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中心对称图形在日常生活中极为常见，本章先是研究了图形的旋转，然后过渡到中心对称与中心对称图形，进而到中心对称图案的设计，接着研究属于中心对称的四边形——平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念、性质及判定，最后介绍了三角形中位线的有关问题. 从生活到实践，从实践到探索，从探索到发现，从发现到归纳，再把归纳的理论、总结的知识应用到实际问题中. 要掌握本章的知识，务必掌握以下几个要点：
一、 旋转的定义及旋转对称的理解
在平面内，将一个图形绕一个定点旋转一定的角度，这样的图形运动称为图形的旋转，这个定点称为旋转中心，旋转的角度称为旋转角.
【注意】将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度，意味着图形上的每个点同时都按相同的方向转动相同的角度.
例1 下列现象中属于旋转的有（ ）.
①地下水位逐年下降；②传送带的移动；③方向盘的转动；④水龙头开关的转动；⑤钟摆的运动；⑥荡秋千运动.
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
【分析】图形的运动有三种：平移，翻折，旋转. 其中①②属于平移，而③④⑤⑥属于旋转.
【答案】C
【点评】本题考查的是旋转的定义.
二、 中心对称的定义及中心对称的基本性质的理解
两叶片图，图1左边的叶片只要绕一定点，顺（或逆）时针旋转180°便会得到右边的叶片，同样右边的叶片绕一定点，顺（或逆）时针旋转180°也会得到左边的叶片，图2风车的变换说法同上，这种旋转变换也叫中心对称变换. 这个定点是两叶片任一对应点连线的中点，这个定点我们称它为对称中心.
【注意】中心对称有一个对称中心，将一个图形绕对称中心旋转180°（特殊旋转）后与另一个图形重合.
例2 下列四组图形中，属于中心对称的图形是_____.
【分析】中心对称的特征是将一个图形绕对称中心旋转180°（特殊旋转）后与另一个图形重合.
【答案】①②③
【点评】本题考查的是中心对称的定义.
三、 中心对称图形定义的理解
把一个平面图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心.
【注意】（1）中心对称图形有一个对称中心，将这个图形绕对称中心旋转180°，旋转后的图形能与原来的图形重合.
（2）中心对称图形是对一个图形来说的，是一个图形所具有的性质.
（3）中心对称与中心对称图形的区别：①中心对称是指两个图形的关系，中心对称图形是指一个具有某种性质的图形；②成中心对称的两个图形的对称点分别在两个图形上，中心对称图形的对称点在一个图形上. 中心对称与中心对称图形的联系：若把中心对称图形的两部分看成两个图形，则它们成中心对称；若把中心对称的两个图形看成一个整体，则它是中心对称图形.
例3 在下列图形中，属于中心对称图形的是（ ）.
A B C D
【分析】确定中心对称图形的关键是：这个图形绕图形上的某一点旋转180°后是否仍能与图形本身重合. A绕中心旋转72°与本身重合，B绕中心旋转120°与本身重合，D为轴对称图形，只有C绕中心旋转90°、180°均能与本身重合.
【答案】C
【点评】解此类题必须严格按照轴对称及中心对称图形的概念、特征去判定.
四、 平行四边形的定义、性质及判定的应用
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 平行四边形用符号“?”表示. 如平行四边形ABCD记作?ABCD，读作“平行四边形ABCD”.
【注意】（1）平行四边形的定义有两层意思：①是四边形；②两组对边分别平行. 这两个条件缺一不可.
（2）平行四边形的定义是判定一个四边形是否平行四边形的重要依据之一.
例4 在?ABCD中，∠A∶∠B=2∶3，求∠A、∠B的度数.
【分析】由平行
四边形的定义可知，对边平行，相邻的角是互补的，所以∠A ∠B=180°，由此可列式求出角度.
【答案】因为四边形ABCD为平行四边形，所以AD∥BC，所以∠A ∠B=180°. 又因为∠A∶∠B=2∶3，不妨设∠A=2k，则∠B=3k，即2k 3k=5k=180°，解出k=36°，所以∠A=2k=72°，∠B=3k=108°.
【点评】本题中已知∠A∶∠B=2∶3，只需根据已知条件再找出关于∠A、∠B的一组等量关系，即可列出方程.
例5 下列条件中，可以确定一个四边形是平行四边形的是（ ）.
A. 一组对边平行，一组对角相等
B. 一组对边平行，一组邻角互补
C. 一组对边平行，另一组对边相等
D. 两条对角线互相垂直
【分析】产生错解的原因是没有准确理解平行四边形的判定条件. 在A中，由条件可知另一组对边也平行.
【答案】A
【点评】产生错误的原因：（1）不能正确理解平行四边形的性质；（2）错误地运用平行四边形的判定条件.
五、 矩形的定义、性质及判定方法的理解
矩形的定义是学习矩形及其他知识的基础，是考试的一个热点，它既可以看做是矩形的性质，又可以看做是矩形的判别方法. 一个四边形要满足是矩形必须同时具备两个条件：（1）四边形是平行四边形；（2）四边形的一个角为直角. 两者缺一不可.
【注意】（1）矩形的定义是建立在平行四边形的条件下的，若给出的四边形不是平行四边形，就算给出一个角是直角，也不能判断该四边形是矩形. （2）矩形的定义也是矩形的最基本的判定方法，通常先说明一个四边形是平行四边形，再确定一个角是直角即可. 例6 下列命题正确的是（ ）.
A. 对角线相等的平行四边形是矩形
B. 一组对边平行，且有一个角是直角的四边形是矩形
C. 对角线相等的四边形是矩形
D. 对角线互相垂直平分的四边形是矩形
【分析】本题考查的是矩形的判定. 所以同学们务必要理解判定一个四边形是矩形的方法.
【答案】A
【点评】由于受到矩形的对角线相等的影响，误以为“对角线相等的四边形是矩形”.
六、 菱形的定义、性质及判定方法的理解
菱形的定义是最基本的概念，是得出其他相关知识的基础，同学们必须熟练掌握. 该定义可以看做菱形的判别方法，一个四边形只需满足下列两个条件便是菱形：（1）平行四边形；（2）一组邻边相等. 这两个条件也可以看做是菱形的性质，只要告诉某四边形是菱形，便有该四边形是平行四边形，且一组邻边相等.
【注意】菱形是特殊的平行四边形，特殊在边这一元素上.
例7 在四边形ABCD中，已知AB∥CD，AD∥BC，请添加一个条件，使四边形ABCD是菱形，所添加的条件是_________.
【分析】解决菱形概念问题，必须紧扣定义.
【答案】AB=BC（或BC=CD或CD=AD）.
【点评】要注意菱形的定义.
七、 正方形的定义、性质及判定方法的理解
（1）正方形的定义有三个条件：①有一组邻边相等；②有一个直角；③是平行四边形. 三个条件必须同时具备，缺一不可. （2）由定义可知正方形既是矩形，又是菱形.
【注意】正方形既是一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形，如果缺少任何一个条件结论都是错误的.
例8 如图4所示，四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA，对角线AC与BD相交于点O，若不增加任何字母与辅助线，要使四边形ABCD是正方形，则还需增加的条件是_________.
【分析】应该增加一个是矩形的条件.
【答案】AC=BD或∠ABC=90°（答案不唯一）.
【点评】正方形：既是矩形，又是菱形的四边形.
八、 三角形中位线的定义及性质的理解
例9 如图5所示，在?ABCD中，对角线AC，BD交于点O，BE平分∠ABC的外角，且AE⊥BE.
求证：OE=（AB BC）.
【分析】在?ABCD中，隐含了点O是AC的中点.延长AE交CB的延长线于点F，易证明点E是AF的中点，就可以利用中位线性质了.
证明：延长AE交CB的延长线于点F.
∵BE⊥AE，∴∠AEB=∠FEB=90°，
∵∠ABE=∠FBE，BE=BE，
∴△ABE≌△FBE，AE=EF，AB=FB.
∵四边形ABCD是平行四边形，AO=OC，∴OE是△AFC的中位线，OE=FC，
∴OE=（FB BC），∴OE=（AB BC）.
【点评】三角形中位线是数形结合的典型范例，它的用途广泛，能把大小关系与位置关系相互转化，在运用时要与中线区别开.
（作者单位：江苏省连云港市赣榆区外国语学校）
一、 旋转的定义及旋转对称的理解
在平面内，将一个图形绕一个定点旋转一定的角度，这样的图形运动称为图形的旋转，这个定点称为旋转中心，旋转的角度称为旋转角.
【注意】将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度，意味着图形上的每个点同时都按相同的方向转动相同的角度.
例1 下列现象中属于旋转的有（ ）.
①地下水位逐年下降；②传送带的移动；③方向盘的转动；④水龙头开关的转动；⑤钟摆的运动；⑥荡秋千运动.
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
【分析】图形的运动有三种：平移，翻折，旋转. 其中①②属于平移，而③④⑤⑥属于旋转.
【答案】C
【点评】本题考查的是旋转的定义.
二、 中心对称的定义及中心对称的基本性质的理解
两叶片图，图1左边的叶片只要绕一定点，顺（或逆）时针旋转180°便会得到右边的叶片，同样右边的叶片绕一定点，顺（或逆）时针旋转180°也会得到左边的叶片，图2风车的变换说法同上，这种旋转变换也叫中心对称变换. 这个定点是两叶片任一对应点连线的中点，这个定点我们称它为对称中心.
【注意】中心对称有一个对称中心，将一个图形绕对称中心旋转180°（特殊旋转）后与另一个图形重合.
例2 下列四组图形中，属于中心对称的图形是_____.
【分析】中心对称的特征是将一个图形绕对称中心旋转180°（特殊旋转）后与另一个图形重合.
【答案】①②③
【点评】本题考查的是中心对称的定义.
三、 中心对称图形定义的理解
把一个平面图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心.
【注意】（1）中心对称图形有一个对称中心，将这个图形绕对称中心旋转180°，旋转后的图形能与原来的图形重合.
（2）中心对称图形是对一个图形来说的，是一个图形所具有的性质.
（3）中心对称与中心对称图形的区别：①中心对称是指两个图形的关系，中心对称图形是指一个具有某种性质的图形；②成中心对称的两个图形的对称点分别在两个图形上，中心对称图形的对称点在一个图形上. 中心对称与中心对称图形的联系：若把中心对称图形的两部分看成两个图形，则它们成中心对称；若把中心对称的两个图形看成一个整体，则它是中心对称图形.
例3 在下列图形中，属于中心对称图形的是（ ）.
A B C D
【分析】确定中心对称图形的关键是：这个图形绕图形上的某一点旋转180°后是否仍能与图形本身重合. A绕中心旋转72°与本身重合，B绕中心旋转120°与本身重合，D为轴对称图形，只有C绕中心旋转90°、180°均能与本身重合.
【答案】C
【点评】解此类题必须严格按照轴对称及中心对称图形的概念、特征去判定.
四、 平行四边形的定义、性质及判定的应用
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 平行四边形用符号“?”表示. 如平行四边形ABCD记作?ABCD，读作“平行四边形ABCD”.
【注意】（1）平行四边形的定义有两层意思：①是四边形；②两组对边分别平行. 这两个条件缺一不可.
（2）平行四边形的定义是判定一个四边形是否平行四边形的重要依据之一.
例4 在?ABCD中，∠A∶∠B=2∶3，求∠A、∠B的度数.
【分析】由平行
四边形的定义可知，对边平行，相邻的角是互补的，所以∠A ∠B=180°，由此可列式求出角度.
【答案】因为四边形ABCD为平行四边形，所以AD∥BC，所以∠A ∠B=180°. 又因为∠A∶∠B=2∶3，不妨设∠A=2k，则∠B=3k，即2k 3k=5k=180°，解出k=36°，所以∠A=2k=72°，∠B=3k=108°.
【点评】本题中已知∠A∶∠B=2∶3，只需根据已知条件再找出关于∠A、∠B的一组等量关系，即可列出方程.
例5 下列条件中，可以确定一个四边形是平行四边形的是（ ）.
A. 一组对边平行，一组对角相等
B. 一组对边平行，一组邻角互补
C. 一组对边平行，另一组对边相等
D. 两条对角线互相垂直
【分析】产生错解的原因是没有准确理解平行四边形的判定条件. 在A中，由条件可知另一组对边也平行.
【答案】A
【点评】产生错误的原因：（1）不能正确理解平行四边形的性质；（2）错误地运用平行四边形的判定条件.
五、 矩形的定义、性质及判定方法的理解
矩形的定义是学习矩形及其他知识的基础，是考试的一个热点，它既可以看做是矩形的性质，又可以看做是矩形的判别方法. 一个四边形要满足是矩形必须同时具备两个条件：（1）四边形是平行四边形；（2）四边形的一个角为直角. 两者缺一不可.
【注意】（1）矩形的定义是建立在平行四边形的条件下的，若给出的四边形不是平行四边形，就算给出一个角是直角，也不能判断该四边形是矩形. （2）矩形的定义也是矩形的最基本的判定方法，通常先说明一个四边形是平行四边形，再确定一个角是直角即可. 例6 下列命题正确的是（ ）.
A. 对角线相等的平行四边形是矩形
B. 一组对边平行，且有一个角是直角的四边形是矩形
C. 对角线相等的四边形是矩形
D. 对角线互相垂直平分的四边形是矩形
【分析】本题考查的是矩形的判定. 所以同学们务必要理解判定一个四边形是矩形的方法.
【答案】A
【点评】由于受到矩形的对角线相等的影响，误以为“对角线相等的四边形是矩形”.
六、 菱形的定义、性质及判定方法的理解
菱形的定义是最基本的概念，是得出其他相关知识的基础，同学们必须熟练掌握. 该定义可以看做菱形的判别方法，一个四边形只需满足下列两个条件便是菱形：（1）平行四边形；（2）一组邻边相等. 这两个条件也可以看做是菱形的性质，只要告诉某四边形是菱形，便有该四边形是平行四边形，且一组邻边相等.
【注意】菱形是特殊的平行四边形，特殊在边这一元素上.
例7 在四边形ABCD中，已知AB∥CD，AD∥BC，请添加一个条件，使四边形ABCD是菱形，所添加的条件是_________.
【分析】解决菱形概念问题，必须紧扣定义.
【答案】AB=BC（或BC=CD或CD=AD）.
【点评】要注意菱形的定义.
七、 正方形的定义、性质及判定方法的理解
（1）正方形的定义有三个条件：①有一组邻边相等；②有一个直角；③是平行四边形. 三个条件必须同时具备，缺一不可. （2）由定义可知正方形既是矩形，又是菱形.
【注意】正方形既是一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形，如果缺少任何一个条件结论都是错误的.
例8 如图4所示，四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA，对角线AC与BD相交于点O，若不增加任何字母与辅助线，要使四边形ABCD是正方形，则还需增加的条件是_________.
【分析】应该增加一个是矩形的条件.
【答案】AC=BD或∠ABC=90°（答案不唯一）.
【点评】正方形：既是矩形，又是菱形的四边形.
八、 三角形中位线的定义及性质的理解
例9 如图5所示，在?ABCD中，对角线AC，BD交于点O，BE平分∠ABC的外角，且AE⊥BE.
求证：OE=（AB BC）.
【分析】在?ABCD中，隐含了点O是AC的中点.延长AE交CB的延长线于点F，易证明点E是AF的中点，就可以利用中位线性质了.
证明：延长AE交CB的延长线于点F.
∵BE⊥AE，∴∠AEB=∠FEB=90°，
∵∠ABE=∠FBE，BE=BE，
∴△ABE≌△FBE，AE=EF，AB=FB.
∵四边形ABCD是平行四边形，AO=OC，∴OE是△AFC的中位线，OE=FC，
∴OE=（FB BC），∴OE=（AB BC）.
【点评】三角形中位线是数形结合的典型范例，它的用途广泛，能把大小关系与位置关系相互转化，在运用时要与中线区别开.
（作者单位：江苏省连云港市赣榆区外国语学校）