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我们知道双曲线的定义用代数式表示为||MF1|-|MF2||=2a，其中2a<|F1F2|，当然这里要注意两点：（1）距离之差的绝对值；（2）2a<|F1F2|.这两点与椭圆的定义有本质的不同：当|MF1|-|MF2|=2a时，曲线仅表示焦点F2所对应的一支；当|MF1|-|MF2|=-2a时，曲线仅表示焦点F1所对应的一支；当2a=|F1F2|时，轨迹是一直线上以F1、F2为端点向外的两条射线；当2a>|F1F2|时，动点轨迹不存在.灵活使用这个定义，能在解题的过程中发挥很大的作用，下面我们来看一下双曲线定义的几个应用.
一、巧用定义求轨迹
例1 已知圆C1：（x+3）2+y2=1和圆C2：（x-3）2+y2=9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，求动圆圆心M的轨迹方程.
分析：解决本题的关键是寻找点M满足的条件，对于圆与圆的相切问题，自然而然地想到圆心距与半径的关系，还必须注意同圆的半径相等这一条件.
解：如图：设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和点B，根据两圆外切的充要条件，得到：|MC1|-|AC1|=|MA|，|MC2|-|BC2|=|MB|.因为|MA|=|MB|，所以|MC1|-|AC1|=|MC2|-|BC2|，所以|MC2|-|MC1|=|BC2|-|AC1|=2.
这表明动点M与两定点C2、C1的距离的差是常数2，根据双曲线的定义，动点M的轨迹为双曲线的左支（点M与C2的距离大，与C1的距离小）.
这里a=1，c=3，则b2=8，设点M的坐标为（x，y），则其轨迹方程为x21-y28=1（x<0）.
点评：（1）本题是利用定义求动点的轨迹方程，当判断出动点的轨迹是双曲线的一支，且可以求出a、b时，就可以直接写出其标准方程，而无需用距离公式写出其标准方程.
练习1：已知△ABC的底边BC长为12，且底边固定，顶点A是动点，使sinB-sinC=12sinA，求顶点A的轨迹.
答案：建立适当的直角坐标系，则B（-6，0），C（6，0），设A（x，y）为轨迹上任一点，则y≠0，|BC|=12.因为sinB-sinC=12sinA，利用正弦定理，我们有|AC|-|AB|=12|BC|，结合双曲线定义，动点到两个定点C、B距离之差为6，动点A位于以B、C为焦点的双曲线上，又注意到，此时A点只能在左支上，并且不能与左顶点重合.双曲线中，实轴长为6，焦距为12，则a=3，c=6，b2=c2-a2=27，中心在原点，两焦点在x轴上，方程为x29-y227=1，所以A点轨迹是双曲线x29-y227=1的左支，并且除去点（-3，0）.
二、巧用定义求面积
例2 已知F1、F2是双曲线x24-y2=1的两个焦点，点P在双曲线上且满足∠F1PF2=90°，求△F1PF2的面积.
分析：利用双曲线的定义及△F1PF2中的勾股定理可求△F1PF2的面积.
解：∵P为双曲线x24-y2=1上的一个点且F1、F2为焦点.∴||PF1|-|PF2||=2a=4，|F1F2|=2c=25
∵∠F1PF2=90°，∴在Rt△PF1F2中，|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=20.
∵（|PF1|-|PF2|）2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|=16，∴20-2|PF1||PF2|=16，
∴|PF1|·|PF2|=2，∴S△F1PF2=12|PF1|·|PF2|=1.
点评：双曲线定义的应用在解题中起了关键性的作用.
练习2：若双曲线x2-4y2=4的左、右焦点是F1、F2，过F2的直线交右支于A、B，若|AB|=5，求△AF1B的周长.
答案：由题意得到：|AF1|-|AF2|=2a=4，|BF1|-|BF2|=2a=4，
把两式相加|AF1|+|BF1|-（|AF2|+|BF2|）=8，且|AF2|+|BF2|=5，所以|AF1|+|BF1|=13，则△AF1B的周长为18.
三、巧用定义求角
例3 已知双曲线x29-y216=1的左、右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线上的左支上且|PF1|·|PF2|=32，求∠F1PF2的大小.
分析：一般地，求一个角的大小，通常要解这个角所在的三角形.
解：∵点P在双曲线的左支上，∴|PF2|-|PF1|=6，∴|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|=36.
∴|PF1|2+|PF2|2=100.∵|F1F2|2=4c2=4（a2+b2）=100，∴∠F1PF2=90°
点评：（1）巧妙地将双曲线的定义应用于解题当中，使问题得以简单化.（2）题目的“点P在双曲线的左支上”这个条件非常关键，应引起我们的重视.
练习3：已知双曲线的离心率为2，F1、F2分别为左、右焦点，P为双曲线上的点，∠F1PF2=60°，且S△PF1F2=123，求双曲线的标准方程.
答案：方程为x24-y212=1.
（作者：周文国，江苏省张家港职业教育中心）
一、巧用定义求轨迹
例1 已知圆C1：（x+3）2+y2=1和圆C2：（x-3）2+y2=9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，求动圆圆心M的轨迹方程.
分析：解决本题的关键是寻找点M满足的条件，对于圆与圆的相切问题，自然而然地想到圆心距与半径的关系，还必须注意同圆的半径相等这一条件.
解：如图：设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和点B，根据两圆外切的充要条件，得到：|MC1|-|AC1|=|MA|，|MC2|-|BC2|=|MB|.因为|MA|=|MB|，所以|MC1|-|AC1|=|MC2|-|BC2|，所以|MC2|-|MC1|=|BC2|-|AC1|=2.
这表明动点M与两定点C2、C1的距离的差是常数2，根据双曲线的定义，动点M的轨迹为双曲线的左支（点M与C2的距离大，与C1的距离小）.
这里a=1，c=3，则b2=8，设点M的坐标为（x，y），则其轨迹方程为x21-y28=1（x<0）.
点评：（1）本题是利用定义求动点的轨迹方程，当判断出动点的轨迹是双曲线的一支，且可以求出a、b时，就可以直接写出其标准方程，而无需用距离公式写出其标准方程.
练习1：已知△ABC的底边BC长为12，且底边固定，顶点A是动点，使sinB-sinC=12sinA，求顶点A的轨迹.
答案：建立适当的直角坐标系，则B（-6，0），C（6，0），设A（x，y）为轨迹上任一点，则y≠0，|BC|=12.因为sinB-sinC=12sinA，利用正弦定理，我们有|AC|-|AB|=12|BC|，结合双曲线定义，动点到两个定点C、B距离之差为6，动点A位于以B、C为焦点的双曲线上，又注意到，此时A点只能在左支上，并且不能与左顶点重合.双曲线中，实轴长为6，焦距为12，则a=3，c=6，b2=c2-a2=27，中心在原点，两焦点在x轴上，方程为x29-y227=1，所以A点轨迹是双曲线x29-y227=1的左支，并且除去点（-3，0）.
二、巧用定义求面积
例2 已知F1、F2是双曲线x24-y2=1的两个焦点，点P在双曲线上且满足∠F1PF2=90°，求△F1PF2的面积.
分析：利用双曲线的定义及△F1PF2中的勾股定理可求△F1PF2的面积.
解：∵P为双曲线x24-y2=1上的一个点且F1、F2为焦点.∴||PF1|-|PF2||=2a=4，|F1F2|=2c=25
∵∠F1PF2=90°，∴在Rt△PF1F2中，|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=20.
∵（|PF1|-|PF2|）2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|=16，∴20-2|PF1||PF2|=16，
∴|PF1|·|PF2|=2，∴S△F1PF2=12|PF1|·|PF2|=1.
点评：双曲线定义的应用在解题中起了关键性的作用.
练习2：若双曲线x2-4y2=4的左、右焦点是F1、F2，过F2的直线交右支于A、B，若|AB|=5，求△AF1B的周长.
答案：由题意得到：|AF1|-|AF2|=2a=4，|BF1|-|BF2|=2a=4，
把两式相加|AF1|+|BF1|-（|AF2|+|BF2|）=8，且|AF2|+|BF2|=5，所以|AF1|+|BF1|=13，则△AF1B的周长为18.
三、巧用定义求角
例3 已知双曲线x29-y216=1的左、右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线上的左支上且|PF1|·|PF2|=32，求∠F1PF2的大小.
分析：一般地，求一个角的大小，通常要解这个角所在的三角形.
解：∵点P在双曲线的左支上，∴|PF2|-|PF1|=6，∴|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|=36.
∴|PF1|2+|PF2|2=100.∵|F1F2|2=4c2=4（a2+b2）=100，∴∠F1PF2=90°
点评：（1）巧妙地将双曲线的定义应用于解题当中，使问题得以简单化.（2）题目的“点P在双曲线的左支上”这个条件非常关键，应引起我们的重视.
练习3：已知双曲线的离心率为2，F1、F2分别为左、右焦点，P为双曲线上的点，∠F1PF2=60°，且S△PF1F2=123，求双曲线的标准方程.
答案：方程为x24-y212=1.
（作者：周文国，江苏省张家港职业教育中心）