R1=L，由公式qvB=[mv2R]，得该轨道上粒子速度为v1=[qBLm]。
对于从ab射入的粒子，当速度变小时，半径变小，圆周的轨迹也在变小，当轨迹与ab相切时，圆周轨迹最小，对应半径最小，对应粒子的速度为最小速度，临界轨迹如图2中③。设切点为N，过N作ab的垂线交直线OO1于O2，即圆心为O2，半径为R2，则R2 R2cos60°=[L2]，解得R2=[13]L，由qvB=[mv2R]可得v2=[qBL3m]。综上所述，入射粒子速度范围为[qBL3m] < v < [qBLm]。
【例2】 如图3所示，质量为m，电荷量为 q的带电粒子，不计重力，粒子以一定速度从小孔Q垂直进入N板右侧磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外的匀强磁场，磁场边界上的绝缘板CD与N板的夹角为θ=45°，孔Q到板的下端C的距离为L。当粒子以最大速度入射时，粒子恰垂直打在CD板上的H点，求： CD板上被粒子打中的区域的长度。
解析：如图4，由半径和切线垂直的几何关系知，粒子垂直N板从Q进入磁场，即入射速度方向确定，则圆心必在N板上，由题意知粒子速度最大时，粒子恰好垂直打在CD板上，则圆心必在绝缘CD板上，N板和绝缘板CD交于C，则圆心为C，临界轨迹为圆弧QH；CH=QC=L，故半径R1=L；当粒子入射速度变小时，圆周轨迹变小，半径变小，要使粒子打在绝缘板上，最小的圆周轨迹应与CD相切，则临界轨迹应为圆弧QKE。此轨迹的半径为R2，在△AKC中：
sin 45°=[R2L-R2] 解得R2=（[2]-1）L
由几何知识得KC长也等于R2=（[2]-1）L
所以CD绝缘板上被粒子打中的长度为HK，即HK=R1-R2=（2-[2]）L。
【例3】 如图5所示，有一环状匀强磁场，外半径R2=1.0 m，内半径为R1=0.5 m，磁感应强度B=1.0 T，粒子在磁场内运动时都不会穿出磁场的外边缘而被约束在该区域内。若在中空区域内带电粒子荷质比为q/m=4×107 C/kg，且粒子具有各个方向的速度。（1）当粒子沿半径方向射入环状磁场时，粒子不穿出磁场的最大速度是多少？（2）所有射入磁场的粒子不能穿出环状磁场的最大速度是多少？
解析：（1）粒子沿环状的半径方向射入磁场时，根据qvB=m[v2R]得，R=[mvqB]，因荷质比一定，B一定，v越大，则粒子做圆周运动的圆周越大，当圆周与环状磁场外缘相切时，即为粒子不穿越磁场的临界轨迹，轨迹如图6所示。此时对应速度为最大速度。由图知r12 R12=（R2-r1）2，解得r1=0.375m，根据qvB=m[v2R]，把R=r1=0.375 m代入，解得v=1.5×107 m/s。
（2）设粒子在内环半径边缘某点以速度v射入环状磁场，则轨迹应为r2=[mv2qB]的圆弧，随着速度的增大，半径也增大，圆弧也增长；因速度方向未定，所以粒子圆周运动的圆弧也要以某点为圆心转动。当以v2的速度沿与内环边缘相切方向射入磁场，且临界轨迹与外圆相切时，则以v2速度沿各方向射入环状磁场的粒子都不能穿出磁场，临界轨迹如图7所示。
由图中知r2=[R2-R12] =0.25 m ，由Bqv2=m[v22r2] 得v2=[Bqr2m]=1.0×107 m/s，所以所有粒子不能穿越磁场的最大速度v2=1.0×107 m/s。
综上所述，寻找临界轨迹时，教师一定要让学生理解：在放大或者缩小圆轨迹时，圆心一定始终在同一直线上，在分析动态圆周问题时要抓住动态圆是绕某一固定点转动，但无论哪一种方法都要让学生明白，粒子做圆周运动时和有界磁场边缘相切的轨迹往往是临界轨迹。
（责任编辑 易志毅）