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国际数学委员会副主席安提卡指出:“研究表明,数学学习不是一个连续过程,它必须重新组织、重新认识,有时甚至要与以前的知识和思考模式真正决裂。”显然,从认知角度分析,学生的数学学习必然要经历一个建构、解构、再重新建构的过程。在此过程中,“重构”的作用极为独特,它是认知活动中起承转合的重要一环,也是凸显思维深刻性的有力保障。我们认为,就数学课堂教学实践而言,重构主要体现在以下几个方面。
一、重塑原有观念
南京大学郑毓信教授说:“应强调的是,所说的‘重组’或‘重构’往往意味着用一种新的观点去看待一件熟悉的事物。”在教学中,教师要正视学生的数学现实,引领其积极思考,及时调整、重塑学生的原有观念。
例如,教学苏教版六年级上册“倒数”一课时,导入的过程中笔者问:“什么是倒数?”在这样的问题下,有学生回答:“倒数就是倒过来的数。”笔者进一步追问:“大家想一想,■的倒数是几?”学生能够答出:“是■。”“■和■互为倒数”的结论很自然地得出了。为了进一步引导学生思考,笔者给出0.8和0.15两个小数,设疑:“小数有没有倒数?”学生先是沉思,一会有学生说有办法,笔者没有让这部分学生作答,而是反过来询问没有能够找到方法的学生问其出现了什么困难,再进一步问:“这两个数有没有办法化成分数……”经过笔者这样一点拨,学生很自然地想到可以先化分数,再得出了0.8、0.15的倒数。最后,笔者又出示8和18两个整数,这时学生很顺利地联想到它们的倒数是存在的。先抛出“什么是倒数?”这个问题,使学生脑海中原有的观念受到冲击,再进一步引导学生进行讨论和交流,学生就能够自主建构正确的倒数概念。
从教学中可以看出学生原始的对倒数的认识,尽管模糊而不准确,却弥足珍贵,“重构”的重要价值被教师的有效教学充分显现。学生经历此过程后,他们的观念得以有效地更新,思考问题也更为深入。
二、重组认知结构
皮亚杰说过:“全部数学都可以按照结构的建构来考虑,而这种建构始终是开放的……”显然,学生的认知结构处于不断地完善中,随着有效认知活动的开展,学生的认知结构将逐渐拓展形成体系。
例如,笔者在和学生一起探究苏教版四年级上册的“复式统计表”时,笔者拿出了四张分别统计四个班的男女生人数的单式统计表后,借助于一个游戏设置了问题情境:“从表中,我们可以看出哪个班的女生最少?这4个班级男生一共有多少人?”在教学中笔者发现,学生能够很顺利地回答第一个问题,而对第二个问题,学生往往会被卡住,笔者顿时感受到单式统计表存在着较大的局限性,引发认知冲突,新的需要得以生成。为了形成新的认知平衡,学生自然要寻求方法,最终思维集中到将单式统计表合并这个点上。接着笔者鼓励学生重组几张单式统计表,经过师生的互动探究活动,一张完整的复式统计表最终得以完工,问题的答案也浮出水面。在这个过程中,学生重组了有关统计表的知识结构。
从学生的认知结构来看,开放性是主要特点,新的知识对原有认知不断地构成冲击,认知平衡被一次次打破,认知结构需要不断地重组和完善,而这一过程也驱使学生的数学学习变得更为有效。
三、重建概念联系
从概念建构角度说,所谓重构,就是概念的重新安排或者概念间关系的重组,并最终形成新的概念联系。学生是否具有对概念的联结能力,是体现其思维深刻性的重要方面。
例如,笔者和学生一起学习苏教版五年级上册的“小数除以整数”一课时,学生说出算式12÷5后,教师就让学生尝试列竖式。反馈时,教师重点放在研讨 “余下的2要添0再除”这一环节。教师先问:“这里为什么要添上0?”学生阐述了小数的性质,并说明了商定位的规则和意义。教师追问:“为什么以前除到有余数就可直接得出答案,而现在却要继续除下去?”有学生说,这样继续除下去结果更精确。在对比和辨析中,学生完成概念的习得。这样处理,既突出了小数除法的存在价值,又沟通了小数除法与整数除法的联系。
概念网络处于不断的变化和重建之中,有了丰富的概念网络支撑,学生的数学学习会显得更灵活和深入。
四、重排错误密码
在数学学习活动中,学生有时会出现某些偏差,这种偏差,对学生数学学习的“重构”起着抑制作用。教师要善于发现学生认识中的“错误密码”,洞察其深层原因,巧妙地予以重排。
例如,笔者在和学生一起学习苏教版三年级上册的“认识周长”一课时,笔者借助于一道练习题进行导入:设置两个图形(边长为4厘米的正方形和长5厘米、宽2厘米的长方形),让学生先自主求解其周长。接着,笔者将这两个图形进行重组,拼成了一个组合图形,引导学生猜一猜组合图形的周长为多少。很多学生在最开始都错误地认为周长为30厘米。面对学生的错误,笔者要求学生想办法验证自己的猜想。教学实践中笔者发现,在寻求验证方法的过程中,有学生得出:“周长不是30厘米,是26厘米。”再进一步交流的过程中,学生还能得到更为简洁的方式。
诚然,学生的直觉猜测,有时会导致各种各样的错误出现。在师生共同矫正错误的过程中,学生经历了激烈的观念冲突,重排了错误密码,其思维必然于盘旋中走向深刻。
总之,在经历了认知重构过程后,学生思考问题会更具理性,他们对概念的理解会更透彻,学生思维的深刻性得到加强,其认知结构也能得到深度拓展,最终,学生的数学学习得以向更深处发展。
[本文系南通市教育科学“十二五”规划课题“小学数学顺应主体发展的课堂实践与研究” 课题研究成果]
一、重塑原有观念
南京大学郑毓信教授说:“应强调的是,所说的‘重组’或‘重构’往往意味着用一种新的观点去看待一件熟悉的事物。”在教学中,教师要正视学生的数学现实,引领其积极思考,及时调整、重塑学生的原有观念。
例如,教学苏教版六年级上册“倒数”一课时,导入的过程中笔者问:“什么是倒数?”在这样的问题下,有学生回答:“倒数就是倒过来的数。”笔者进一步追问:“大家想一想,■的倒数是几?”学生能够答出:“是■。”“■和■互为倒数”的结论很自然地得出了。为了进一步引导学生思考,笔者给出0.8和0.15两个小数,设疑:“小数有没有倒数?”学生先是沉思,一会有学生说有办法,笔者没有让这部分学生作答,而是反过来询问没有能够找到方法的学生问其出现了什么困难,再进一步问:“这两个数有没有办法化成分数……”经过笔者这样一点拨,学生很自然地想到可以先化分数,再得出了0.8、0.15的倒数。最后,笔者又出示8和18两个整数,这时学生很顺利地联想到它们的倒数是存在的。先抛出“什么是倒数?”这个问题,使学生脑海中原有的观念受到冲击,再进一步引导学生进行讨论和交流,学生就能够自主建构正确的倒数概念。
从教学中可以看出学生原始的对倒数的认识,尽管模糊而不准确,却弥足珍贵,“重构”的重要价值被教师的有效教学充分显现。学生经历此过程后,他们的观念得以有效地更新,思考问题也更为深入。
二、重组认知结构
皮亚杰说过:“全部数学都可以按照结构的建构来考虑,而这种建构始终是开放的……”显然,学生的认知结构处于不断地完善中,随着有效认知活动的开展,学生的认知结构将逐渐拓展形成体系。
例如,笔者在和学生一起探究苏教版四年级上册的“复式统计表”时,笔者拿出了四张分别统计四个班的男女生人数的单式统计表后,借助于一个游戏设置了问题情境:“从表中,我们可以看出哪个班的女生最少?这4个班级男生一共有多少人?”在教学中笔者发现,学生能够很顺利地回答第一个问题,而对第二个问题,学生往往会被卡住,笔者顿时感受到单式统计表存在着较大的局限性,引发认知冲突,新的需要得以生成。为了形成新的认知平衡,学生自然要寻求方法,最终思维集中到将单式统计表合并这个点上。接着笔者鼓励学生重组几张单式统计表,经过师生的互动探究活动,一张完整的复式统计表最终得以完工,问题的答案也浮出水面。在这个过程中,学生重组了有关统计表的知识结构。
从学生的认知结构来看,开放性是主要特点,新的知识对原有认知不断地构成冲击,认知平衡被一次次打破,认知结构需要不断地重组和完善,而这一过程也驱使学生的数学学习变得更为有效。
三、重建概念联系
从概念建构角度说,所谓重构,就是概念的重新安排或者概念间关系的重组,并最终形成新的概念联系。学生是否具有对概念的联结能力,是体现其思维深刻性的重要方面。
例如,笔者和学生一起学习苏教版五年级上册的“小数除以整数”一课时,学生说出算式12÷5后,教师就让学生尝试列竖式。反馈时,教师重点放在研讨 “余下的2要添0再除”这一环节。教师先问:“这里为什么要添上0?”学生阐述了小数的性质,并说明了商定位的规则和意义。教师追问:“为什么以前除到有余数就可直接得出答案,而现在却要继续除下去?”有学生说,这样继续除下去结果更精确。在对比和辨析中,学生完成概念的习得。这样处理,既突出了小数除法的存在价值,又沟通了小数除法与整数除法的联系。
概念网络处于不断的变化和重建之中,有了丰富的概念网络支撑,学生的数学学习会显得更灵活和深入。
四、重排错误密码
在数学学习活动中,学生有时会出现某些偏差,这种偏差,对学生数学学习的“重构”起着抑制作用。教师要善于发现学生认识中的“错误密码”,洞察其深层原因,巧妙地予以重排。
例如,笔者在和学生一起学习苏教版三年级上册的“认识周长”一课时,笔者借助于一道练习题进行导入:设置两个图形(边长为4厘米的正方形和长5厘米、宽2厘米的长方形),让学生先自主求解其周长。接着,笔者将这两个图形进行重组,拼成了一个组合图形,引导学生猜一猜组合图形的周长为多少。很多学生在最开始都错误地认为周长为30厘米。面对学生的错误,笔者要求学生想办法验证自己的猜想。教学实践中笔者发现,在寻求验证方法的过程中,有学生得出:“周长不是30厘米,是26厘米。”再进一步交流的过程中,学生还能得到更为简洁的方式。
诚然,学生的直觉猜测,有时会导致各种各样的错误出现。在师生共同矫正错误的过程中,学生经历了激烈的观念冲突,重排了错误密码,其思维必然于盘旋中走向深刻。
总之,在经历了认知重构过程后,学生思考问题会更具理性,他们对概念的理解会更透彻,学生思维的深刻性得到加强,其认知结构也能得到深度拓展,最终,学生的数学学习得以向更深处发展。
[本文系南通市教育科学“十二五”规划课题“小学数学顺应主体发展的课堂实践与研究” 课题研究成果]