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《倍数和因数》是大家耳熟能详的课例了，本课的重点为探索怎样找一个数的倍数和一个数的因数，靠老师的告知方式也是能让学生知道找因数和找倍数的方法的，但要让学生理解找的方法并能渗透有序找全的数学思想方法，却并不简单。布鲁纳说过：“探索是数学的生命线。”从某种意义上说，探究学习的目的不是单纯地掌握数学知识，而是数学方法的学习与情感体验的获得。那么，在本节课中，如何适时、适度、高效地展开重点内容的探究，是我在设计本节课时思考的主要问题，但在初次教学尝试中却未能如愿：
案例一：找一个数因数的初次教学尝试
（教学完因数和倍数的概念后）
师：（过渡）刚才通过把12个小正方形摆成不同的长方形，我们写出了一组乘法算式。
1.想象摆，找36的因数。
（1）师：你会用36个小正方形摆成哪些不同的长方形？你能用乘法算式有序地来表示你的摆法吗？要求做到既不重复，又不遗漏，可以吗？请大家边想边写。
（2）生独立写算式：
1×36=36
2×18=36
3×12=36
4×9=36
6×6=36
（3）交流算式：
还要继续写吗？为什么？到怎样的情况就不要找下去了？
2.说因数
（1）根据算式你能写一写36的因数有哪些吗？
学生自己练习找36的因数。
教师反馈不同的情况。
（2）小结方法：对，为了能把一个数的因数找全不遗漏，我们可以一对一对地找；但为了写出的数更有条理、更美观，我们可以从小到大地写。
案例反思
在这个教学过程中，本课的重点探究内容“怎样找一个数的因数”被“你会摆成不同的长方形吗？你能用乘法算式有序地表示出来吗？”这样的要求牵制着，探究的目的性从原来的探究“怎样找一个数的因数”转变成了“怎样摆长方形”，而且整个探究的过程分成一系列连续的小步子，学生在这种引导下，只有了一种思维模式，只能“用乘法算式来表示摆法”，事实上找一个数的因数还可以想除法算式。在整个学习过程中，学生只是执行教师命令的操作员，就好像一台台电脑，教师编好程序，点击鼠标，他们就开始工作。这样的教学如果从掌握知识的角度来说，的确省时、高效，可是从“发展学生自主获取知识的能力”的角度分析，可以发现，留给学生自主探究的空间过于狭窄，在学习的过程中，学生的思维活动连一点“旁逸斜出”的机会都没有了，创新精神更是无从谈起。
案例二：找一个数因数的再次教学尝试
（教学完因数和倍数的概念后）
1.练习：3、5、18、20、36，任意选取两个数用倍数和因数来说一说。
生1：3是18的因数，18是3的倍数。
生2：3是36的因数，36是3的倍数。
生3：5是20的因数，20是5的倍数。
生4:18是36的因数，36是18的倍数。
2.过渡：刚才的五个数中，哪些是36的因数？
生：3、18、36是36的因数。
师：3、18、36都是36的因数。那么36的因数只有这三个吗？你能把36所有的因数都找出来吗？（小组探究）
（1）提出要求，明确方法：
①提出探究要求，把36所有的因数都找出来。
②有困难的求助小组成员，也可以求助老师，争取把36的所有因数都找出来。
③找到后填在学习纸上，如果能把找的方法写下来更好。
④小组交流分享。
（2）自主探究，教师巡视。
（3）搜集典型，交流评价：
展示作业一：因数没有找全的1、36、2、18、3、12、4、9
师：看了这位同学找的36的因数，你有什么想说的呢？
生：没有找全，有遗漏。
展示作业二：因数有照错的1、36、2、18、3、13、4、9、6
师：这位同学找的对吗？
生：不对。
师：哪个因数不对呢？
生：13不是36的因数。
师：为什么13不是36的因数呢？
生：3×13不等于36。
展示作业三：找全的，排列无序的1、36、2、18、3、12、4、9、6
师：有错的吗？有遗漏的吗？有重复的吗？真了不起，想不想听听这位同学是怎样做到不遗漏、不重复的？
生1：我是这样做的：36÷1=36，36÷2=18，36÷4=9，36÷6=6
生2：我是这样做的：1×36=36，2×18=36，3×12=36，6×6=36
师小结方法：第一个同学用36去分别除以1、2、3…除到重复就不除了，除数和商就是36的因数。
第二个同学想几乘几得36，从1开始乘起，乘到重复就不乘了，两个乘数就是36的因数。
相应板书：（）×（）=36
36÷（）=（）
师：谁来评价一下这种找因数的方法？对于这样的排列你能评价一下吗？
生：无序、乱。
师：你觉得怎么写好呢？
生：从小到大。
展示作业四：找全排列有序的1、2、3、4、6、9、12、18、36
师：这样好吗？为什么？
生：从小到大，很整齐美观。
（4）小结方法
师：对，为了能把一个数的因数找全但不遗漏，我们可以一对一对地找，但为了写出的数更有条理、更美观，我们可以从小到大地写。
案例反思
在这两个教学过程中，尽管教师给了学生探究的机会，但案例一的探究更显得机械化，而案例二的探究更具备人性化，更符合孩子的认知水平，更能给孩子广阔的思维空间，思维得到了更好的锻炼，这样探究活动就有了更好的价值。
1.教师找准了真探究的基础——正确地把握了学生的知识起点。那就是已经找到了36的几个因数，还能找到36的其他的因数吗？标准指出，数学课程：“数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上。”所以，我们在进行探究内容选择时，应根据自己学生的基础采取适度的原则。在一般情况下，探究问题的解决所需的能力应在学生的最近发展区之内，对这样难度水平的问题学生通过努力可以解决。即选择的探究内容对于学生来讲，通过对他们已有的知识、能力的提取和综合，是可以进行探究并能得到结果的，但是，这些内容对学生来讲绝不能毫无疑问、不费努力即可解决。
2.教师营造了真探究的空间——案例二的教学为学生提供了充分的探究空间。“你能把36的所有因数都找出来吗？先独立思考，有困难可以寻求帮助。”“以学生为中心是探究教学的一个基本特征”。让学生成为数学学习的主人，自主地进行学习活动。作为教师应定位于组织者、合作者、引导者的角色，定位的宗旨是对学生适时有效地提供必要的帮助与引导，而不是直接给出解决问题的方案，对于案例一来说就是教师直接给出了找因数的方法——想乘法算式，而案例二是由学生自己获得数学猜想，并与同学分享自己的探索成果，最后在集体中一起验证交流、修正猜想，而不是直接肯定或否定他们的猜想。在教学中，我们设置的探究问题间域要宽，截距要长，思维坡度要大，给学生提供一个充分自由的探索空间。
磨课的过程尽管是痛苦的，但收获也是巨大的，每经历一次磨课总能让我悟到比书本上的理论更有价值的东西，在本课的教学中，通过两次对比让我终于领悟到了自主探索的真谛！
（作者单位 江苏省江阴市实验小学）
案例一：找一个数因数的初次教学尝试
（教学完因数和倍数的概念后）
师：（过渡）刚才通过把12个小正方形摆成不同的长方形，我们写出了一组乘法算式。
1.想象摆，找36的因数。
（1）师：你会用36个小正方形摆成哪些不同的长方形？你能用乘法算式有序地来表示你的摆法吗？要求做到既不重复，又不遗漏，可以吗？请大家边想边写。
（2）生独立写算式：
1×36=36
2×18=36
3×12=36
4×9=36
6×6=36
（3）交流算式：
还要继续写吗？为什么？到怎样的情况就不要找下去了？
2.说因数
（1）根据算式你能写一写36的因数有哪些吗？
学生自己练习找36的因数。
教师反馈不同的情况。
（2）小结方法：对，为了能把一个数的因数找全不遗漏，我们可以一对一对地找；但为了写出的数更有条理、更美观，我们可以从小到大地写。
案例反思
在这个教学过程中，本课的重点探究内容“怎样找一个数的因数”被“你会摆成不同的长方形吗？你能用乘法算式有序地表示出来吗？”这样的要求牵制着，探究的目的性从原来的探究“怎样找一个数的因数”转变成了“怎样摆长方形”，而且整个探究的过程分成一系列连续的小步子，学生在这种引导下，只有了一种思维模式，只能“用乘法算式来表示摆法”，事实上找一个数的因数还可以想除法算式。在整个学习过程中，学生只是执行教师命令的操作员，就好像一台台电脑，教师编好程序，点击鼠标，他们就开始工作。这样的教学如果从掌握知识的角度来说，的确省时、高效，可是从“发展学生自主获取知识的能力”的角度分析，可以发现，留给学生自主探究的空间过于狭窄，在学习的过程中，学生的思维活动连一点“旁逸斜出”的机会都没有了，创新精神更是无从谈起。
案例二：找一个数因数的再次教学尝试
（教学完因数和倍数的概念后）
1.练习：3、5、18、20、36，任意选取两个数用倍数和因数来说一说。
生1：3是18的因数，18是3的倍数。
生2：3是36的因数，36是3的倍数。
生3：5是20的因数，20是5的倍数。
生4:18是36的因数，36是18的倍数。
2.过渡：刚才的五个数中，哪些是36的因数？
生：3、18、36是36的因数。
师：3、18、36都是36的因数。那么36的因数只有这三个吗？你能把36所有的因数都找出来吗？（小组探究）
（1）提出要求，明确方法：
①提出探究要求，把36所有的因数都找出来。
②有困难的求助小组成员，也可以求助老师，争取把36的所有因数都找出来。
③找到后填在学习纸上，如果能把找的方法写下来更好。
④小组交流分享。
（2）自主探究，教师巡视。
（3）搜集典型，交流评价：
展示作业一：因数没有找全的1、36、2、18、3、12、4、9
师：看了这位同学找的36的因数，你有什么想说的呢？
生：没有找全，有遗漏。
展示作业二：因数有照错的1、36、2、18、3、13、4、9、6
师：这位同学找的对吗？
生：不对。
师：哪个因数不对呢？
生：13不是36的因数。
师：为什么13不是36的因数呢？
生：3×13不等于36。
展示作业三：找全的，排列无序的1、36、2、18、3、12、4、9、6
师：有错的吗？有遗漏的吗？有重复的吗？真了不起，想不想听听这位同学是怎样做到不遗漏、不重复的？
生1：我是这样做的：36÷1=36，36÷2=18，36÷4=9，36÷6=6
生2：我是这样做的：1×36=36，2×18=36，3×12=36，6×6=36
师小结方法：第一个同学用36去分别除以1、2、3…除到重复就不除了，除数和商就是36的因数。
第二个同学想几乘几得36，从1开始乘起，乘到重复就不乘了，两个乘数就是36的因数。
相应板书：（）×（）=36
36÷（）=（）
师：谁来评价一下这种找因数的方法？对于这样的排列你能评价一下吗？
生：无序、乱。
师：你觉得怎么写好呢？
生：从小到大。
展示作业四：找全排列有序的1、2、3、4、6、9、12、18、36
师：这样好吗？为什么？
生：从小到大，很整齐美观。
（4）小结方法
师：对，为了能把一个数的因数找全但不遗漏，我们可以一对一对地找，但为了写出的数更有条理、更美观，我们可以从小到大地写。
案例反思
在这两个教学过程中，尽管教师给了学生探究的机会，但案例一的探究更显得机械化，而案例二的探究更具备人性化，更符合孩子的认知水平，更能给孩子广阔的思维空间，思维得到了更好的锻炼，这样探究活动就有了更好的价值。
1.教师找准了真探究的基础——正确地把握了学生的知识起点。那就是已经找到了36的几个因数，还能找到36的其他的因数吗？标准指出，数学课程：“数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上。”所以，我们在进行探究内容选择时，应根据自己学生的基础采取适度的原则。在一般情况下，探究问题的解决所需的能力应在学生的最近发展区之内，对这样难度水平的问题学生通过努力可以解决。即选择的探究内容对于学生来讲，通过对他们已有的知识、能力的提取和综合，是可以进行探究并能得到结果的，但是，这些内容对学生来讲绝不能毫无疑问、不费努力即可解决。
2.教师营造了真探究的空间——案例二的教学为学生提供了充分的探究空间。“你能把36的所有因数都找出来吗？先独立思考，有困难可以寻求帮助。”“以学生为中心是探究教学的一个基本特征”。让学生成为数学学习的主人，自主地进行学习活动。作为教师应定位于组织者、合作者、引导者的角色，定位的宗旨是对学生适时有效地提供必要的帮助与引导，而不是直接给出解决问题的方案，对于案例一来说就是教师直接给出了找因数的方法——想乘法算式，而案例二是由学生自己获得数学猜想，并与同学分享自己的探索成果，最后在集体中一起验证交流、修正猜想，而不是直接肯定或否定他们的猜想。在教学中，我们设置的探究问题间域要宽，截距要长，思维坡度要大，给学生提供一个充分自由的探索空间。
磨课的过程尽管是痛苦的，但收获也是巨大的，每经历一次磨课总能让我悟到比书本上的理论更有价值的东西，在本课的教学中，通过两次对比让我终于领悟到了自主探索的真谛！
（作者单位 江苏省江阴市实验小学）