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【摘要】 本文通过一节公开课的教学案例，谈谈在教学中如何以错误促进学生的思考，以教师的启发来激活学生的数学思维，让学生始终处于被肯定、被激励的状态中，时时感受到自己是学习的主人，目的是培养学生主动学习数学的意识和能力.
【关键词】 平行线；错误；思考；启发；思维
一节公开课的教学内容是沪教版 “１３．５（５）平行线的性质”，本课的主要内容是平行线性质和判定的综合应用，让学生进一步体会说理的分析方法和说理过程的表述规范，是今后学习几何证明的基础，在人类的生活和生产实践中也有广泛的应用.
教学片段１：搭建思考的平台
自然贴切的课堂导入是激发学生求知欲，吸引学生注意力的内在动力. 巧妙导入新课，能让学生在愉悦的情境下产生对知识的好奇和渴望，增强学生学习的积极性. 如果能够恰当地利用学生熟悉的背景或图形来完成这一过程，那就更加事半功倍了 .
问题讨论（情景引入）
师：本节课探讨如何运用平行线的判定和性质来解决实际问题. 如图，（１）要说明ＢＤ∥ＡＥ，请添加一个适当的条件，并说明添加的依据，请思考.
生１：∠ＡＦＤ ＝ ∠ＦＤＥ，依据内错角相等，两直线平行.
师：这的确是一对内错角，它们是哪两条直线被哪一条直线所截形成的. （启发学生思考）
生１：直线ＡＥ和直线ＣＥ被直线ＤＦ所截形成的，而直线ＡＥ和直线ＣＥ是不平行的，更不能说明ＢＤ∥ＡＥ.
师：你添加的条件合适吗？
生１：我明白了. 应该添加∠ＢＤＦ ＝ ∠ＤＦＥ.
出示问题：（２）如果ＤＦ∥ＡＣ，请在图中找出相等的角或互补的角，说出依据.
师：平行线的判定和性质的区别是什么？
生２：平行线的判定是用来判定两条直线平行，平行线的性质可以得出角的关系.
师：上面两个问题的条件和结论分别是什么？
生３：第一个问题是由角的关系推出平行关系，第二个问题是由平行关系推出角的关系.
教师板书 ：
平行线的判定
角 线
平行线的性质
片段１反思：这一问题将平行线的判定和性质进行全面概括，给学生许多可以思考的问题，抓住了学生的注意力. 一堂课要有一个自然贴切的课堂导入，才能在最短的时间内抓住学生的注意力. 给学生创设一个思考的平台，让学生在寻找角的关系中回忆平行线的判定和性质，利用这一设问激发学生思考问题的兴趣，在错误中认识问题的本质，发散学生思维，引发学生对数学问题的思考. 学习数学离不开学生的学习经验，在这里，将平行线的判定和性质应用探索浓缩在一个图形中，通过设计一系列问题，揭示了课题，同时让学生感悟要判定两直线平行，可以寻找角的关系，如一对同位角相等，一对内错角相等或一对同旁内角互补. 依据平行线的判定方法. 由平行线的性质可以得出角的相等或互补关系. 培养学生“用数学”的意识和能力.
教学片段２：变式中启发思维
（课件出示）例题１：已知：∠１ ＝ ∠２ ， ∠Ｃ ＝ ７０°，∠ＡＤＥ ＝ ７０°.问 ＢＤ平分∠ＡＢＣ吗？
（１）思考：学生思考后讨论交流想法. （２）教师引导分析： 要说明ＢＤ平分∠ＡＢＣ，就是要说明什么？
生：两个角相等，即∠１ ＝ ∠DBＣ.
师：题目中有这个条件吗？
生：没有.
师：有与此有关的条件吗？
生：有∠１ ＝ ∠２.
师：结合这个条件，你想到什么？
生：只要说明∠DBＣ ＝ ∠２.
师：∠Ｃ ＝ ７０°， ∠ＡＤＥ ＝ ７０°这两个条件的目的是什么？
生：是为了说明∠Ｃ ＝ ∠ＡＤＥ.
师：这两个角有特征吗？
生：是一对内错角
师：由此可以得到什么结论？
……
（３）打出证明过程，突出说理的规范表达.
归纳思考问题的策略：由已知条件，想到什么，依据是什么.
（４）请同学们思考：（如果改变题中的条件和结论，该如何求解）
本题中的四个数学语句重新组合
变式：已知： ＢＤ平分∠ＡＢＣ，∠１ ＝ ∠２，∠Ｃ ＝ ７０°.求∠ＡＤＥ 的度数. （本题让学生口述说理）
例题２：探索.
已知： ∠Ａ ＝ ∠Ｄ，∠Ｃ ＝ ∠Ｆ ，
问： ＣＥ与ＢＦ平行吗？为什么？
（１）思考：学生思考后讨论交流想法. （２）教师引导分析：
师：由∠Ａ ＝ ∠Ｄ这个条件，你想到什么？
生：ＦＤ∥ＡＣ.
师： ＦＤ∥ＡＣ作为条件得到什么？
生：可以得到许多结论，如∠Ｆ ＝ ∠ＦＢＡ，∠Ｃ ＋ ∠ＦＥＣ ＝ １８０°……我不知道需要哪个结论？
师：你问得很好. 大家都在思考同样的问题. 在这里也许你的思维受到一定的限制.
教师追问：你观察到题目中还有一个条件吗？这个条件的合理使用是解决问题的关键.
生：选择的结论应该考虑∠Ｃ ＝ ∠Ｆ这个条件. （学生受到启发，马上积极举手发言，思维顿时活跃起来，想出了多种思路解决本题. ）
……
变式：已知： ∠１ ＝ ∠２，∠Ｃ ＝ ∠Ｆ，问：∠Ａ ＝ ∠Ｄ吗？为什么？
通过该例题的分析，学生已初步感知解决问题的方法，即要抓住“由已知可知什么”、“待求量和已知量有什么关系”具体分析，所以本环节让学生尝试独立完成说理，鼓励学生进行思考分析. 帮助学生进一步巩固对几何说理的基本方法的领悟和规范表达的体验.
片段２反思：例题关注学生的知识的应用，让学生通过同桌交流、小组交流、全班交流等多形式，多方位地描述，既促使学生的合作探究，培养学生的思维，又提高了学生的语言表达能力，通过教师引领启发分析，深入分析已知条件，形成初步的分析方法，变式练习可以把初步形成的分析推理方法及对规范表述的体会进一步清晰明朗化. 用合理的启发引导，使学生的目光凝聚在一起，使学生的思维动起来.
教学体会
（一）学生的思维发展来自于教师的正确引导
本节课主要采用了传统的启发教学，以优化教师的教学方法和学生的学习方式为目的，将教材内容重组和整合，进行了大胆地探索. 学生由于基础不同，思维也存在差异，会给课堂提问造成困难. 如果老师在课堂中包办代替，学生给出错误的答案，不针对错误原因进行引导，而是直接给出正确答案，学生就会失去了思考的机会，对教材的理解会大打折扣. 如教学片段１，学生回答∠ＡＦＤ ＝ ∠ＦＤＥ，应对其错误原因进行分析和探讨，引发学生思考. 另外，如果教师死用教材，就题讲题，学生会失去动脑的机会，但如果对设计的问题进行变化，解读题目的本质，便能使学生积极思考，触类旁通，从而激活思维. 又如教学片段２中的例题２，在说理的基础上进行了变式提问，把问题进行拓展，知识进行整合，在探究的过程中，鼓励学生发表意见，学生出现错误时也并不急于打断学生，而是让学生说说自己的想法，充分暴露其思维的过程，这样，有助于学生从不同程度、不同角度积极思考，激活学生的思维.
（二）让学生在探索纠错中体验成功
整节课中，始终以学生自主探究、合作学习、全班交流的方式来开展知识应用学习. 课堂上，为学生提供了独立思考、分析错误，再思考，相互讨论、动手实践的过程. 授课时，通过创设情境，让学生演示、归纳、思考，经历知识的形成过程，增强他们学好几何的信心，让学生尝试通过自己的努力思考获得成功的喜悦. 例如，为了区别平行线判定和性质，让学生通过填表弄清条件和结论；在学习例题时，又让学生自己尝试解决问题，感受知识应用的乐趣……在整个过程中，学生自始至终处于被肯定、被激励的状态中，时时感受到自己是学习的主人，学生有较大的学习空间.
【参考文献】
［１］林远达．谈初中数学变式教学设计．福建中学数学［Ｊ］．２００７（１０）.
［２］张启青．激活思维 启发创新．数学教学通讯［Ｊ］．２００６（１１）.
【关键词】 平行线；错误；思考；启发；思维
一节公开课的教学内容是沪教版 “１３．５（５）平行线的性质”，本课的主要内容是平行线性质和判定的综合应用，让学生进一步体会说理的分析方法和说理过程的表述规范，是今后学习几何证明的基础，在人类的生活和生产实践中也有广泛的应用.
教学片段１：搭建思考的平台
自然贴切的课堂导入是激发学生求知欲，吸引学生注意力的内在动力. 巧妙导入新课，能让学生在愉悦的情境下产生对知识的好奇和渴望，增强学生学习的积极性. 如果能够恰当地利用学生熟悉的背景或图形来完成这一过程，那就更加事半功倍了 .
问题讨论（情景引入）
师：本节课探讨如何运用平行线的判定和性质来解决实际问题. 如图，（１）要说明ＢＤ∥ＡＥ，请添加一个适当的条件，并说明添加的依据，请思考.
生１：∠ＡＦＤ ＝ ∠ＦＤＥ，依据内错角相等，两直线平行.
师：这的确是一对内错角，它们是哪两条直线被哪一条直线所截形成的. （启发学生思考）
生１：直线ＡＥ和直线ＣＥ被直线ＤＦ所截形成的，而直线ＡＥ和直线ＣＥ是不平行的，更不能说明ＢＤ∥ＡＥ.
师：你添加的条件合适吗？
生１：我明白了. 应该添加∠ＢＤＦ ＝ ∠ＤＦＥ.
出示问题：（２）如果ＤＦ∥ＡＣ，请在图中找出相等的角或互补的角，说出依据.
师：平行线的判定和性质的区别是什么？
生２：平行线的判定是用来判定两条直线平行，平行线的性质可以得出角的关系.
师：上面两个问题的条件和结论分别是什么？
生３：第一个问题是由角的关系推出平行关系，第二个问题是由平行关系推出角的关系.
教师板书 ：
平行线的判定
角 线
平行线的性质
片段１反思：这一问题将平行线的判定和性质进行全面概括，给学生许多可以思考的问题，抓住了学生的注意力. 一堂课要有一个自然贴切的课堂导入，才能在最短的时间内抓住学生的注意力. 给学生创设一个思考的平台，让学生在寻找角的关系中回忆平行线的判定和性质，利用这一设问激发学生思考问题的兴趣，在错误中认识问题的本质，发散学生思维，引发学生对数学问题的思考. 学习数学离不开学生的学习经验，在这里，将平行线的判定和性质应用探索浓缩在一个图形中，通过设计一系列问题，揭示了课题，同时让学生感悟要判定两直线平行，可以寻找角的关系，如一对同位角相等，一对内错角相等或一对同旁内角互补. 依据平行线的判定方法. 由平行线的性质可以得出角的相等或互补关系. 培养学生“用数学”的意识和能力.
教学片段２：变式中启发思维
（课件出示）例题１：已知：∠１ ＝ ∠２ ， ∠Ｃ ＝ ７０°，∠ＡＤＥ ＝ ７０°.问 ＢＤ平分∠ＡＢＣ吗？
（１）思考：学生思考后讨论交流想法. （２）教师引导分析： 要说明ＢＤ平分∠ＡＢＣ，就是要说明什么？
生：两个角相等，即∠１ ＝ ∠DBＣ.
师：题目中有这个条件吗？
生：没有.
师：有与此有关的条件吗？
生：有∠１ ＝ ∠２.
师：结合这个条件，你想到什么？
生：只要说明∠DBＣ ＝ ∠２.
师：∠Ｃ ＝ ７０°， ∠ＡＤＥ ＝ ７０°这两个条件的目的是什么？
生：是为了说明∠Ｃ ＝ ∠ＡＤＥ.
师：这两个角有特征吗？
生：是一对内错角
师：由此可以得到什么结论？
……
（３）打出证明过程，突出说理的规范表达.
归纳思考问题的策略：由已知条件，想到什么，依据是什么.
（４）请同学们思考：（如果改变题中的条件和结论，该如何求解）
本题中的四个数学语句重新组合
变式：已知： ＢＤ平分∠ＡＢＣ，∠１ ＝ ∠２，∠Ｃ ＝ ７０°.求∠ＡＤＥ 的度数. （本题让学生口述说理）
例题２：探索.
已知： ∠Ａ ＝ ∠Ｄ，∠Ｃ ＝ ∠Ｆ ，
问： ＣＥ与ＢＦ平行吗？为什么？
（１）思考：学生思考后讨论交流想法. （２）教师引导分析：
师：由∠Ａ ＝ ∠Ｄ这个条件，你想到什么？
生：ＦＤ∥ＡＣ.
师： ＦＤ∥ＡＣ作为条件得到什么？
生：可以得到许多结论，如∠Ｆ ＝ ∠ＦＢＡ，∠Ｃ ＋ ∠ＦＥＣ ＝ １８０°……我不知道需要哪个结论？
师：你问得很好. 大家都在思考同样的问题. 在这里也许你的思维受到一定的限制.
教师追问：你观察到题目中还有一个条件吗？这个条件的合理使用是解决问题的关键.
生：选择的结论应该考虑∠Ｃ ＝ ∠Ｆ这个条件. （学生受到启发，马上积极举手发言，思维顿时活跃起来，想出了多种思路解决本题. ）
……
变式：已知： ∠１ ＝ ∠２，∠Ｃ ＝ ∠Ｆ，问：∠Ａ ＝ ∠Ｄ吗？为什么？
通过该例题的分析，学生已初步感知解决问题的方法，即要抓住“由已知可知什么”、“待求量和已知量有什么关系”具体分析，所以本环节让学生尝试独立完成说理，鼓励学生进行思考分析. 帮助学生进一步巩固对几何说理的基本方法的领悟和规范表达的体验.
片段２反思：例题关注学生的知识的应用，让学生通过同桌交流、小组交流、全班交流等多形式，多方位地描述，既促使学生的合作探究，培养学生的思维，又提高了学生的语言表达能力，通过教师引领启发分析，深入分析已知条件，形成初步的分析方法，变式练习可以把初步形成的分析推理方法及对规范表述的体会进一步清晰明朗化. 用合理的启发引导，使学生的目光凝聚在一起，使学生的思维动起来.
教学体会
（一）学生的思维发展来自于教师的正确引导
本节课主要采用了传统的启发教学，以优化教师的教学方法和学生的学习方式为目的，将教材内容重组和整合，进行了大胆地探索. 学生由于基础不同，思维也存在差异，会给课堂提问造成困难. 如果老师在课堂中包办代替，学生给出错误的答案，不针对错误原因进行引导，而是直接给出正确答案，学生就会失去了思考的机会，对教材的理解会大打折扣. 如教学片段１，学生回答∠ＡＦＤ ＝ ∠ＦＤＥ，应对其错误原因进行分析和探讨，引发学生思考. 另外，如果教师死用教材，就题讲题，学生会失去动脑的机会，但如果对设计的问题进行变化，解读题目的本质，便能使学生积极思考，触类旁通，从而激活思维. 又如教学片段２中的例题２，在说理的基础上进行了变式提问，把问题进行拓展，知识进行整合，在探究的过程中，鼓励学生发表意见，学生出现错误时也并不急于打断学生，而是让学生说说自己的想法，充分暴露其思维的过程，这样，有助于学生从不同程度、不同角度积极思考，激活学生的思维.
（二）让学生在探索纠错中体验成功
整节课中，始终以学生自主探究、合作学习、全班交流的方式来开展知识应用学习. 课堂上，为学生提供了独立思考、分析错误，再思考，相互讨论、动手实践的过程. 授课时，通过创设情境，让学生演示、归纳、思考，经历知识的形成过程，增强他们学好几何的信心，让学生尝试通过自己的努力思考获得成功的喜悦. 例如，为了区别平行线判定和性质，让学生通过填表弄清条件和结论；在学习例题时，又让学生自己尝试解决问题，感受知识应用的乐趣……在整个过程中，学生自始至终处于被肯定、被激励的状态中，时时感受到自己是学习的主人，学生有较大的学习空间.
【参考文献】
［１］林远达．谈初中数学变式教学设计．福建中学数学［Ｊ］．２００７（１０）.
［２］张启青．激活思维 启发创新．数学教学通讯［Ｊ］．２００６（１１）.