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平方根是数学里一个重要的概念,也是学习中的一个难点,下面从四个方面,谈谈如何学习平方根.
一、平方根的概念
1. 用语言叙述:如果一个数的平方等于a,那么这个数就叫做a的平方根.
2. 用符号表示:如果x2 = a,那么x = ±.
3. 算术平方根:正数a的正的平方根,叫做a的算术平方根;0的算术平方根是0,用符号表示为:(a ≥ 0).
二、平方根的性质
1. 一个正数有两个平方根,它们互为相反数.
2. 0有一个平方根,它是0本身.
3. 负数没有平方根.
4. 算术平方根的性质:非负数的算术平方根还是非负数. 三、常见错误例析
1. 概念混淆,出现增解
例1 计算:.
错解 因(±8)2 = 64,故 = ±8.
分析 混淆了平方根与算术平方根的概念,错用符号,不理解的真正意义. 表示64的正的平方根,即算术平方根,它是一个非负数.
正解= 8.
2. 遗漏符号,出现失解
例2 求(-5)2的平方根.
错解 (-5)2 = 25,所以(-5)2的平方根为-5.
分析 一个正数的平方根是互为相反数的两个数.
正解 因(-5)2 = 25,所以25的平方根为±5.
3. 乱用运算律或者公式,导致偏差
例3 下列运算中错误的有().
① =-= 10 - 8 = 2;
② =+=+= ;
③ =1;④ - =- = -
A. ①②B. ③④ C. ①②③ D. ②③④
错选 选择A 或选择B或选择D.
分析 在进行数的开平方运算时,不论被开方数是和的形式、差的形式,还是符号公式,还是带分数的形式,在运算时,必须把被开方数的结果化成一个数的形式,要么是一个整数,要么是一个真分数,要么是一个假分数,同时,还要注意性质符号的一致性.
①的计算,乱用平方差公式,导致结果的错误;②的计算,乱用求两数的和的运算律,导致错误;③的计算,也是自己杜撰运算的方法,所以,运算的结果,当然是错误的;只有④严格按照运算的要求进行的,并且等号两边的数的性质符号也是一致的. 因此,①②③都是错误的. 正解:选C.
4. 忽视语言叙述含有的运算
例4的算术平方根为_________.
错解 4 .
分析 错在没有仔细审题,把题意理解为求16的算术平方根了,实际上,这道题是求16的算术平方根的算术平方根. 正解 因 = 4,所以的算术平方根为2,结果应填2.
5. 忽视隐含,产生误解
例5 (1.414 - )2的算术平方根是_________.
错解 1.414 - .
分析 错在忽视了隐含条件 > 1.414,即1.414 - 是负数.
正解- 1.414.
6. 忽视被开方数的意义,导致错误
例6 下列运算过程,
①-8是-64的平方根;② - = -(-8) = 8;
③ = - = -2; ④±= ±(-8) =±8正确的个数:( )
A. 0个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
错解 选择B或选择C 或选择D.
分析 要求一个数的平方根或进行有关平方根的运算时,必须保证被开方数是非负数,否则,就没有什么意义.
①②④的被开方数都是-64,是负数,所以,根本就没有意义,因此,也就无法进行运算;
③的被开方数是-22=-4,是负数,所以,根本就没有意义,因此,也就无法进行运算;
所以,上面的说法都是错误的,即正确的个数为0.正解:选择A.
四、平方根的应用
1. 填 空
(1)(-4)2的算术平方根是.
(2)625的平方根是,算术平方根是.
(3)的平方根为.
(4) -4是的一个平方根.
(5) = .
(6)的算术平方根的相反数是,的平方根的倒数是.
2. 选 择
(7)的平方根是().
A. ±3B. 3C. ±9D. 9
(8)下列叙述中正确的是( ).
A. 9的平方根是3B. 9的平方根是-3
C. 因32 = 9,故3是9 的一个平方根
D. 等于±3
(9)下列叙述中错误的是( )
A. 的算术平方根是
B. -3是9的一个平方根
C. 13是(-13)2的算术平方根
D. 0.4的算术平方根是0.02
(10)下列式子中,正确的是( )
A. = ±5 B. ± = 5
C.= -3 D. ()2 = 3
(11)下列各式中无意义的是()
A. - B. C. D.
参考答案
(1) 4 (2) ±25 、 25 (3) ±(4) 16 (5)π-3 (6) -,±8
(7)A(8)C(9)D(10)D (11)D
注:本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
一、平方根的概念
1. 用语言叙述:如果一个数的平方等于a,那么这个数就叫做a的平方根.
2. 用符号表示:如果x2 = a,那么x = ±.
3. 算术平方根:正数a的正的平方根,叫做a的算术平方根;0的算术平方根是0,用符号表示为:(a ≥ 0).
二、平方根的性质
1. 一个正数有两个平方根,它们互为相反数.
2. 0有一个平方根,它是0本身.
3. 负数没有平方根.
4. 算术平方根的性质:非负数的算术平方根还是非负数. 三、常见错误例析
1. 概念混淆,出现增解
例1 计算:.
错解 因(±8)2 = 64,故 = ±8.
分析 混淆了平方根与算术平方根的概念,错用符号,不理解的真正意义. 表示64的正的平方根,即算术平方根,它是一个非负数.
正解= 8.
2. 遗漏符号,出现失解
例2 求(-5)2的平方根.
错解 (-5)2 = 25,所以(-5)2的平方根为-5.
分析 一个正数的平方根是互为相反数的两个数.
正解 因(-5)2 = 25,所以25的平方根为±5.
3. 乱用运算律或者公式,导致偏差
例3 下列运算中错误的有().
① =-= 10 - 8 = 2;
② =+=+= ;
③ =1;④ - =- = -
A. ①②B. ③④ C. ①②③ D. ②③④
错选 选择A 或选择B或选择D.
分析 在进行数的开平方运算时,不论被开方数是和的形式、差的形式,还是符号公式,还是带分数的形式,在运算时,必须把被开方数的结果化成一个数的形式,要么是一个整数,要么是一个真分数,要么是一个假分数,同时,还要注意性质符号的一致性.
①的计算,乱用平方差公式,导致结果的错误;②的计算,乱用求两数的和的运算律,导致错误;③的计算,也是自己杜撰运算的方法,所以,运算的结果,当然是错误的;只有④严格按照运算的要求进行的,并且等号两边的数的性质符号也是一致的. 因此,①②③都是错误的. 正解:选C.
4. 忽视语言叙述含有的运算
例4的算术平方根为_________.
错解 4 .
分析 错在没有仔细审题,把题意理解为求16的算术平方根了,实际上,这道题是求16的算术平方根的算术平方根. 正解 因 = 4,所以的算术平方根为2,结果应填2.
5. 忽视隐含,产生误解
例5 (1.414 - )2的算术平方根是_________.
错解 1.414 - .
分析 错在忽视了隐含条件 > 1.414,即1.414 - 是负数.
正解- 1.414.
6. 忽视被开方数的意义,导致错误
例6 下列运算过程,
①-8是-64的平方根;② - = -(-8) = 8;
③ = - = -2; ④±= ±(-8) =±8正确的个数:( )
A. 0个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
错解 选择B或选择C 或选择D.
分析 要求一个数的平方根或进行有关平方根的运算时,必须保证被开方数是非负数,否则,就没有什么意义.
①②④的被开方数都是-64,是负数,所以,根本就没有意义,因此,也就无法进行运算;
③的被开方数是-22=-4,是负数,所以,根本就没有意义,因此,也就无法进行运算;
所以,上面的说法都是错误的,即正确的个数为0.正解:选择A.
四、平方根的应用
1. 填 空
(1)(-4)2的算术平方根是.
(2)625的平方根是,算术平方根是.
(3)的平方根为.
(4) -4是的一个平方根.
(5) = .
(6)的算术平方根的相反数是,的平方根的倒数是.
2. 选 择
(7)的平方根是().
A. ±3B. 3C. ±9D. 9
(8)下列叙述中正确的是( ).
A. 9的平方根是3B. 9的平方根是-3
C. 因32 = 9,故3是9 的一个平方根
D. 等于±3
(9)下列叙述中错误的是( )
A. 的算术平方根是
B. -3是9的一个平方根
C. 13是(-13)2的算术平方根
D. 0.4的算术平方根是0.02
(10)下列式子中,正确的是( )
A. = ±5 B. ± = 5
C.= -3 D. ()2 = 3
(11)下列各式中无意义的是()
A. - B. C. D.
参考答案
(1) 4 (2) ±25 、 25 (3) ±(4) 16 (5)π-3 (6) -,±8
(7)A(8)C(9)D(10)D (11)D
注:本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文