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[摘要] 利用熟悉的数学问题,使学生认识建立方程模型的必要性,设计有思维层次的问题,加深对方程模型化思想的认识,从背景不同的实际问题中挖掘相同的方程模型,让学生添背景编题,提高应用方程模型解决问题的能力。
[关键词] 数学问题 方程模型 创造性教学
从方法论角度看,数学建模是解决实际问题的一种数学思想方法,体现了解决应用问题的基本步骤;从认识论角度看,数学建模是着重于一种活动、一个过程,时常需要多次迭代才能完成的过程,是一种数学的认知活动;从教学论角度看,数学建模是理论与实践的有机统一,学生认知结构的深化与完善。
新的课程标准提出,义务教育阶段的数学课程,其基本出发点是促进学生全面而持续、和谐地发展,不仅要考虑数学自身的特点,更应遵循学生学习数学的心理规律,强调从学生已有的生活经验出发,让学生亲身经历将实际问题构成数学模型并进行解释与应用的过程,进而使学生获得对数学理解的同时,在思维能力,情感、态度,价值观方面得到进步和发展。教材为学生的学习活动提供基本线索,是实现课程目标、实施教学的重要资源。因此,教师应该重新认识教材的功能,明确教材只是达到目的的材料,教学时应该根据教材提供的丰富教学资源进行再创造,而不是照本宣科成为教材的机械执行者。
利用方程解决实际问题,从一个侧面体现了数学与现实世界的联系,体现了数学的建模思想。在新课标下的数学(七)上教材以模型思想为主线,从实际问题引出方程,以方程解决实际问题编写了方程这块内容,给人以耳目一新的感觉。它不但让学生体验到了方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型,深刻认识到方程与现实世界的密切关系,感受数学的價值;同时,也给任课教师带来了挑战。下面就自己的课堂教学谈谈如何利用方程模型进行创造性教学。
一、利用熟悉的数学问题,使学生认识建立方程模型的必要性
出示问题一:3个连续自然数的和是24,你能求出这3个自然数吗?
此问题绝大部分同学会马上说出他们的答案 (理由:中间的自然数是24÷3=8,所以这3个连续自然数分别是7,8,9),而少数学生还在埋头计算。此时,教师给予肯定的同时,又给学生提出新的问题,使学生真正体会建立方程模型的必要性。
从学生较为满意的表情上:可以看出,他们希望能够迎接新的挑战。这时出示问题二:教科书第91页
例3.有一列数,按一定规律排列成1,-3,9,-27,81,-243…其中,某3个相邻数的和是-1701,这3个数各是多少?学生尝试用解决问题一的方法,却一再碰壁,此时,教师引导学生如何通过方程模型来解决数列的问题。此例,学生通过与同伴的交流,会很快地想到这一数列的规律(相邻的两个数,后一个数是前一个数的-3倍),绝大部分同学经历了一次应用方程模型解决问题的过程。
学生还在品味问题二的解答,有点兴奋,情绪逐渐高涨起来,这时出示更为生活化的问题三:小明和同学在10月的某一天去郊游,出游时间如下:
(1)日历表中竖列上相邻的3个日期之和为45,且是单号,你能确定他们是几号出游吗?
2007年10月的日历:
(2)如果竖列上相邻的3个日期之和为60,且是双号,你能确定他们是几号出游吗?
(3)小明在10月的日历上用笔圈出了2×2的一个正方形,它们的数字和是81,你能确定他们是几号出游吗?
结合具体情景提出数学问题,学生尝试建立方程模型解决问题,并解释建立方程及方程的解的合理性;对解方程的过程进行反思,并获得解方程和运用方程解决问题的经验,恰当地转化和分析量与量之间的关系。
二、设计有思维层次的问题,加深对方程模型化思想的认识
让学生敢于对教材上的内容质疑,敢于对教师的讲解质疑,特别是同学的观点,由于商榷余地较大,更要敢于质疑。能够打破常规,进行批判性质疑,并且勇于实践、验证,寻求解决的途径,是具有创新意识的学生必备的素质。
教科书第104页探究1:销售中的盈亏
某商店在某一时间以每件60元的价格卖出两件衣服,其中一件盈利25%,另一件亏损25%,卖这两件衣服总的是盈利还是亏损,或是不盈不亏?
教师设计问题:①商家盈亏情况要看什么(即要比较哪两个量的大小)?②两件衣服一共卖了多少元?③两件衣服的进价一共多少元?④如何设未知数?⑤问题中的等量关系是什么?
盈利25%衣服的进价+利润=售价
亏损25%衣服的进价+利润=售价
学生在本问题的探讨中大胆地提出自己的见解(盈亏只要比较进价高低,原因是两件衣服的利润率刚好是互为相反数,售价刚好相等,则盈利的这件衣服一定低于60元,而亏的这件衣服进价一定高于60元,因此亏的钱数一定高于盈利的钱数)。教师赞赏学生对复杂问题的判断能力,并设计一些复杂多变的问题,让学生在自己的判断来加以解决,或用辩论形式训练学生的判断能力,使学生思维更具流畅性和敏捷性,发表出具有个性的见解。
改编1:某商店在某一时间以每件120元的价格卖出两件衣服,其中一件盈利25%,另一件亏损25%,卖这两件衣服总的是盈利还是亏损,或是不盈不亏?学生很快地判断(亏)。为进一步加深对方程模型的认识,教师提出更一般化的问题。
改编2:某商店在某一时间以每件a元的价格卖出两件衣服,其中一件盈利25%,另一件亏损25%,卖这两件衣服总的还是亏损吗?你能通过计算来解释吗?
改编3:某文具店有两个进价不同的计算器都卖64元,其中一个盈利60%,另一个亏本20%。这次交易中的盈亏情况?
改编4:在我们的身边有一些股民,在每一次的股票交易中或盈利或亏损。某股民将甲、乙两种股票卖出,甲种股票卖出1500元,盈利20%,乙种股票卖出1600元,但亏损20%,该股民在这次交易中是盈利还是亏损?盈利或亏损多少元?
改编5:在我们的身边有一些股民,在每一次的股票交易中或盈利或亏损。某股民将甲、乙两种股票卖出,甲种股票卖出a元,盈利20%,乙种股票卖出b元,但亏损20%,当a、b满足什么关系时该股民在这次交易中不盈也不亏?
通过设计有思维层次的问题,放手让学生自主探索,合作交流,寻求问题解决的办法,使他们在有一定挑战性的情境中,学习知识,掌握方法,发展能力,不仅加深对方程模型化思想的认识,而且体验到应用数学的乐趣。
三、从背景不同的实际问题中挖掘相同的方程模型
教科书第103页第11题(买布问题)。
改编1:顾客用400卢布买了两种布料共65俄尺,其中蓝布料每俄尺6卢布,黑布料每俄尺8卢布,问蓝布料买了多少俄尺?
数量关系:蓝布料的尺寸+黑布料的尺寸=65俄尺
蓝布料的钱数+黑布料的钱数=400卢布
解:设买了蓝布料X俄尺,那么黑布料买了(65-x)俄尺,买蓝布料用了6x卢布,黑布料用了8(65-x)卢布。
列方程,6x+8(65-x)=400 。
改编2:学校团委组织65名团员为学校建花坛搬砖,七年级同学每人搬6块,其他年级同学每人搬8块,总共搬了400块,用列方程方法解决七年级同学有多少人参加了搬砖?
解:设七年级同学有x名参加搬砖6x+8(65-x)=400
改编3:七年级<4>班某同学在学校运动会400米竞赛中先以每秒6米的速度跑完了大部分路程,最后以每秒8米的速度冲刺到达终点,成绩为 1分零5秒问该同学冲刺以前跑了多少秒?
解:该同学冲刺以前跑了x秒,则冲刺后跑了(65-x)秒。
列方程,6x+8(65-x)=400
显然,学生在经历解决3个背景不同的实际问题的过程中,会惊喜地发现若采用直接设元,他们列出的方程相同。教师参与学生的讨论中,一起分析这3个问题中相似的数量关系,从而使学生更深刻的领会模型思想,懂得从千变万化的问题中寻找出共同点——方程模型。
四、让学生添背景编题,提高应用方程模型解决问题的能力
请同学们联系实际编一道应用题,使所列方程为6 x+8(65-x)=400。
在解决上述3个问题后,学生非常乐意去接受挑战。在解决一系列有趣且富有挑战性的问题过程中,培养学生敢于面对挑战和勇于克服困难的意志,鼓励学生大胆尝试,从中获得成功的体验,激发学生的学习热情,提高了应用方程模型解决问题的能力。
因此,在实际课堂教学中,教师应以学生为主体,充分引导学生注意观察生活中的各种现象,充分利用教材的优势,创造性使用教材,努力创设合适的问题情境,让学生投入到解决问题的实践活动中,自己去探索,经历数学建模的全过程,初步领会数学模型的思想和方法,增强数学应用意识,提高学生的创新能力,养成良好的思维品质,使学生学到有用的数学,学到不同的数学。数学建模思想的教学顺应了当前素质教育和新课程标准改革的需要,数学建模的教学必将为中学数学课堂教学改革提供一条新路,也必将为培养更多更好的“创造型”人才提供一个全新的舞台。
参考文献:
[1] 初中数学新课程标准[M].人民教育出版社,2007.
[2]许芬英.课堂教学设计与案例[M].人民教育出版社,2007.
[3]曾泽群.《一元一次方程的应用——实践与探索》的教材分析.2007.
[4]张思明.中学数学建模教学的实践与探索[M].北京教育出版社,1998.
[关键词] 数学问题 方程模型 创造性教学
从方法论角度看,数学建模是解决实际问题的一种数学思想方法,体现了解决应用问题的基本步骤;从认识论角度看,数学建模是着重于一种活动、一个过程,时常需要多次迭代才能完成的过程,是一种数学的认知活动;从教学论角度看,数学建模是理论与实践的有机统一,学生认知结构的深化与完善。
新的课程标准提出,义务教育阶段的数学课程,其基本出发点是促进学生全面而持续、和谐地发展,不仅要考虑数学自身的特点,更应遵循学生学习数学的心理规律,强调从学生已有的生活经验出发,让学生亲身经历将实际问题构成数学模型并进行解释与应用的过程,进而使学生获得对数学理解的同时,在思维能力,情感、态度,价值观方面得到进步和发展。教材为学生的学习活动提供基本线索,是实现课程目标、实施教学的重要资源。因此,教师应该重新认识教材的功能,明确教材只是达到目的的材料,教学时应该根据教材提供的丰富教学资源进行再创造,而不是照本宣科成为教材的机械执行者。
利用方程解决实际问题,从一个侧面体现了数学与现实世界的联系,体现了数学的建模思想。在新课标下的数学(七)上教材以模型思想为主线,从实际问题引出方程,以方程解决实际问题编写了方程这块内容,给人以耳目一新的感觉。它不但让学生体验到了方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型,深刻认识到方程与现实世界的密切关系,感受数学的價值;同时,也给任课教师带来了挑战。下面就自己的课堂教学谈谈如何利用方程模型进行创造性教学。
一、利用熟悉的数学问题,使学生认识建立方程模型的必要性
出示问题一:3个连续自然数的和是24,你能求出这3个自然数吗?
此问题绝大部分同学会马上说出他们的答案 (理由:中间的自然数是24÷3=8,所以这3个连续自然数分别是7,8,9),而少数学生还在埋头计算。此时,教师给予肯定的同时,又给学生提出新的问题,使学生真正体会建立方程模型的必要性。
从学生较为满意的表情上:可以看出,他们希望能够迎接新的挑战。这时出示问题二:教科书第91页
例3.有一列数,按一定规律排列成1,-3,9,-27,81,-243…其中,某3个相邻数的和是-1701,这3个数各是多少?学生尝试用解决问题一的方法,却一再碰壁,此时,教师引导学生如何通过方程模型来解决数列的问题。此例,学生通过与同伴的交流,会很快地想到这一数列的规律(相邻的两个数,后一个数是前一个数的-3倍),绝大部分同学经历了一次应用方程模型解决问题的过程。
学生还在品味问题二的解答,有点兴奋,情绪逐渐高涨起来,这时出示更为生活化的问题三:小明和同学在10月的某一天去郊游,出游时间如下:
(1)日历表中竖列上相邻的3个日期之和为45,且是单号,你能确定他们是几号出游吗?
2007年10月的日历:
(2)如果竖列上相邻的3个日期之和为60,且是双号,你能确定他们是几号出游吗?
(3)小明在10月的日历上用笔圈出了2×2的一个正方形,它们的数字和是81,你能确定他们是几号出游吗?
结合具体情景提出数学问题,学生尝试建立方程模型解决问题,并解释建立方程及方程的解的合理性;对解方程的过程进行反思,并获得解方程和运用方程解决问题的经验,恰当地转化和分析量与量之间的关系。
二、设计有思维层次的问题,加深对方程模型化思想的认识
让学生敢于对教材上的内容质疑,敢于对教师的讲解质疑,特别是同学的观点,由于商榷余地较大,更要敢于质疑。能够打破常规,进行批判性质疑,并且勇于实践、验证,寻求解决的途径,是具有创新意识的学生必备的素质。
教科书第104页探究1:销售中的盈亏
某商店在某一时间以每件60元的价格卖出两件衣服,其中一件盈利25%,另一件亏损25%,卖这两件衣服总的是盈利还是亏损,或是不盈不亏?
教师设计问题:①商家盈亏情况要看什么(即要比较哪两个量的大小)?②两件衣服一共卖了多少元?③两件衣服的进价一共多少元?④如何设未知数?⑤问题中的等量关系是什么?
盈利25%衣服的进价+利润=售价
亏损25%衣服的进价+利润=售价
学生在本问题的探讨中大胆地提出自己的见解(盈亏只要比较进价高低,原因是两件衣服的利润率刚好是互为相反数,售价刚好相等,则盈利的这件衣服一定低于60元,而亏的这件衣服进价一定高于60元,因此亏的钱数一定高于盈利的钱数)。教师赞赏学生对复杂问题的判断能力,并设计一些复杂多变的问题,让学生在自己的判断来加以解决,或用辩论形式训练学生的判断能力,使学生思维更具流畅性和敏捷性,发表出具有个性的见解。
改编1:某商店在某一时间以每件120元的价格卖出两件衣服,其中一件盈利25%,另一件亏损25%,卖这两件衣服总的是盈利还是亏损,或是不盈不亏?学生很快地判断(亏)。为进一步加深对方程模型的认识,教师提出更一般化的问题。
改编2:某商店在某一时间以每件a元的价格卖出两件衣服,其中一件盈利25%,另一件亏损25%,卖这两件衣服总的还是亏损吗?你能通过计算来解释吗?
改编3:某文具店有两个进价不同的计算器都卖64元,其中一个盈利60%,另一个亏本20%。这次交易中的盈亏情况?
改编4:在我们的身边有一些股民,在每一次的股票交易中或盈利或亏损。某股民将甲、乙两种股票卖出,甲种股票卖出1500元,盈利20%,乙种股票卖出1600元,但亏损20%,该股民在这次交易中是盈利还是亏损?盈利或亏损多少元?
改编5:在我们的身边有一些股民,在每一次的股票交易中或盈利或亏损。某股民将甲、乙两种股票卖出,甲种股票卖出a元,盈利20%,乙种股票卖出b元,但亏损20%,当a、b满足什么关系时该股民在这次交易中不盈也不亏?
通过设计有思维层次的问题,放手让学生自主探索,合作交流,寻求问题解决的办法,使他们在有一定挑战性的情境中,学习知识,掌握方法,发展能力,不仅加深对方程模型化思想的认识,而且体验到应用数学的乐趣。
三、从背景不同的实际问题中挖掘相同的方程模型
教科书第103页第11题(买布问题)。
改编1:顾客用400卢布买了两种布料共65俄尺,其中蓝布料每俄尺6卢布,黑布料每俄尺8卢布,问蓝布料买了多少俄尺?
数量关系:蓝布料的尺寸+黑布料的尺寸=65俄尺
蓝布料的钱数+黑布料的钱数=400卢布
解:设买了蓝布料X俄尺,那么黑布料买了(65-x)俄尺,买蓝布料用了6x卢布,黑布料用了8(65-x)卢布。
列方程,6x+8(65-x)=400 。
改编2:学校团委组织65名团员为学校建花坛搬砖,七年级同学每人搬6块,其他年级同学每人搬8块,总共搬了400块,用列方程方法解决七年级同学有多少人参加了搬砖?
解:设七年级同学有x名参加搬砖6x+8(65-x)=400
改编3:七年级<4>班某同学在学校运动会400米竞赛中先以每秒6米的速度跑完了大部分路程,最后以每秒8米的速度冲刺到达终点,成绩为 1分零5秒问该同学冲刺以前跑了多少秒?
解:该同学冲刺以前跑了x秒,则冲刺后跑了(65-x)秒。
列方程,6x+8(65-x)=400
显然,学生在经历解决3个背景不同的实际问题的过程中,会惊喜地发现若采用直接设元,他们列出的方程相同。教师参与学生的讨论中,一起分析这3个问题中相似的数量关系,从而使学生更深刻的领会模型思想,懂得从千变万化的问题中寻找出共同点——方程模型。
四、让学生添背景编题,提高应用方程模型解决问题的能力
请同学们联系实际编一道应用题,使所列方程为6 x+8(65-x)=400。
在解决上述3个问题后,学生非常乐意去接受挑战。在解决一系列有趣且富有挑战性的问题过程中,培养学生敢于面对挑战和勇于克服困难的意志,鼓励学生大胆尝试,从中获得成功的体验,激发学生的学习热情,提高了应用方程模型解决问题的能力。
因此,在实际课堂教学中,教师应以学生为主体,充分引导学生注意观察生活中的各种现象,充分利用教材的优势,创造性使用教材,努力创设合适的问题情境,让学生投入到解决问题的实践活动中,自己去探索,经历数学建模的全过程,初步领会数学模型的思想和方法,增强数学应用意识,提高学生的创新能力,养成良好的思维品质,使学生学到有用的数学,学到不同的数学。数学建模思想的教学顺应了当前素质教育和新课程标准改革的需要,数学建模的教学必将为中学数学课堂教学改革提供一条新路,也必将为培养更多更好的“创造型”人才提供一个全新的舞台。
参考文献:
[1] 初中数学新课程标准[M].人民教育出版社,2007.
[2]许芬英.课堂教学设计与案例[M].人民教育出版社,2007.
[3]曾泽群.《一元一次方程的应用——实践与探索》的教材分析.2007.
[4]张思明.中学数学建模教学的实践与探索[M].北京教育出版社,1998.