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摘 要:数学教育的关键归结到一点,那就是掌握数学的“精髓和灵魂”——数学思想方法。学生掌握了数学思想方法,就能从整体上、本质上把握数学,优化数学思维品质、实现教育目标,使学生获得终生受益的东西。
关键词:数学 思想 激活
中图分类号:G633.6 文献标识码:A 文章编号:1673-1875(2010)04-170-02
数学教育的基本问题是“教”与“学”的问题,即教师如何教,教到什么程度?学生如何学,学什么?是注重形式计算,还是注重理解与实际应用?是注重严谨的定义,还是注重本质的思想?是注重结论的演绎论证,还是注重结论的发现过程?这些问题的关键归结到一点,那就是掌握数学的“精髓和灵魂”——数学思想方法。数学思想方法是数学思想和教学方法的总称。数学思想是解决数学问题的根本策略,数学方法是解决数学问题的手段和工具。学生掌握了数学思想方法,就能从整体上、本质上把握数学,优化数学思维品质、实现教育目标,使学生获得终生受益的东西。
美国心理学家布鲁纳认为,“不论我们选教什么学科,务必使学生理解该学科的基本结构”。对于数学学科来讲,数学思想方法模式是最基本的教学模式,为此数学教学必须重视数学思想、方法的教学。相对于概念、性质、公式等数学基本知识,数学思想、方法是深层知识。它不是作为一个独立的知识实体显现于教材当中,它是隐含在基础知识当中,归纳到基础知识的范畴之内的。
新课标下初中数学思想方法教学的基本途径
1、在知识发生过程中渗透数学思想方法
《新课标》指出,在进行概念教学时,应当让学生了解概念、结论等产生的背景、应用,理解基本的数学概念、数学结论的本质,体会其中所蕴涵的数学思想和方法,以及它们在后续学习中的作用,通过不同形式的自主学习、探究活动,体验数学发现和创造的历程。因而教师在此过程中,需要向学生提供丰富的、典型的、正确的发现背景材料,让学生在老师指导下,对感性材料进行分析、综合、比较、分类、抽象、概括、系统化、具体化,这不仅是对数学思维方法的极好训练,也是对数学抽象与数学模型方法觉悟的极好机会。
比如数与数轴,函数与平面直角坐标。进行概念教学时,可引导学生领悟数形结合的思想:数即表示一个“实数”,数轴即为“形”,数形结合即表示数轴上的一个点可以用一个实数表示,一个实数在数轴上表示一个点。同理,用数形结合观点解释函数与平面直角坐标,即平面直角坐标系中的一个点与一有序实数对(x,y)一一对应。经教师这么一分析,将隐含于概念当中的数形结合思想化隐为显,学生很容易就接受了这一思想。又如列方程解应用题多采用图示法,教学过程中要充分利用图形的直观性和具体性,引导学生从图形上发现数量关系找出解决问题的突破口。再如在讲“圆与圆的位置关系”时,可自制圆形纸板,进行运动实验,让学生首先从形的角度认识圆与圆的位置关系,然后可激发学生积极主动探索两圆的位置关系反映到数上有何特征。这种借助于形通过数的运算推理研究问题的数形结合思想,在教学中要不失时机地渗透;这样不仅可提高学生的迁移思维能力,还可培养学生的数形转换能力和多角度思考问题的习惯。
需要指出,有些数学的概念本身就蕴含着某种思想方法,例如,数的绝对值和算术根的概念中蕴含着分类思想,又如,几何中角和距离概念中也蕴含着转化的思想。
对于规律(定理、公式、法则等),也要重视其发生过程的教学,教师也应当善于引导学生通过感性的直观背景材料或己有的知识发现规律,不过早地给结论,弄清抽象、概括或证明的过程,充分地向学生展现自己是怎样思考的,使学生了解蕴含其中的思想方法。如有理数加法法则的教学,可设计若干问题,有意识地渗透、再现一些重要的教学思想方法,在讨论两个有理数相加有多少种可能情形时明示分类讨论的数学思想.
2、在思维教学过程中揭示数学思想方法
《新课标》指出:“学生的数学学习内容要有利于学生主动地进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动。”“有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿和记忆,动手操作、自主探索和合作交流是学生学习数学的重要方式。” 以新课程理念为指导确立了以“创设情境—自主探究—合作交流—自我反思”为基本流程的数学课堂教学模式。
下面以“多边形内角和定理”的课堂教学为例,阐述转化思想的本质。
(1)创设问题情境,激发探索欲望,蕴含类比转化思想。问:四边形内角和是多少?如何探求?五边形内角和你会探求吗?……n边形呢?
(2)鼓励自主探究,指导发现方法,渗透类比、归纳、猜想思想。问:从四边形内角和的探求方法,能给你什么启示?五边形如何转化为三角形?转化为几个三角形?……n边形呢?猜想n边形内角和?
(3)暴露思维过程,探索论证方法,揭示转化思想、分类方法。问:如何验证上面的猜想?既然多边形内角和可转化为三角形来处理,那么转化方法是否唯一?如何转化?哪一种对获取证明最简洁?至此,多边形内角和定理论证的思维过程就充分暴露出来了。
(4)反思探索过程,优化思维方式,激活转化思想。从上面的探索过程中,可以揭示转化思想的本质——化未知为已知。 考察式子 :n边形内角和=n×180°-360°” ,你能设计一个几何图形来解释吗?对于n边形内角和=(n-1)×180°-180°,又能作怎样的几何解释?
让学生亲自参与探索定理的结论及证明过程,数学思想方法在这一教学过程中得到充分有效地发展。
3、在问题探索过程中激活数学思想方法
数学思想方法的教学在使学生初步领悟并形成某些思想方法的基础上,还要积极引导学生参与数学问题的解决过程,并通过学生主动的数学活动激活数学思想方法。逐步形成用数学指导思想活动,探索解题路径,通过问题教学将思想方法的教学推向深入。
研究下面一组题:
例1:(1)求|X-1|+|X-2|的最小值。
(2)求|X-1|+|X-2|+|X-3|的最小值。
(3)求|X-1|+|X-2|+|X-3|+|X-4|的最小值。
问:这组题有何相似之处?对,都含有绝对值。再问:如何去绝对值?引导学生激活头脑中的分类讨论的数学思想方法。师生共同讨论:
当x<1,原式=1-x+2-X=-2X+3>1,
当1≤x≤2时,原式=x-1+2-X=1
当x>2时,原式=x-1+x-2=2x-3>1
示例之后,学生能举一反三解决(2)、(3)题。
问:这组题还能用其他方法解决吗?引导学生思考绝对值的几何意义。问:能否用几何方法解决代数问题?想一想用数轴,通过转化,赋予求代数式|X-1|+|x-2|的最小值以几何意义:在数轴上有两点A、B,其坐标分别是1、2,求一点P,使PA+PB最小。如图:A B
-1 0 l 2
这样问题将迎刃而解。当P在AB上时,PA+PB=1为最小.问:在这种解法中用到的是什么数学思想?学生将体会数形结合思想在解题当中的妙处。
这一组习题解决后,学生的分类讨论、数形结合思想被激活,再进一步加强,用下面一组习题巩固。
例2:(1)求使(x-1)(x-2)≥0的X的取值范围。
(2)求使(x-1)(x-2)(x-3)≥0的X的取值范围。
(3)求使(x-1)(x-2)(x-3)(x--4)≥0的x的取值范围。
通过以上学习,学生已能自觉、主动地运用分类讨论、数形结合的数学思想方法解决问题。重视问题解决是数学新课程目标中的一个显著特点。
4、在知识的总结归纳过程中概括数学思想方法
由于同一数学知识可表现出不同的数学思想方法.而同一数学思想方法又常常分布在许多不同的知识点里,所以通过课堂小结,单元总结或总复习,甚至是某个概念、定理、公式、问题教学都可以在纵横两方面归纳概括出数学思想方法。
比如在一次函数的单元复习中,横向看由图象提炼数形结合思想;纵向看由求两直线的交点联想二元一次方程组归纳方程思想、转化思想及建模思想。
再如教完二元一次方程组的解法之后概括将“二元”转化为“一元”的思想,将转化思想、类比思想推广至三元一次方程组,多元一次方程组。
综上所述,在初中数学教学的每一个环节上,都要有意识地引导,抓住传播数学思想方法的每一个机会,长此训练和培养,学生才能逐渐步入数学思想方法的自由王国。
关键词:数学 思想 激活
中图分类号:G633.6 文献标识码:A 文章编号:1673-1875(2010)04-170-02
数学教育的基本问题是“教”与“学”的问题,即教师如何教,教到什么程度?学生如何学,学什么?是注重形式计算,还是注重理解与实际应用?是注重严谨的定义,还是注重本质的思想?是注重结论的演绎论证,还是注重结论的发现过程?这些问题的关键归结到一点,那就是掌握数学的“精髓和灵魂”——数学思想方法。数学思想方法是数学思想和教学方法的总称。数学思想是解决数学问题的根本策略,数学方法是解决数学问题的手段和工具。学生掌握了数学思想方法,就能从整体上、本质上把握数学,优化数学思维品质、实现教育目标,使学生获得终生受益的东西。
美国心理学家布鲁纳认为,“不论我们选教什么学科,务必使学生理解该学科的基本结构”。对于数学学科来讲,数学思想方法模式是最基本的教学模式,为此数学教学必须重视数学思想、方法的教学。相对于概念、性质、公式等数学基本知识,数学思想、方法是深层知识。它不是作为一个独立的知识实体显现于教材当中,它是隐含在基础知识当中,归纳到基础知识的范畴之内的。
新课标下初中数学思想方法教学的基本途径
1、在知识发生过程中渗透数学思想方法
《新课标》指出,在进行概念教学时,应当让学生了解概念、结论等产生的背景、应用,理解基本的数学概念、数学结论的本质,体会其中所蕴涵的数学思想和方法,以及它们在后续学习中的作用,通过不同形式的自主学习、探究活动,体验数学发现和创造的历程。因而教师在此过程中,需要向学生提供丰富的、典型的、正确的发现背景材料,让学生在老师指导下,对感性材料进行分析、综合、比较、分类、抽象、概括、系统化、具体化,这不仅是对数学思维方法的极好训练,也是对数学抽象与数学模型方法觉悟的极好机会。
比如数与数轴,函数与平面直角坐标。进行概念教学时,可引导学生领悟数形结合的思想:数即表示一个“实数”,数轴即为“形”,数形结合即表示数轴上的一个点可以用一个实数表示,一个实数在数轴上表示一个点。同理,用数形结合观点解释函数与平面直角坐标,即平面直角坐标系中的一个点与一有序实数对(x,y)一一对应。经教师这么一分析,将隐含于概念当中的数形结合思想化隐为显,学生很容易就接受了这一思想。又如列方程解应用题多采用图示法,教学过程中要充分利用图形的直观性和具体性,引导学生从图形上发现数量关系找出解决问题的突破口。再如在讲“圆与圆的位置关系”时,可自制圆形纸板,进行运动实验,让学生首先从形的角度认识圆与圆的位置关系,然后可激发学生积极主动探索两圆的位置关系反映到数上有何特征。这种借助于形通过数的运算推理研究问题的数形结合思想,在教学中要不失时机地渗透;这样不仅可提高学生的迁移思维能力,还可培养学生的数形转换能力和多角度思考问题的习惯。
需要指出,有些数学的概念本身就蕴含着某种思想方法,例如,数的绝对值和算术根的概念中蕴含着分类思想,又如,几何中角和距离概念中也蕴含着转化的思想。
对于规律(定理、公式、法则等),也要重视其发生过程的教学,教师也应当善于引导学生通过感性的直观背景材料或己有的知识发现规律,不过早地给结论,弄清抽象、概括或证明的过程,充分地向学生展现自己是怎样思考的,使学生了解蕴含其中的思想方法。如有理数加法法则的教学,可设计若干问题,有意识地渗透、再现一些重要的教学思想方法,在讨论两个有理数相加有多少种可能情形时明示分类讨论的数学思想.
2、在思维教学过程中揭示数学思想方法
《新课标》指出:“学生的数学学习内容要有利于学生主动地进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动。”“有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿和记忆,动手操作、自主探索和合作交流是学生学习数学的重要方式。” 以新课程理念为指导确立了以“创设情境—自主探究—合作交流—自我反思”为基本流程的数学课堂教学模式。
下面以“多边形内角和定理”的课堂教学为例,阐述转化思想的本质。
(1)创设问题情境,激发探索欲望,蕴含类比转化思想。问:四边形内角和是多少?如何探求?五边形内角和你会探求吗?……n边形呢?
(2)鼓励自主探究,指导发现方法,渗透类比、归纳、猜想思想。问:从四边形内角和的探求方法,能给你什么启示?五边形如何转化为三角形?转化为几个三角形?……n边形呢?猜想n边形内角和?
(3)暴露思维过程,探索论证方法,揭示转化思想、分类方法。问:如何验证上面的猜想?既然多边形内角和可转化为三角形来处理,那么转化方法是否唯一?如何转化?哪一种对获取证明最简洁?至此,多边形内角和定理论证的思维过程就充分暴露出来了。
(4)反思探索过程,优化思维方式,激活转化思想。从上面的探索过程中,可以揭示转化思想的本质——化未知为已知。 考察式子 :n边形内角和=n×180°-360°” ,你能设计一个几何图形来解释吗?对于n边形内角和=(n-1)×180°-180°,又能作怎样的几何解释?
让学生亲自参与探索定理的结论及证明过程,数学思想方法在这一教学过程中得到充分有效地发展。
3、在问题探索过程中激活数学思想方法
数学思想方法的教学在使学生初步领悟并形成某些思想方法的基础上,还要积极引导学生参与数学问题的解决过程,并通过学生主动的数学活动激活数学思想方法。逐步形成用数学指导思想活动,探索解题路径,通过问题教学将思想方法的教学推向深入。
研究下面一组题:
例1:(1)求|X-1|+|X-2|的最小值。
(2)求|X-1|+|X-2|+|X-3|的最小值。
(3)求|X-1|+|X-2|+|X-3|+|X-4|的最小值。
问:这组题有何相似之处?对,都含有绝对值。再问:如何去绝对值?引导学生激活头脑中的分类讨论的数学思想方法。师生共同讨论:
当x<1,原式=1-x+2-X=-2X+3>1,
当1≤x≤2时,原式=x-1+2-X=1
当x>2时,原式=x-1+x-2=2x-3>1
示例之后,学生能举一反三解决(2)、(3)题。
问:这组题还能用其他方法解决吗?引导学生思考绝对值的几何意义。问:能否用几何方法解决代数问题?想一想用数轴,通过转化,赋予求代数式|X-1|+|x-2|的最小值以几何意义:在数轴上有两点A、B,其坐标分别是1、2,求一点P,使PA+PB最小。如图:A B
-1 0 l 2
这样问题将迎刃而解。当P在AB上时,PA+PB=1为最小.问:在这种解法中用到的是什么数学思想?学生将体会数形结合思想在解题当中的妙处。
这一组习题解决后,学生的分类讨论、数形结合思想被激活,再进一步加强,用下面一组习题巩固。
例2:(1)求使(x-1)(x-2)≥0的X的取值范围。
(2)求使(x-1)(x-2)(x-3)≥0的X的取值范围。
(3)求使(x-1)(x-2)(x-3)(x--4)≥0的x的取值范围。
通过以上学习,学生已能自觉、主动地运用分类讨论、数形结合的数学思想方法解决问题。重视问题解决是数学新课程目标中的一个显著特点。
4、在知识的总结归纳过程中概括数学思想方法
由于同一数学知识可表现出不同的数学思想方法.而同一数学思想方法又常常分布在许多不同的知识点里,所以通过课堂小结,单元总结或总复习,甚至是某个概念、定理、公式、问题教学都可以在纵横两方面归纳概括出数学思想方法。
比如在一次函数的单元复习中,横向看由图象提炼数形结合思想;纵向看由求两直线的交点联想二元一次方程组归纳方程思想、转化思想及建模思想。
再如教完二元一次方程组的解法之后概括将“二元”转化为“一元”的思想,将转化思想、类比思想推广至三元一次方程组,多元一次方程组。
综上所述,在初中数学教学的每一个环节上,都要有意识地引导,抓住传播数学思想方法的每一个机会,长此训练和培养,学生才能逐渐步入数学思想方法的自由王国。