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前言
近日听课几节，颇有感触，现结合自身体会，整理出来以飨读者，期能引起共鸣，共同探讨高中数学课堂教学的某些问题。
下面就有不少同学嘀咕着说不会证，听不懂例5的证法。
生：老师，为什么非要这么变换，我不会代。
师(不耐烦)：这两题很简单，大家只要模仿例5的证法就行了，3(1)对应于2(1)，抓紧时间做吧，好好思考。
大多数学生不再言语，只默默地做(坐)着……
思考：
① 老师认为简单，学生就会简单吗?
把自己的思维强加于他人身上，不正是传统的“注入式”吗?
② 让学生机械的模仿，是我们需要建立的数学学习方法吗?
③ 从大多数学生最后的表现不难看出：这位老师“一言堂”的家长制作风。
案例(二)
在B班，学生胆子相对要大些。
生a：老师，证明(2)非要用到(1)吗?
生b：是啊，如果在考试中独立证明等式(2)，那该怎么办?是否需要先证明等式(1)?
简评：此两生的问题虽有明显的功利性，但这种思维的批判性很值得提倡。
师(不假思索)：不会的，(2)的证明必须在(1)的基础上才能进行，有(1）才有(2)，大家不必担心考试的问题。
思考：
真的不必担心吗?离开了公式(1)，公式(2)就不能证吗?数学等式(尤其是三角恒等式)证明的多向思维可行性，应该是众人皆知的事实。显然这位老师的习常性思维及思维的惰性在作祟，但何以如此武断呢?至少也应该留给学生(或是自己)一个思考的空间。
案例(三)
在C班，同样是在老师证明了公式(2)后，马上有学生提出类似的问题。
生a：老师，等式(2)的证明能否独立进行?(与前两班中的学生提出的问题很类似，可见英雄所见略同)
生b：等式(2)的证明能否像一般等式那样，直接从左到右，或是从右到左?(提的非常好，可谓一语中的)
然而，老师(略有所思)：刚才这位同学提的非常好，但由于时间关系，这个问题留给同学们课后再去思考吧。我刚才讲的这种方法充分体现了这两个等式间的密切联系，同时也强调了转化、化归的思想方法，应该是最简单的方法。
思考：
① 这位老师能注意运用正面鼓励的策略，及时保护学生的求异心理和求知欲望，非常好。
② “课后再去思考吧”这句话有作用吗?，连老师在课上都不愿去认真思考，又有几位学生在课后能认真去思考呢?通常情况下，这种话只是一种推脱之辞罢了。
③“由于时间关系”真的有那么重要吗?其实不过是还有两个事先设计好的例题还没讲完罢了。但“完成既定任务”与“鼓励学生发现并解决问题”孰轻孰重呢?这个问题恐怕不难回答吧。显然，“以本为本”的传统教学思想还在严重地影响并束缚着教师的教学行为。
④“敢于质疑教材，质疑老师”应是学生难得的心理动力，更是创新意识和探究能力培养的启蒙阶段，却在老师轻描淡写的一段话中消失殆尽，实在可惜。
2 问题反思
俗话说：言为心声。从上述三个案例教师的言语中可以看出，许多高中数学老师在教学思想及行为上还存在着一些偏差，简单的说主要有以下几个方面：
2.1 “注入式”、“一言堂”教学之风尚存
以上几位老师在学生提出问题时都没有正视过，也没有认真去倾听学生的想法，反视之为影响教学进程的“拦路虎”，故都以一种草率的态度将其打发掉，从根本上断绝了学生创造性思维火花的进发。在如此的家长制氛围的影响下，学生只能形成机械、顺从、模仿的学习习惯，极不利于学生自主探究意识和创造能力的形成与发展。此乃教学改革之大忌，非改不可。
2.2 受“习常性”思维影响颇深
许多教师在教学过程中，只想如何去完成自己预先设定的任务，从不去想学生能否接受。从思维角度上分析，则是受习常性思维影响过甚，把自己禁锢在一个坚固的传统定势当中，自己不想同时也不允许学生有求异思维的存在。体现在教学实践中，则是：求稳不求新，求多不求精，不求有所突破但求无所过错。实际上这种行为本身就是一种大错，它从很大程度上违背了教学效率的持续性原则，违背了数学研究发现的求新求异规律，严重阻碍了学生学习主动性和创新精神的形成与发展。
2.3 教学设计不够深入
俗话说“磨刀不误砍柴功”。体现在教学行为上，即指教学设计的重要性。要上好一节课必须要先备好这节课，要认真研究教材、善于突破教材，更要研究学生和学法，充分考虑各个教学环节的衔接性，作好从容应付各种突发事件的充分准备。
显然上述三个案例中，老师们并没有对本课教学进行精心设计，没有形成自己的独特见解，纯粹按教材和教参的意见去进行教学，这实际上是受传统“以本为本”思想观念的捆缚，使自己成为课本的奴隶、或是夹于课本和学生之间的翻译者、复读机，从根本上丧失了“人本主义”的探究精神。
2.4 教学应变能力和自信心的严重欠缺
许多老师在课堂上最怕学生的发问，一碰到自己事先没准备好的问题就感束手无策，只以模糊之词不了了之，这实际上反映了老师应变能力和自信心的严重欠缺。当然这方面的提高要基于教师自身丰富教学经验的积累和专业知识修养的沉淀，并非朝夕之功。但我想，无论如何都应该正视并重视学生每一个问题火花的进发，诚恳地和学生一道去研究，即使不能马上解答也不必自责、不安。古人云：“师不一定贤于弟子”。虚心向学生学习不仅是一种美德，同时也是高中数学课程改革的焦点问题，因为作为一名教师，他的人格魅力对学生的影响往往胜过他本身具备的知识能力所产生的影响。
3 对策探微
从上述几个案例的分析中，我们不难看出：教师教学行为的种种偏差，对于课堂教学效率的提高、学生学习习惯和能力的发展都将产生不可低估的负面影响。那么，如何才能纠正和避免出现这种情况呢?我想除了平时不断加强自身学习、提高自身各方面素质，以及课前认真准备、积极钻研教材之外，关键是要在课堂教学中真正体现“以人为本”的教学理念。面向全体学生，真正考虑每一个学生的不同需求，精心设计每一个教学环节，从小处入手，使每一个细微处都能发挥它独特的作用，让学生随时都能得到灵感的撞击，进发出思维和创新的火花，时时感受成功的喜悦。下面我们将在一则成功的教学案例中进一步探讨和分析什么才是成功而有效的教学策略。(笔者对于上述公式的教学过程)
案例实录
师：同学们，前面我们已经学习了和差角公式、倍角公式，而怎样综合、灵活地运用公式则是我们进一步的学习目标。现在，让我们一起来看下面这一道例题：
师：很好，而展开之后是否就可以了呢?还要请每一位同学自己去验证一下。
(同时叫两位同学上台板演，并加以适当点评)
师：两位同学证得都非常好。看来，有些时候公式的直接展开和整理也有意想不到的收获，大家只有在不断的尝试中才能真正去体会。那么，等式(2)是否也能用这样的方法去证明呢?
评注：① 等式(1)的证明较为简单，让学生自己去证明，使其能在成功的喜悦中马上进入积极的思维状态，激发他们继续研究下去的欲望。
② 将(1)的证明思路迁移到(2)的思考中去，有助于激活相关的思维情境，丰富他们的联想空间，有利于已知方法的强化巩固和新思维的展开。
策略1，让学生体验成功的喜悦，增加探究的原
动力下面的学生进入了热烈的讨论之中(有时候“开口想”也是一种积极有效的教学策略，可以让学生在讨论中不断充实丰富自己的思维，形成新的思路。但要注意节奏的控制)
师；让我们来比一比谁能最快找到解题的思路!(相互竞争的激励机制有助于诱发人的情感因子，从而促进积极思维的形成。)
师（略做停顿）：真的不好证啊。
许多同学现出失望的神态。
师：别泄气，坚持做下去。大家说下面该怎么做？
生：只好乘出来试一试了。
师：对啊，大家一定要敢于试一试，不要怕困难。（继续写下去）
至此，大家都舒了一口气：原来如此。
此时，生C：有没有再简单一点的方法，能否从左边开始证呢？（显然学生不满于一种方法，想继续探究下去）
师：大家想一想，从左边到底能不能证？
稍等片刻，见没人反映。
师又道：大家有什么问题？
生D：当然有问题，等式左边是和式，右边是乘积式，不大好转化；再说两边的角也有问题，左边是θ、φ，右边是θ+φ2、θ-φ2，到底怎么办好呢？
评注：老师并没有像常规教学那样进行提示和启发，适当的提示和启发固然有助于开启学生思维之门，但须知：让他们自己提出或发现问题远比帮助他们解决问题更为重要。
策略2，关键之处且放手，让学生自己发现问题
师：对啊，左边是θ、φ，右边是θ+φ2、θ-φ2，究竟有什么关系呢？
生E：我知道到了，θ=θ+φ2+θ-φ2；φ=θ+φ2-θ-φ2。再用两角和与差的公式展开就可以了。（喜悦之情溢于言表）
师：E同学发现了等式两边的角可以相互转化，这正是三角恒等式证明的关键所在，那么究竟能否证出来呢？请同学们自己往下做！（让生E上台板演）
评注：至此，我们得到了两种不同的证明方法(都不同于教材中的方法)，并且都是由同学们自己发现得到的。而在这过程中他们所显现出来的学习热情和探究精神极其可贵，远L匕任何知识和结论的直接得到要重要得多。
策略3，积极引导，突出学生自主探究的学习过程
师：好，刚才同学们一起证明了例5。特别是第(2)小题的不同思路，大家要好好体会。现在请一位同学对今天所研究的两个等式及其证明方法小结一下。
评注：真是不可想象，学生在对前两种方法的总结反思过程中竟然又得出了第三种方法，这也就是教材中给出的方法，但比教材中的给出形式要自然得多。可见，经常引导学生对概念、公式特征及问题的解答过程进行反思，往往能得到意想不到的收获。
策略4，培养学生反思的习惯，让他们在反思中探
求新知最后，老师小结：
这节课我们所研究的等式(”是积化和差，(2)是和差化积，两者有密切联系。其中式(2)既可以由式(1）变形得到，也可以独立去证。更重要的是：这一切都是由同学们通过自身努力、积极探究而得到的。因此我要说的是：你们是好样的!请继续着这火一般的热情；相信自己，你们一定会成功的!(下面响起雷一般的掌声)
课例评析
本节课的教学具有以下特点：
（1） 突出以“问题”为载体，重在创设问题情境，打破常规知识体系的安排，以等式(2)的证明为中心，牵动一系列知识方法的复习巩固，使它们相互衬托而又整合为一体，充分体现了课堂教学“一个中心”和“由浅入深”的原则。
（2） 整节课都强调了师生一起探究问题，努力使学生成为探究过程的主体，所有问题基本上都由学生自主完成，体现了学生学习的“自主性”和“探究性”。
（3） 在每个细微处都鼓励学生从多角度多层面去研究问题，着重训练他们思维的深刻性、批判性和开放性，使之不仅能解决问题，更重要的是要善于提出问题。
（4） 充分体现了学习过程的重要性，使学生经历了问题研究的全过程，有成功，也有失败。有利于培养学生坚韧不拔、不怕挫折、奋发向上的人格品质和永不满足、积极求新的科学态度。笔者正是从以上几个方面出发，尝试通过改变学生的学习方式，来促进每一位学生的个性健康发展，其实这也便是高中数学新课程改革的核心问题。我们应该致力于在课堂教学中认真铺设不同途径的探索发现之路，开启学生探究、发现的思维，真正体现学生的主体地位，实现由“应试教育”向“素质教育”的转变，为当前的数学教育教学改革运动尽一点绵薄之力。
参考文献
1 胡炯涛．数学教学论［M］．广西教育出版社，1996
2 李善良．人本主义学习理论及其对数学教学的影响［J］．中学数学教学参考，2002(4)
3 曹始好．“问题情境”的两层含义和三个境界［J］．中学数学教学参考,2002（8）
4 王雪芹．对数学教学中几个问题的看法［J］．中学数学,2002（4）
“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”
近日听课几节，颇有感触，现结合自身体会，整理出来以飨读者，期能引起共鸣，共同探讨高中数学课堂教学的某些问题。
下面就有不少同学嘀咕着说不会证，听不懂例5的证法。
生：老师，为什么非要这么变换，我不会代。
师(不耐烦)：这两题很简单，大家只要模仿例5的证法就行了，3(1)对应于2(1)，抓紧时间做吧，好好思考。
大多数学生不再言语，只默默地做(坐)着……
思考：
① 老师认为简单，学生就会简单吗?
把自己的思维强加于他人身上，不正是传统的“注入式”吗?
② 让学生机械的模仿，是我们需要建立的数学学习方法吗?
③ 从大多数学生最后的表现不难看出：这位老师“一言堂”的家长制作风。
案例(二)
在B班，学生胆子相对要大些。
生a：老师，证明(2)非要用到(1)吗?
生b：是啊，如果在考试中独立证明等式(2)，那该怎么办?是否需要先证明等式(1)?
简评：此两生的问题虽有明显的功利性，但这种思维的批判性很值得提倡。
师(不假思索)：不会的，(2)的证明必须在(1)的基础上才能进行，有(1）才有(2)，大家不必担心考试的问题。
思考：
真的不必担心吗?离开了公式(1)，公式(2)就不能证吗?数学等式(尤其是三角恒等式)证明的多向思维可行性，应该是众人皆知的事实。显然这位老师的习常性思维及思维的惰性在作祟，但何以如此武断呢?至少也应该留给学生(或是自己)一个思考的空间。
案例(三)
在C班，同样是在老师证明了公式(2)后，马上有学生提出类似的问题。
生a：老师，等式(2)的证明能否独立进行?(与前两班中的学生提出的问题很类似，可见英雄所见略同)
生b：等式(2)的证明能否像一般等式那样，直接从左到右，或是从右到左?(提的非常好，可谓一语中的)
然而，老师(略有所思)：刚才这位同学提的非常好，但由于时间关系，这个问题留给同学们课后再去思考吧。我刚才讲的这种方法充分体现了这两个等式间的密切联系，同时也强调了转化、化归的思想方法，应该是最简单的方法。
思考：
① 这位老师能注意运用正面鼓励的策略，及时保护学生的求异心理和求知欲望，非常好。
② “课后再去思考吧”这句话有作用吗?，连老师在课上都不愿去认真思考，又有几位学生在课后能认真去思考呢?通常情况下，这种话只是一种推脱之辞罢了。
③“由于时间关系”真的有那么重要吗?其实不过是还有两个事先设计好的例题还没讲完罢了。但“完成既定任务”与“鼓励学生发现并解决问题”孰轻孰重呢?这个问题恐怕不难回答吧。显然，“以本为本”的传统教学思想还在严重地影响并束缚着教师的教学行为。
④“敢于质疑教材，质疑老师”应是学生难得的心理动力，更是创新意识和探究能力培养的启蒙阶段，却在老师轻描淡写的一段话中消失殆尽，实在可惜。
2 问题反思
俗话说：言为心声。从上述三个案例教师的言语中可以看出，许多高中数学老师在教学思想及行为上还存在着一些偏差，简单的说主要有以下几个方面：
2.1 “注入式”、“一言堂”教学之风尚存
以上几位老师在学生提出问题时都没有正视过，也没有认真去倾听学生的想法，反视之为影响教学进程的“拦路虎”，故都以一种草率的态度将其打发掉，从根本上断绝了学生创造性思维火花的进发。在如此的家长制氛围的影响下，学生只能形成机械、顺从、模仿的学习习惯，极不利于学生自主探究意识和创造能力的形成与发展。此乃教学改革之大忌，非改不可。
2.2 受“习常性”思维影响颇深
许多教师在教学过程中，只想如何去完成自己预先设定的任务，从不去想学生能否接受。从思维角度上分析，则是受习常性思维影响过甚，把自己禁锢在一个坚固的传统定势当中，自己不想同时也不允许学生有求异思维的存在。体现在教学实践中，则是：求稳不求新，求多不求精，不求有所突破但求无所过错。实际上这种行为本身就是一种大错，它从很大程度上违背了教学效率的持续性原则，违背了数学研究发现的求新求异规律，严重阻碍了学生学习主动性和创新精神的形成与发展。
2.3 教学设计不够深入
俗话说“磨刀不误砍柴功”。体现在教学行为上，即指教学设计的重要性。要上好一节课必须要先备好这节课，要认真研究教材、善于突破教材，更要研究学生和学法，充分考虑各个教学环节的衔接性，作好从容应付各种突发事件的充分准备。
显然上述三个案例中，老师们并没有对本课教学进行精心设计，没有形成自己的独特见解，纯粹按教材和教参的意见去进行教学，这实际上是受传统“以本为本”思想观念的捆缚，使自己成为课本的奴隶、或是夹于课本和学生之间的翻译者、复读机，从根本上丧失了“人本主义”的探究精神。
2.4 教学应变能力和自信心的严重欠缺
许多老师在课堂上最怕学生的发问，一碰到自己事先没准备好的问题就感束手无策，只以模糊之词不了了之，这实际上反映了老师应变能力和自信心的严重欠缺。当然这方面的提高要基于教师自身丰富教学经验的积累和专业知识修养的沉淀，并非朝夕之功。但我想，无论如何都应该正视并重视学生每一个问题火花的进发，诚恳地和学生一道去研究，即使不能马上解答也不必自责、不安。古人云：“师不一定贤于弟子”。虚心向学生学习不仅是一种美德，同时也是高中数学课程改革的焦点问题，因为作为一名教师，他的人格魅力对学生的影响往往胜过他本身具备的知识能力所产生的影响。
3 对策探微
从上述几个案例的分析中，我们不难看出：教师教学行为的种种偏差，对于课堂教学效率的提高、学生学习习惯和能力的发展都将产生不可低估的负面影响。那么，如何才能纠正和避免出现这种情况呢?我想除了平时不断加强自身学习、提高自身各方面素质，以及课前认真准备、积极钻研教材之外，关键是要在课堂教学中真正体现“以人为本”的教学理念。面向全体学生，真正考虑每一个学生的不同需求，精心设计每一个教学环节，从小处入手，使每一个细微处都能发挥它独特的作用，让学生随时都能得到灵感的撞击，进发出思维和创新的火花，时时感受成功的喜悦。下面我们将在一则成功的教学案例中进一步探讨和分析什么才是成功而有效的教学策略。(笔者对于上述公式的教学过程)
案例实录
师：同学们，前面我们已经学习了和差角公式、倍角公式，而怎样综合、灵活地运用公式则是我们进一步的学习目标。现在，让我们一起来看下面这一道例题：
师：很好，而展开之后是否就可以了呢?还要请每一位同学自己去验证一下。
(同时叫两位同学上台板演，并加以适当点评)
师：两位同学证得都非常好。看来，有些时候公式的直接展开和整理也有意想不到的收获，大家只有在不断的尝试中才能真正去体会。那么，等式(2)是否也能用这样的方法去证明呢?
评注：① 等式(1)的证明较为简单，让学生自己去证明，使其能在成功的喜悦中马上进入积极的思维状态，激发他们继续研究下去的欲望。
② 将(1)的证明思路迁移到(2)的思考中去，有助于激活相关的思维情境，丰富他们的联想空间，有利于已知方法的强化巩固和新思维的展开。
策略1，让学生体验成功的喜悦，增加探究的原
动力下面的学生进入了热烈的讨论之中(有时候“开口想”也是一种积极有效的教学策略，可以让学生在讨论中不断充实丰富自己的思维，形成新的思路。但要注意节奏的控制)
师；让我们来比一比谁能最快找到解题的思路!(相互竞争的激励机制有助于诱发人的情感因子，从而促进积极思维的形成。)
师（略做停顿）：真的不好证啊。
许多同学现出失望的神态。
师：别泄气，坚持做下去。大家说下面该怎么做？
生：只好乘出来试一试了。
师：对啊，大家一定要敢于试一试，不要怕困难。（继续写下去）
至此，大家都舒了一口气：原来如此。
此时，生C：有没有再简单一点的方法，能否从左边开始证呢？（显然学生不满于一种方法，想继续探究下去）
师：大家想一想，从左边到底能不能证？
稍等片刻，见没人反映。
师又道：大家有什么问题？
生D：当然有问题，等式左边是和式，右边是乘积式，不大好转化；再说两边的角也有问题，左边是θ、φ，右边是θ+φ2、θ-φ2，到底怎么办好呢？
评注：老师并没有像常规教学那样进行提示和启发，适当的提示和启发固然有助于开启学生思维之门，但须知：让他们自己提出或发现问题远比帮助他们解决问题更为重要。
策略2，关键之处且放手，让学生自己发现问题
师：对啊，左边是θ、φ，右边是θ+φ2、θ-φ2，究竟有什么关系呢？
生E：我知道到了，θ=θ+φ2+θ-φ2；φ=θ+φ2-θ-φ2。再用两角和与差的公式展开就可以了。（喜悦之情溢于言表）
师：E同学发现了等式两边的角可以相互转化，这正是三角恒等式证明的关键所在，那么究竟能否证出来呢？请同学们自己往下做！（让生E上台板演）
评注：至此，我们得到了两种不同的证明方法(都不同于教材中的方法)，并且都是由同学们自己发现得到的。而在这过程中他们所显现出来的学习热情和探究精神极其可贵，远L匕任何知识和结论的直接得到要重要得多。
策略3，积极引导，突出学生自主探究的学习过程
师：好，刚才同学们一起证明了例5。特别是第(2)小题的不同思路，大家要好好体会。现在请一位同学对今天所研究的两个等式及其证明方法小结一下。
评注：真是不可想象，学生在对前两种方法的总结反思过程中竟然又得出了第三种方法，这也就是教材中给出的方法，但比教材中的给出形式要自然得多。可见，经常引导学生对概念、公式特征及问题的解答过程进行反思，往往能得到意想不到的收获。
策略4，培养学生反思的习惯，让他们在反思中探
求新知最后，老师小结：
这节课我们所研究的等式(”是积化和差，(2)是和差化积，两者有密切联系。其中式(2)既可以由式(1）变形得到，也可以独立去证。更重要的是：这一切都是由同学们通过自身努力、积极探究而得到的。因此我要说的是：你们是好样的!请继续着这火一般的热情；相信自己，你们一定会成功的!(下面响起雷一般的掌声)
课例评析
本节课的教学具有以下特点：
（1） 突出以“问题”为载体，重在创设问题情境，打破常规知识体系的安排，以等式(2)的证明为中心，牵动一系列知识方法的复习巩固，使它们相互衬托而又整合为一体，充分体现了课堂教学“一个中心”和“由浅入深”的原则。
（2） 整节课都强调了师生一起探究问题，努力使学生成为探究过程的主体，所有问题基本上都由学生自主完成，体现了学生学习的“自主性”和“探究性”。
（3） 在每个细微处都鼓励学生从多角度多层面去研究问题，着重训练他们思维的深刻性、批判性和开放性，使之不仅能解决问题，更重要的是要善于提出问题。
（4） 充分体现了学习过程的重要性，使学生经历了问题研究的全过程，有成功，也有失败。有利于培养学生坚韧不拔、不怕挫折、奋发向上的人格品质和永不满足、积极求新的科学态度。笔者正是从以上几个方面出发，尝试通过改变学生的学习方式，来促进每一位学生的个性健康发展，其实这也便是高中数学新课程改革的核心问题。我们应该致力于在课堂教学中认真铺设不同途径的探索发现之路，开启学生探究、发现的思维，真正体现学生的主体地位，实现由“应试教育”向“素质教育”的转变，为当前的数学教育教学改革运动尽一点绵薄之力。
参考文献
1 胡炯涛．数学教学论［M］．广西教育出版社，1996
2 李善良．人本主义学习理论及其对数学教学的影响［J］．中学数学教学参考，2002(4)
3 曹始好．“问题情境”的两层含义和三个境界［J］．中学数学教学参考,2002（8）
4 王雪芹．对数学教学中几个问题的看法［J］．中学数学,2002（4）
“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”