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用命题形式给出一个数学问题,要判断它是错误的,只要列举一个满足命题的条件,但结论不成立的例子,就足以否定这个命题,这样的例子就是通常意义下的反例。
在初中教学中,反例的构建是教学中一种非常重要的教学手段和方式,反例教学有其极其重要的作用,它可以培养学生的思维的缜密性、提高思维的全面性、培养学生思维的发散性以及思维的创新性等等。
在这几年的数学教学中,我对反例教学的感触也非常深刻,我觉得反例教学既有其极其重要的作用,也有其在实施的过程中需要注意的环节。就其需要注意的问题和作用笔者在此发表自己一点小小的看法。
一、实施反例教学要注意的问题
(一)注意反例教学的引入
根据学生年龄、生理及心理特征,以及所学知识结构的不完整性,有时还不具备独立系统地推理论证的能力,思维受到一定的局限,考虑问题可能还会不够全面,在教学过程中要注意反例教学引入的合理性和可行性。
(二)注意反例教学的构建
教师在进行教学时,不但要适当地使用反例,更重要的是要善于引导学生构建反例,这实际上是为学生创设了一种探索情景,又由于在通常情况下,许多反例的构建不是惟一的,这就需要学生对所学知识有深刻、透彻的理解,并调动他们全部的数学功底,充分展开想象,因此,构建反例的过程也是学生思维发挥和训练过程。
例如在讲授《实数》一节时,我曾安排了这样一个思考题:两个无理数的和是否一定是无理数?学生们马上举出几个反例如π与-π;它们的和都等于零是有理数。这些反例的共同特征是:互为相反数的两无理数和为有理数。
在此问题的基础上,教师可以进一步地追问:两个无理数的积是否一定是无理数?两个有理数的和或者积是否一定是有理数?一个无理数与一个有理数的和是否一定是无理数?一个无理数与一个有理数的积是否一定是无理数?
通过对这些问题作更多更深入的一些研究,这不仅可以培养学生思维的发散性,还可以加深对有理数、无理数概念的理解,弄清有理数和无理数之间的关系。
这一事例说明教师在日常教学中,可经常选择一些典型的数学知识或问题,通过创设问题情景,引导学生构建反例,引导学生敢于和善于发现问题或提出问题,爱护、支持和鼓励学生中的一切含有创造因素的思想和活动,从而提高学生的思维能力。
(三)注意反例教学的逐层深入性
在教学时,反例的构建要根据学生的认知发展水平和已有的知识结构逐层深入地进行,把某些难度较大的问题分解为一些小的梯度题。
例如在教学三角形全等的判定定理时,学生在掌握基本的几个判定定理(SSS,SAS,ASA,AAS)后,教师可让学生判断:三个角对应全等的三角形全等;有两边及其其中一边所对的角对应相等的两个三角形全等。三角对应相等的三角形全等的反例比较容易列举,例如三角板中的两个三角形。但是有两边及其其中一边所对的角对应相等的两个三角形全等的反例却较难构建。为了解决这个问题,教师可以先固定某些边或者某些角对应相等以后再让学生构建反例。可以先固定∠A=∠A’,AC=A’C’,在此基础上引导学生进一步思考若BC=B’C’=a,说明BC或B‘C‘可以通过以下作图方法来画出:以C或者C’为圆心,a为半径画弧,a只要满足一定的条件,此时所画的弧就很可能与AB或者A’B’所在的直线有两个交点,这是再构造出不全等的三角形就减少了难度。
二、反例教学的重要作用
数学是一门严谨的学科,解决数学问题的思维过程应是缜密的。教师可以把以往学生易犯的错误设置成反例,有针对性地培养学生思维的缜密性。
判断:对于任意的自然数 n,n2-n+11一定是质数。
对于反例的列举,学生最容易想到的办法的就是代入几个特殊的数值进行计算。对于这一题,假如从第一个自然数0开始代入验证,我们发现结论是正确的,以后继续代数,一直到10结论也都是正确的。学生往往还没有代到10就已认为结论是正确的了。因为对于代值验证的问题,我们通常能代入3、5个值验证都已经很不错了。这一题反例的构建需要从式子本生的角度去思考,通过对式子的观察,大部分学生不难得出n=11时,n2-n+11就已经不是质数了。
在此,常用的构造反例的特殊值法却行不通了,因此反例构建的过程其实也是学生多角度思考问题的一个过程,注重反例教学的适当的引入不但能使学生发现错误和漏洞,而且还可以修补相关知识,学会多角度考虑问题,从而提高思维的全面性。
反例构建是猜想、试验、推理等多重并举的一项综合性、创造性活动,是培养学生创新精神、诱发学生创造力的一种很好的载体。
判断:底面是正三角形,侧面均为等腰三角形的棱锥是正三棱锥。
这个命题看起来,条件比较苛刻,似乎正确性不容怀疑,但是条件“侧面是等腰三角形”并不等同于条件“侧面是全等的等腰三角形”.如图4,底面ABC是正三角形,DA垂直于平面ABC,并且DA=AB,这样侧面△ABD,△ACD均是等腰直角三角形,△DBC是等腰三角形,符合题设诸条件.显然此棱锥不是正三棱锥。
在上述反例的探索过程中,学生在新的问题情景中,能享受到创造的乐趣,从而能激发起学习数学的兴趣和刻苦钻研数学问题的热情和毅力,培养学生思维的创新性。
反例教学还是培养学生发散思维的很好的一种教学方式。
在学完正多边形以后,学生们都知道了正多边形的一些性质,例如:正多边形的所有的边都相等,所有的内角都相等。为了加深对这一性质的理解,教师可以从反面进行巩固。
判断:(1)所有边都相等的多边形一定是正多边形,(2)所有角都相等的多边形一定是正多边形。
(1)和(2)都是错误的,例如菱形和矩形。这两个反例学生都比较容易能想到。但是,除此之外,还有没有其余的反例呢?教师还可以做进一步的提问。显然这时难度就增加了。其实,所有边都相等的多边形都是正多边形的反例有无数多个,例如我们可以先做一个正多边形(不是正三角形),利用这些正多边形具有的不稳定性,它们的内角在变化的过程中就会出现边都保持相等,但是角度却会出现不等的情形。对于所有角都相等的多边形是正多边形的反例,其实也是有无数个。对此正五边形下面的一条边进行某种平行移动(如图),在移动的过程中,始终可以保持内角都是相等的,然而却会出现不是正多边形的情形。
在这个问题中,后面的反例的列举难度显然增加了,然而学生却可以通过此题更加加深对多边形性质正反两方面的理解,另外列举反例的过程也是学生发散性思维充分发挥和展示的一个过程。
总之,数学反例是数学课堂教学中一个调节器,在数学教学中,适时地引进一些反例或适当地引导学生构建反例,往往能使学生在认识上产生质的飞跃,帮助他们巩固和掌握定理、公式和法则,培养他们思维的缜密性、灵活性、发散性、深刻性、创新性和全面性。
在初中教学中,反例的构建是教学中一种非常重要的教学手段和方式,反例教学有其极其重要的作用,它可以培养学生的思维的缜密性、提高思维的全面性、培养学生思维的发散性以及思维的创新性等等。
在这几年的数学教学中,我对反例教学的感触也非常深刻,我觉得反例教学既有其极其重要的作用,也有其在实施的过程中需要注意的环节。就其需要注意的问题和作用笔者在此发表自己一点小小的看法。
一、实施反例教学要注意的问题
(一)注意反例教学的引入
根据学生年龄、生理及心理特征,以及所学知识结构的不完整性,有时还不具备独立系统地推理论证的能力,思维受到一定的局限,考虑问题可能还会不够全面,在教学过程中要注意反例教学引入的合理性和可行性。
(二)注意反例教学的构建
教师在进行教学时,不但要适当地使用反例,更重要的是要善于引导学生构建反例,这实际上是为学生创设了一种探索情景,又由于在通常情况下,许多反例的构建不是惟一的,这就需要学生对所学知识有深刻、透彻的理解,并调动他们全部的数学功底,充分展开想象,因此,构建反例的过程也是学生思维发挥和训练过程。
例如在讲授《实数》一节时,我曾安排了这样一个思考题:两个无理数的和是否一定是无理数?学生们马上举出几个反例如π与-π;它们的和都等于零是有理数。这些反例的共同特征是:互为相反数的两无理数和为有理数。
在此问题的基础上,教师可以进一步地追问:两个无理数的积是否一定是无理数?两个有理数的和或者积是否一定是有理数?一个无理数与一个有理数的和是否一定是无理数?一个无理数与一个有理数的积是否一定是无理数?
通过对这些问题作更多更深入的一些研究,这不仅可以培养学生思维的发散性,还可以加深对有理数、无理数概念的理解,弄清有理数和无理数之间的关系。
这一事例说明教师在日常教学中,可经常选择一些典型的数学知识或问题,通过创设问题情景,引导学生构建反例,引导学生敢于和善于发现问题或提出问题,爱护、支持和鼓励学生中的一切含有创造因素的思想和活动,从而提高学生的思维能力。
(三)注意反例教学的逐层深入性
在教学时,反例的构建要根据学生的认知发展水平和已有的知识结构逐层深入地进行,把某些难度较大的问题分解为一些小的梯度题。
例如在教学三角形全等的判定定理时,学生在掌握基本的几个判定定理(SSS,SAS,ASA,AAS)后,教师可让学生判断:三个角对应全等的三角形全等;有两边及其其中一边所对的角对应相等的两个三角形全等。三角对应相等的三角形全等的反例比较容易列举,例如三角板中的两个三角形。但是有两边及其其中一边所对的角对应相等的两个三角形全等的反例却较难构建。为了解决这个问题,教师可以先固定某些边或者某些角对应相等以后再让学生构建反例。可以先固定∠A=∠A’,AC=A’C’,在此基础上引导学生进一步思考若BC=B’C’=a,说明BC或B‘C‘可以通过以下作图方法来画出:以C或者C’为圆心,a为半径画弧,a只要满足一定的条件,此时所画的弧就很可能与AB或者A’B’所在的直线有两个交点,这是再构造出不全等的三角形就减少了难度。
二、反例教学的重要作用
数学是一门严谨的学科,解决数学问题的思维过程应是缜密的。教师可以把以往学生易犯的错误设置成反例,有针对性地培养学生思维的缜密性。
判断:对于任意的自然数 n,n2-n+11一定是质数。
对于反例的列举,学生最容易想到的办法的就是代入几个特殊的数值进行计算。对于这一题,假如从第一个自然数0开始代入验证,我们发现结论是正确的,以后继续代数,一直到10结论也都是正确的。学生往往还没有代到10就已认为结论是正确的了。因为对于代值验证的问题,我们通常能代入3、5个值验证都已经很不错了。这一题反例的构建需要从式子本生的角度去思考,通过对式子的观察,大部分学生不难得出n=11时,n2-n+11就已经不是质数了。
在此,常用的构造反例的特殊值法却行不通了,因此反例构建的过程其实也是学生多角度思考问题的一个过程,注重反例教学的适当的引入不但能使学生发现错误和漏洞,而且还可以修补相关知识,学会多角度考虑问题,从而提高思维的全面性。
反例构建是猜想、试验、推理等多重并举的一项综合性、创造性活动,是培养学生创新精神、诱发学生创造力的一种很好的载体。
判断:底面是正三角形,侧面均为等腰三角形的棱锥是正三棱锥。
这个命题看起来,条件比较苛刻,似乎正确性不容怀疑,但是条件“侧面是等腰三角形”并不等同于条件“侧面是全等的等腰三角形”.如图4,底面ABC是正三角形,DA垂直于平面ABC,并且DA=AB,这样侧面△ABD,△ACD均是等腰直角三角形,△DBC是等腰三角形,符合题设诸条件.显然此棱锥不是正三棱锥。
在上述反例的探索过程中,学生在新的问题情景中,能享受到创造的乐趣,从而能激发起学习数学的兴趣和刻苦钻研数学问题的热情和毅力,培养学生思维的创新性。
反例教学还是培养学生发散思维的很好的一种教学方式。
在学完正多边形以后,学生们都知道了正多边形的一些性质,例如:正多边形的所有的边都相等,所有的内角都相等。为了加深对这一性质的理解,教师可以从反面进行巩固。
判断:(1)所有边都相等的多边形一定是正多边形,(2)所有角都相等的多边形一定是正多边形。
(1)和(2)都是错误的,例如菱形和矩形。这两个反例学生都比较容易能想到。但是,除此之外,还有没有其余的反例呢?教师还可以做进一步的提问。显然这时难度就增加了。其实,所有边都相等的多边形都是正多边形的反例有无数多个,例如我们可以先做一个正多边形(不是正三角形),利用这些正多边形具有的不稳定性,它们的内角在变化的过程中就会出现边都保持相等,但是角度却会出现不等的情形。对于所有角都相等的多边形是正多边形的反例,其实也是有无数个。对此正五边形下面的一条边进行某种平行移动(如图),在移动的过程中,始终可以保持内角都是相等的,然而却会出现不是正多边形的情形。
在这个问题中,后面的反例的列举难度显然增加了,然而学生却可以通过此题更加加深对多边形性质正反两方面的理解,另外列举反例的过程也是学生发散性思维充分发挥和展示的一个过程。
总之,数学反例是数学课堂教学中一个调节器,在数学教学中,适时地引进一些反例或适当地引导学生构建反例,往往能使学生在认识上产生质的飞跃,帮助他们巩固和掌握定理、公式和法则,培养他们思维的缜密性、灵活性、发散性、深刻性、创新性和全面性。