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平方根是数学里一个重要的概念，也是学习中的一个难点，下面从四个方面，谈谈如何学习平方根.
一、平方根的概念
１． 用语言叙述：如果一个数的平方等于ａ，那么这个数就叫做ａ的平方根.
２． 用符号表示：如果ｘ２ ＝ ａ，那么ｘ ＝ ±.
３． 算术平方根：正数ａ的正的平方根，叫做ａ的算术平方根；０的算术平方根是0，用符号表示为：（ａ ≥ ０）.
二、平方根的性质
１． 一个正数有两个平方根，它们互为相反数.
２． 0有一个平方根，它是0本身.
３． 负数没有平方根.
４． 算术平方根的性质：非负数的算术平方根还是非负数. 三、常见错误例析
１. 概念混淆，出现增解
例１ 计算：．
错解 因（±８）２ ＝ ６４，故 ＝ ±８．
分析 混淆了平方根与算术平方根的概念，错用符号，不理解的真正意义. 表示６４的正的平方根，即算术平方根，它是一个非负数.
正解＝ ８．
２. 遗漏符号，出现失解
例２ 求（－５）２的平方根.
错解 （－５）２ ＝ ２５，所以（－５）２的平方根为－５.
分析 一个正数的平方根是互为相反数的两个数.
正解 因（－５）２ ＝ ２５，所以２５的平方根为±５．
３. 乱用运算律或者公式，导致偏差
例３ 下列运算中错误的有（）.
① ＝-＝ １０ － ８ ＝ ２；
② =+=+= ；
③ =1；④ － =- = -
Ａ. ①②Ｂ. ③④ Ｃ. ①②③ Ｄ. ②③④
错选 选择Ａ 或选择Ｂ或选择Ｄ.
分析 在进行数的开平方运算时，不论被开方数是和的形式、差的形式，还是符号公式，还是带分数的形式，在运算时，必须把被开方数的结果化成一个数的形式，要么是一个整数，要么是一个真分数，要么是一个假分数，同时，还要注意性质符号的一致性.
①的计算，乱用平方差公式，导致结果的错误；②的计算，乱用求两数的和的运算律，导致错误；③的计算，也是自己杜撰运算的方法，所以，运算的结果，当然是错误的；只有④严格按照运算的要求进行的，并且等号两边的数的性质符号也是一致的. 因此，①②③都是错误的. 正解：选Ｃ.
４. 忽视语言叙述含有的运算
例４的算术平方根为＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
错解 ４ .
分析 错在没有仔细审题，把题意理解为求１６的算术平方根了，实际上，这道题是求１６的算术平方根的算术平方根. 正解 因 ＝ ４，所以的算术平方根为２，结果应填２.
５. 忽视隐含，产生误解
例５ （１．４１４ － ）２的算术平方根是＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
错解 １．４１４ － .
分析 错在忽视了隐含条件 ＞ １．４１４，即１．４１４ － 是负数.
正解－ １．４１４.
６. 忽视被开方数的意义，导致错误
例６ 下列运算过程，
①－８是－６４的平方根；② － ＝ －（－８） ＝ ８；
③ = - = -2； ④±＝ ±（－８） ＝±８正确的个数：（ ）
Ａ. ０个 Ｂ. ２个 Ｃ. ３个 Ｄ. ４个
错解 选择Ｂ或选择Ｃ 或选择Ｄ.
分析 要求一个数的平方根或进行有关平方根的运算时，必须保证被开方数是非负数，否则，就没有什么意义.
①②④的被开方数都是－６４，是负数，所以，根本就没有意义，因此，也就无法进行运算；
③的被开方数是－２２＝－４，是负数，所以，根本就没有意义，因此，也就无法进行运算；
所以，上面的说法都是错误的，即正确的个数为０.正解：选择Ａ.
四、平方根的应用
１． 填 空
（１）（－４）２的算术平方根是.
（２）６２５的平方根是，算术平方根是.
（３）的平方根为.
（４） －４是的一个平方根.
（５） ＝ .
（６）的算术平方根的相反数是，的平方根的倒数是.
２． 选 择
（７）的平方根是（）．
Ａ． ±３Ｂ． ３Ｃ． ±９Ｄ． ９
（８）下列叙述中正确的是（ ）.
Ａ． ９的平方根是３Ｂ． ９的平方根是－３
Ｃ． 因３２ ＝ ９，故３是９ 的一个平方根
Ｄ． 等于±３
（９）下列叙述中错误的是（ ）
Ａ． 的算术平方根是
Ｂ． －３是９的一个平方根
Ｃ． １３是（－１３）２的算术平方根
Ｄ． ０．４的算术平方根是０．０２
（１０）下列式子中，正确的是（ ）
Ａ． ＝ ±５ Ｂ． ± ＝ ５
Ｃ．＝ －３ Ｄ． （）２ ＝ ３
（１１）下列各式中无意义的是（）
Ａ． － Ｂ． Ｃ． Ｄ．
参考答案
（１） ４ （２） ±２５ 、 ２５ （３） ±（４） １６ （５）π－３ （６） －，±８
（７）Ａ（８）Ｃ（９）Ｄ（１０）Ｄ （１１）Ｄ
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
一、平方根的概念
１． 用语言叙述：如果一个数的平方等于ａ，那么这个数就叫做ａ的平方根.
２． 用符号表示：如果ｘ２ ＝ ａ，那么ｘ ＝ ±.
３． 算术平方根：正数ａ的正的平方根，叫做ａ的算术平方根；０的算术平方根是0，用符号表示为：（ａ ≥ ０）.
二、平方根的性质
１． 一个正数有两个平方根，它们互为相反数.
２． 0有一个平方根，它是0本身.
３． 负数没有平方根.
４． 算术平方根的性质：非负数的算术平方根还是非负数. 三、常见错误例析
１. 概念混淆，出现增解
例１ 计算：．
错解 因（±８）２ ＝ ６４，故 ＝ ±８．
分析 混淆了平方根与算术平方根的概念，错用符号，不理解的真正意义. 表示６４的正的平方根，即算术平方根，它是一个非负数.
正解＝ ８．
２. 遗漏符号，出现失解
例２ 求（－５）２的平方根.
错解 （－５）２ ＝ ２５，所以（－５）２的平方根为－５.
分析 一个正数的平方根是互为相反数的两个数.
正解 因（－５）２ ＝ ２５，所以２５的平方根为±５．
３. 乱用运算律或者公式，导致偏差
例３ 下列运算中错误的有（）.
① ＝-＝ １０ － ８ ＝ ２；
② =+=+= ；
③ =1；④ － =- = -
Ａ. ①②Ｂ. ③④ Ｃ. ①②③ Ｄ. ②③④
错选 选择Ａ 或选择Ｂ或选择Ｄ.
分析 在进行数的开平方运算时，不论被开方数是和的形式、差的形式，还是符号公式，还是带分数的形式，在运算时，必须把被开方数的结果化成一个数的形式，要么是一个整数，要么是一个真分数，要么是一个假分数，同时，还要注意性质符号的一致性.
①的计算，乱用平方差公式，导致结果的错误；②的计算，乱用求两数的和的运算律，导致错误；③的计算，也是自己杜撰运算的方法，所以，运算的结果，当然是错误的；只有④严格按照运算的要求进行的，并且等号两边的数的性质符号也是一致的. 因此，①②③都是错误的. 正解：选Ｃ.
４. 忽视语言叙述含有的运算
例４的算术平方根为＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
错解 ４ .
分析 错在没有仔细审题，把题意理解为求１６的算术平方根了，实际上，这道题是求１６的算术平方根的算术平方根. 正解 因 ＝ ４，所以的算术平方根为２，结果应填２.
５. 忽视隐含，产生误解
例５ （１．４１４ － ）２的算术平方根是＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
错解 １．４１４ － .
分析 错在忽视了隐含条件 ＞ １．４１４，即１．４１４ － 是负数.
正解－ １．４１４.
６. 忽视被开方数的意义，导致错误
例６ 下列运算过程，
①－８是－６４的平方根；② － ＝ －（－８） ＝ ８；
③ = - = -2； ④±＝ ±（－８） ＝±８正确的个数：（ ）
Ａ. ０个 Ｂ. ２个 Ｃ. ３个 Ｄ. ４个
错解 选择Ｂ或选择Ｃ 或选择Ｄ.
分析 要求一个数的平方根或进行有关平方根的运算时，必须保证被开方数是非负数，否则，就没有什么意义.
①②④的被开方数都是－６４，是负数，所以，根本就没有意义，因此，也就无法进行运算；
③的被开方数是－２２＝－４，是负数，所以，根本就没有意义，因此，也就无法进行运算；
所以，上面的说法都是错误的，即正确的个数为０.正解：选择Ａ.
四、平方根的应用
１． 填 空
（１）（－４）２的算术平方根是.
（２）６２５的平方根是，算术平方根是.
（３）的平方根为.
（４） －４是的一个平方根.
（５） ＝ .
（６）的算术平方根的相反数是，的平方根的倒数是.
２． 选 择
（７）的平方根是（）．
Ａ． ±３Ｂ． ３Ｃ． ±９Ｄ． ９
（８）下列叙述中正确的是（ ）.
Ａ． ９的平方根是３Ｂ． ９的平方根是－３
Ｃ． 因３２ ＝ ９，故３是９ 的一个平方根
Ｄ． 等于±３
（９）下列叙述中错误的是（ ）
Ａ． 的算术平方根是
Ｂ． －３是９的一个平方根
Ｃ． １３是（－１３）２的算术平方根
Ｄ． ０．４的算术平方根是０．０２
（１０）下列式子中，正确的是（ ）
Ａ． ＝ ±５ Ｂ． ± ＝ ５
Ｃ．＝ －３ Ｄ． （）２ ＝ ３
（１１）下列各式中无意义的是（）
Ａ． － Ｂ． Ｃ． Ｄ．
参考答案
（１） ４ （２） ±２５ 、 ２５ （３） ±（４） １６ （５）π－３ （６） －，±８
（７）Ａ（８）Ｃ（９）Ｄ（１０）Ｄ （１１）Ｄ
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文