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如何帮助学生深入理解分数的由来及意义,正确把握分数的本质呢?笔者以谭健老师执教的人教版数学五年级下册《分数的意义》为例,谈核心素养视域下如何引导学生触摸分数概念的本质。
一、渗透史料,回归概念本质
课始,教师利用微课展示分数的发展史,引导学生了解分数产生的背景和过程。随后,教师展示“分数的产生”情境图。第一幅图表现了古人度量物体长度时遇到的困惑——剩下的不足一段怎么记录。这个情境形象地揭示了在测量物体时,由于得不到整数的结果,而产生了把一个单位等分成若干份再测量的需要。另一幅图给出了两个小朋友分一个西红柿、一块月饼和一包饼干的情境,通过分的实例,使学生初步感悟:利用分数可以解决整数除法除不尽的问题,即从数学内部发展的角度,揭示了分数的来源。教师通过展示、分析“测量”与“分物体”的实例,唤起学生的已有经验,使学生感悟分数是适应客观需要而产生的、源于生活的数,分数可以表示一个具体的量,并潜移默化地使学生了解相关数学史。这样教学,能使学生在数学文化背景下开展思维活动,获得素养提升。
二、自主探究,深化概念理解
“单位‘1’”和“分数单位”是理解分数的意义的两个关键概念。
1.多元表征,理解单位“1”
传统的《分数的意义》教学,教师往往会先提出“生活中哪些物体可以用1来表示”“自然数1除了可以表示一个物体,还能表示什么”等问题,再指出“自然数1除了可以表示1个物体,还可以表示许多物体组成的一个整体”,进而揭示单位“1”。这样的教学仅仅停留在“告诉”的层面,其教学过程本质上是接受式的。那么,如何引导学生更好地认识单位“1”呢?
教学中,教师首先引导学生利用手中的小纸片,通过折一折、画一画、涂一涂等方法表示[14]。学生独立思考后,在小组内交流,再全班汇报展示,形成三类成果(如下图)。
教师首先以“平面图形类”和“线段类”成果为例,引导学生思考“为什么不同的图形都可以表示[14]”,并归纳得出“把一个图形平均分成4份,这样的1份可以用[14]来表示”。第三类图能不能用[14]表示呢?这个问题引发了学生的思辨。学生讨论得出:把4个圆形看成一个整体,把这个整体平均分成4份,其中的1份也可以用[14]来表示;用这幅图表示[14],与之前用一个图形表示[14]的区别在于要分的总数不同。教师顺势引导:“如果有更多的圆,怎么表示[14],你能画一画吗?”学生形成如下作品。
教师追问:“为什么数量不同,却都能表示[14]?”师生共同归纳得出:第一幅图是4个圆的[14],第二幅图是8个圆的[14],第三幅图是12个圆的[14],这里的[14]所表示的圆的个数不同,是因为整体的数量不同。
接下来的教学中,教师围绕[14]的多元表征,揭示单位“1”。
师(白板呈现图):你能在每一幅图上表示出它的[14]吗?
生1:把4根香蕉看作一个整体,1根香蕉是这个整体的[14]。
生2:把8 个面包看作一个整体,平均分成4份,每份的2个面包是这个整体的[14]。
师:同学们在表示[14]的过程中,有什么发现?
生3:都是把物体平均分成4份,表示这样的1份。
生4:我发现有的是把1个图形平均分,有的是把1把香蕉、8个面包平均分。
师:一个图形称为一个物体,那么4根香蕉、8个面包是由许多单个物体组成的,我们称作一些物体。不论是一个物体,还是一些物体,都可以看作一个整体。一个整体可以用自然数1来表示,我们通常把它叫作单位“1”。对于这个整体,你还能想出其他的例子吗?动脑筋创造几个分数。
谭老师跳出传统教学方式,为学生创设实践性问题情境,提供充分的感性材料,使学生在动手操作、独立思考、观察讨论、合作交流等自主探究的过程中理解分数的意义,培养了学生分析、比较、概括等逻辑思维能力。以上设计,让学生对一个整体的概念有了正确的理解,拓展了学生对“[14]”和单位“1”的认识。
2.充分体验,理解分数单位
教师用白板呈现教科书第46页做一做:把一堆糖块,平均分成2 份、3份、4份……组织学生小组合作完成。学生用小塑料方块表示糖块,动手分一分,并把结果填在“探究卡”上。在汇报环节,教师首先引导学生说明[12]、[23]、[34]分别表示什么意思,接着说一说这些分数的分子和分母分别表示什么意思,然后师生通过交流,总结得出:把单位“1”平均分成若干份,表示这样一份的数就是分数的分数单位。如,[23]的分数单位是[13]。最后,教师带领学生利用磁吸小圆片找分数单位,发现所有分数单位的共同特点是表示“几分之一”。
分数具有多重意义,这意味着教师必须不断激发学生的已有经验,由浅入深、分步扩展,帮助学生主动建构新的分数经验。学生在解决问题的过程中,经历了多次的比较、概括,清晰地认识了分数单位就是分数的计数单位,分子就是计数单位的个数,水到渠成地理解了分数单位的内涵。
三、巩固应用,拓展概念认知
在完善了学生对分数概念和内涵的认知后,教师设计有梯度的练习,引导学生灵活运用知识,解决有关分数的实际问题。
首先,教师用白板設计了“配对游戏”,引导学生通过观察,把分数与相应的图片配对。游戏设计不仅调动了学生的学习兴趣,而且让学生在“拿”的过程中,巩固了对分数意义的理解。其次,教师结合教科书习题,设计了“猜谜语”“动手折一折”的练习,引导学生经历猜想、操作、验证的过程,体会分数的内涵,感受数学与生活的紧密联系。最后,教师设计闯关练习,引导学生在纠错中积累正确表征分数的活动经验。
闯关:在下面的数轴上,[34]和[74]之间,只有3个分数。请判断对错并说明理由。
判断为正确的学生反映出其缺乏分数的数感,他们只是把数轴上[34]和[74]之间能看到的、已经标记出来的3个刻度线作为可以找到的分数。此时教师没有揭晓答案,而是提名判断为错的学生上台演示[34]和1之间可以有[78]、[1316]……这样的分数。教师通过进一步地说理,让学生明白“无论哪两个分数之间,都存在无数个分数”,使学生感悟分数的奇妙特征。
(作者单位:向子龙,恩施州巴东县教育教学研究室;谭健,恩施州巴东县大支坪镇中心小学)
助理编辑
一、渗透史料,回归概念本质
课始,教师利用微课展示分数的发展史,引导学生了解分数产生的背景和过程。随后,教师展示“分数的产生”情境图。第一幅图表现了古人度量物体长度时遇到的困惑——剩下的不足一段怎么记录。这个情境形象地揭示了在测量物体时,由于得不到整数的结果,而产生了把一个单位等分成若干份再测量的需要。另一幅图给出了两个小朋友分一个西红柿、一块月饼和一包饼干的情境,通过分的实例,使学生初步感悟:利用分数可以解决整数除法除不尽的问题,即从数学内部发展的角度,揭示了分数的来源。教师通过展示、分析“测量”与“分物体”的实例,唤起学生的已有经验,使学生感悟分数是适应客观需要而产生的、源于生活的数,分数可以表示一个具体的量,并潜移默化地使学生了解相关数学史。这样教学,能使学生在数学文化背景下开展思维活动,获得素养提升。
二、自主探究,深化概念理解
“单位‘1’”和“分数单位”是理解分数的意义的两个关键概念。
1.多元表征,理解单位“1”
传统的《分数的意义》教学,教师往往会先提出“生活中哪些物体可以用1来表示”“自然数1除了可以表示一个物体,还能表示什么”等问题,再指出“自然数1除了可以表示1个物体,还可以表示许多物体组成的一个整体”,进而揭示单位“1”。这样的教学仅仅停留在“告诉”的层面,其教学过程本质上是接受式的。那么,如何引导学生更好地认识单位“1”呢?
教学中,教师首先引导学生利用手中的小纸片,通过折一折、画一画、涂一涂等方法表示[14]。学生独立思考后,在小组内交流,再全班汇报展示,形成三类成果(如下图)。
教师首先以“平面图形类”和“线段类”成果为例,引导学生思考“为什么不同的图形都可以表示[14]”,并归纳得出“把一个图形平均分成4份,这样的1份可以用[14]来表示”。第三类图能不能用[14]表示呢?这个问题引发了学生的思辨。学生讨论得出:把4个圆形看成一个整体,把这个整体平均分成4份,其中的1份也可以用[14]来表示;用这幅图表示[14],与之前用一个图形表示[14]的区别在于要分的总数不同。教师顺势引导:“如果有更多的圆,怎么表示[14],你能画一画吗?”学生形成如下作品。
教师追问:“为什么数量不同,却都能表示[14]?”师生共同归纳得出:第一幅图是4个圆的[14],第二幅图是8个圆的[14],第三幅图是12个圆的[14],这里的[14]所表示的圆的个数不同,是因为整体的数量不同。
接下来的教学中,教师围绕[14]的多元表征,揭示单位“1”。
师(白板呈现图):你能在每一幅图上表示出它的[14]吗?
生1:把4根香蕉看作一个整体,1根香蕉是这个整体的[14]。
生2:把8 个面包看作一个整体,平均分成4份,每份的2个面包是这个整体的[14]。
师:同学们在表示[14]的过程中,有什么发现?
生3:都是把物体平均分成4份,表示这样的1份。
生4:我发现有的是把1个图形平均分,有的是把1把香蕉、8个面包平均分。
师:一个图形称为一个物体,那么4根香蕉、8个面包是由许多单个物体组成的,我们称作一些物体。不论是一个物体,还是一些物体,都可以看作一个整体。一个整体可以用自然数1来表示,我们通常把它叫作单位“1”。对于这个整体,你还能想出其他的例子吗?动脑筋创造几个分数。
谭老师跳出传统教学方式,为学生创设实践性问题情境,提供充分的感性材料,使学生在动手操作、独立思考、观察讨论、合作交流等自主探究的过程中理解分数的意义,培养了学生分析、比较、概括等逻辑思维能力。以上设计,让学生对一个整体的概念有了正确的理解,拓展了学生对“[14]”和单位“1”的认识。
2.充分体验,理解分数单位
教师用白板呈现教科书第46页做一做:把一堆糖块,平均分成2 份、3份、4份……组织学生小组合作完成。学生用小塑料方块表示糖块,动手分一分,并把结果填在“探究卡”上。在汇报环节,教师首先引导学生说明[12]、[23]、[34]分别表示什么意思,接着说一说这些分数的分子和分母分别表示什么意思,然后师生通过交流,总结得出:把单位“1”平均分成若干份,表示这样一份的数就是分数的分数单位。如,[23]的分数单位是[13]。最后,教师带领学生利用磁吸小圆片找分数单位,发现所有分数单位的共同特点是表示“几分之一”。
分数具有多重意义,这意味着教师必须不断激发学生的已有经验,由浅入深、分步扩展,帮助学生主动建构新的分数经验。学生在解决问题的过程中,经历了多次的比较、概括,清晰地认识了分数单位就是分数的计数单位,分子就是计数单位的个数,水到渠成地理解了分数单位的内涵。
三、巩固应用,拓展概念认知
在完善了学生对分数概念和内涵的认知后,教师设计有梯度的练习,引导学生灵活运用知识,解决有关分数的实际问题。
首先,教师用白板設计了“配对游戏”,引导学生通过观察,把分数与相应的图片配对。游戏设计不仅调动了学生的学习兴趣,而且让学生在“拿”的过程中,巩固了对分数意义的理解。其次,教师结合教科书习题,设计了“猜谜语”“动手折一折”的练习,引导学生经历猜想、操作、验证的过程,体会分数的内涵,感受数学与生活的紧密联系。最后,教师设计闯关练习,引导学生在纠错中积累正确表征分数的活动经验。
闯关:在下面的数轴上,[34]和[74]之间,只有3个分数。请判断对错并说明理由。
判断为正确的学生反映出其缺乏分数的数感,他们只是把数轴上[34]和[74]之间能看到的、已经标记出来的3个刻度线作为可以找到的分数。此时教师没有揭晓答案,而是提名判断为错的学生上台演示[34]和1之间可以有[78]、[1316]……这样的分数。教师通过进一步地说理,让学生明白“无论哪两个分数之间,都存在无数个分数”,使学生感悟分数的奇妙特征。
(作者单位:向子龙,恩施州巴东县教育教学研究室;谭健,恩施州巴东县大支坪镇中心小学)
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