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【摘要】函数思想是贯穿整个高中数学课程始终的重要思想之一。为了更好的理解高中数学课程，需要弄清中、小学数学课程中函数思想的发展脉络。
【关键词】认识 理解 函数 函数思想一、课题的产生
当我来到这所小学接过这个班时，我发现这个班的学生对数学学习兴趣淡薄，数学计算能力很差，速度很慢，不动脑筋，死搬硬套，不管什么问题，都是罗列起来相加或者是相乘，面对的是比全镇倒数第二名数学平均分还低19.2分的三十多名学生，第一次考试用尽了我所有办法，然而还比倒数第二名低8.7分，就在我一筹莫展时，看到了一只蚂蚁在一个苹果上，东跑西踮，上窜下跳， 来回转游很是辛苦，两个小时过去了，蚂蚁辛勤的工作毫无进展，在苹果上爬来爬去无从下口，就在这时，我顺手为它掀开一点苹果皮，五分钟过去之后，小蚂蚁尝到了苹果的甜头，就钻进苹果里去了，半小时之后，这个又大又红的苹果就被吃成一个大洞。 这个又大又红的苹果就好比科学知识的宝库，口算练习就像掀开一点儿苹果皮，为“小蚂蚁”打开了进入知识宝库的大门。就是在这样的背景下，我启动了“口算教学”它既能让学生全员参与（因为它不难不深），又能让孩子产生兴趣，这样长期下去会形成习惯，就能解决以上问题，而最重要的是在进行口算练习时，孩子的大脑始终处于想象状态，这样有助于发展学生的想象力和创造力。
二、活动过程记录
（一）分组活动根据自然座次把我班32人，每四人一组，分成8个小组，进行抢答练习，排出1，2，3，4名；再根据一轮产生的八个第一名8个人，分成两个小组，所有第二名分成两个小组，……重新进行第二轮抢答练习。根据二轮抢答结果进行第三次分组，再进行第三轮抢答。这样好的和好的一组，差的和差的一组，在同一条起跑线上进行练习。
（二）教师准备好样题，统计表，教师根据学生年龄特点，知识面的大小和新课标的要求，准备50个既要让学生动脑，又很简单，每个学生都能用笔算算出来的题。
（三）活动方法：在每组四人中，我们采用一人读题，三人抢答，先正确回答者为优胜者，在统计表上画“正”字，第一人读完50题换第二人读题，另外三人抢答，每组中，每人读完一题一轮结束，整理统计表，排出1，2，3，4名。
（四）活动时间安排：每次抢答需要15 20分钟完成一次，1，3，5各安排一次完成一轮抢答。
三、结题报告：
通过一年多实验，我们的学生已养成习惯，他们已经能在玩耍、嬉戏、欢乐的气氛中，愉快的完成口算练习，而使我受益最深的还是：“我授课轻松多了，学生接受能力提高了，运算速度加快了，动脑思考的多了，勤于动手的多了，成绩好的多了，学困生少了……”纠其原因和作用机理是：一人读出题目，其它三人要想说出答案就去思考，这个思考的过程，就是动脑思维的过程，人越动脑筋，大脑就变得越灵活，脑越灵活，就越愿意去解决问题，解决了问题就有一种成就感，有成就感就会给他带来快乐，他们越快乐，就越愿意体会这种感觉，因此，他们就会去寻找具有这种感觉的东西去解决数学问题，这样，他们的数学能力就在无意中培养起来了。
四、教学感悟：
计算教学是小学数学教学的重要组成部分，贯穿于小学数学教学的各个环节之中。自古以来，中国的计算教学都较为关注学生计算技能的培养，并取得了较好的成绩，在发展过程中也总结概括出了计算教学模式。近年来，随着素质教育的普遍实施，数学课堂教学比以往有了更进一步的发展，比如更加关注学生生活，更加关注情感、态度、价值观的培养等等一系列成功的变化。在发展的同时，也反应出了一定的问题。在计算教学方面，我认为主要有以下几个方面的问题：一、小学生计算能力较以往有所下降，影响了进一步的数学学习；二、学生数感不强，影响了解决问题的能力；三、小学生对计算器的依赖程度过高等等。我在计算教学中感到无所适从最重要的原因是关于计算教学价值的理解存在偏差。因此，本研究从国内外计算教学价值取向的发展变化出发，反思目前我国计算教学，重点研究计算教学的理性价值取向。
习惯是在我们不断的训练的基础上形成的，好的习惯一旦形成，就会为我们的教学开辟绿色通道，所以，培养习惯就是为我们教学铺路，口算抢答练习，在发展语言能力的同时，发展了学生的思维能力，激发了他们的想象力和创造潜能。孩子的想象是奇特的，就像一座无穷无尽的宝藏，只要你帮助他，就像掀开一点儿苹果皮一样，放飞他们的想象。就会放飞出陈景润、华罗庚、爱迪生、爱因斯坦……
我們班的数学成绩第二次是11名。第三次是第九名，第四次如果加上漏掉的十八个同学的口算成绩应是第六名。这一次考试我们争取进入前三名，而更重要的是培养了学生的想象力和创造力。大自然因为有了想象而妩媚，人是有了想象而有生机，所以我们要激励今天孩子们用自己的眼光看待世界，用自己的（经历）感受生活，用自己的头脑思考问题，用自己的智慧创造一切。
函数是高中数学的重要内容之一。函数的基础知识在现实生活、社会、经济及其他学科中有着广泛的应用；函数与代数式方程不等式等内容联系非常密切。为了更好的理解高中数学课程，需要弄清中、小学数学课程中函数思想的发展脉络。
（1）在义务教育阶段，特别是在小学时期，数、量、图、数据是引导儿童进入数学的源泉。在开始阶段，数和量常常是交织在一起，通常我们总说数量，数是用来刻画量的大小的一种工具，对于学生来说，我们更需要强调它们之间的联系。以重量、时间、长度、面积、路程等量为背景，对我们理解数的概念、数的表示、数的运算等是十分重要的。
在日常生活中，有两种量--常量和变量。在义务教育阶段，首先，帮助学生理解常量，或者理解数量，理解数量的大小，理解数量的加、减、乘、除，等等。
有些量是已知的，有一些是未知的，渗透未知量的概念，这是对量认识的一个飞跃，在小学阶段，经历了一个很长的过程。从常量到变量，这是认识函数思想的另一个飞跃。通过大量的事实，帮助学生了解在日常生活中存在各种变量，度、温度、湿度等等。有些变量和变量之间没有依赖关系，有些变量和变量之间存在着依赖关系，一个量的变化引起另一个量的变化。 通过大量的实例，就建立起了反映变量之间相互依赖关系的概念--函数关系。虽然这样的描述并不是十分严格，但是这是认识函数关系的重要视角。有人认为这是对函数的初步认识，这种说法不完全，变量与变量的依赖关系，从一个方面，揭示了函数的本质。函数是一个变量与另一个变量之间的一座桥，学习了映射，会对“桥”有更深入的理解。
（2）在高中阶段，学习的知识更加丰富了。我们利用更丰富的实例引导学生认识到，函数是刻画日常生活和其他学科规律的重要数学模型。在高中数学中，函数模型应该占有很重要的地位。
（3）在此基础上，进一步抽象概括出函数的严格数学定义。函数关系像一座桥梁把两个变量联系起来，形象的说，在直角坐标系中，函数图像就像一座桥梁把变量x和y联系起来了。
（4）知道了函数的定义之后，再去研究它的性质。
单调性是中学阶段函数最基本的性质之一。一旦我们弄清了一个函数的单调性，就能刻画出这个函数图形的基本形状，以及这个函数变化的基本状况。周期性也是中学阶段函数的一个最基本的性质。我们生活在一个周期变化的世界里。因此，学会用周期的观点来看待周围事物的变化是非常重要的。周期函数，比如，正余弦函数、正余切函数都是刻画周期变化的函数模型。用周期的观点来研究函数，可以使我们集中研究函数在一个周期里的变化，在此基础上，就可以了解函数在整个定义域内的变化情况。
奇偶性也是我们在中学阶段要研究的函数的性质，但是它不是最基本的性质。奇偶性反应的是函数图形的对称性质，可以帮助我们更加准确和集中地研究函数的变化规律。
（5）在高中数学课程中，通过函数的学习逐步形成了映射的思想和映射的定义，函数是两个实数集合之间的一种对应关系，而映射是两个集合之间的一种对应关系。映射能够帮助我们更好的理解兩类物体之间的“桥梁关系”。映射的思想和函数的思想在本质上是一样的，只是它们连接的两类对象不同。在运用函数（映射）的思想解决问题的过程中，会不断加深对于函数桥梁作用的理解。
（6）函数的思想在其他部分数学内容的学习中发挥着重要作用。
用函数的观点来讨论不等式的问题会有很大的“好处” 。不等式是高中必修课程中一个重要的内容，例如，一元二次不等式，简单的线性规划问题，用函数的观点看待这些问题，有助于更好的理解这些知识本身。
在高中课程中，函数与数列、函数与导数及其应用、函数与算法、函数与概率中的随机变量、函数与选修3.4中的大部分专题内容都有着密切的联系。用函数（映射）的思想去理解这些内容，是非常重要的一个出发点。反过来，通过这些内容的学习，更加深了对于函数思想的认识。
（7）在大学的数学中，函数（映射）的思想依然发挥着重要的作用。例如，数学系的课程中，数学分析、实变函数、复变函数、常微分方程、偏微分方程、泛函分析等等。这些学科都是从不同角度研究函数所构成的课程。值得一提的是，在对其他课程的学习中，函数（映射）思想仍然起到了重要的作用。
综上所述，函数思想是高中数学课程的一条主线，从一个角度链接起了高中数学课程的许多内容。有了这条主线就可以把数学的知识编织在一起，这样可以使我们对知识的掌握更牢固一些。
我们学习数学是“线性序”，但数学本身不是“线性的”。我们可以从一个知识出发，推出后面的知识，同样我们也可以从另一个知识出发，按照一定的顺序推出来。如果我们对这个网有了深刻的认识，可以从不同的角度从局部到整体，再从整体到局部，把所学的知识有机地联系起来。
为了在高中数学课程中贯穿这一主线，在教学时，应把握以下几点。
（1）对函数的研究一定不能停留在抽象的讨论。教师应该帮助学生在头脑中建立起几个重要的模型，并把这些留在头脑中。
学生应该在头脑中留下几个具体的实际模型，比如，分段函数，以及基本的函数模型，比如，简单的幂函数、指数函数与对数函数、三角函数。结合这些函数，不断地加深对于函数的定义、性质以及函数研究方法的理解。再通过这些模型，理解函数与其他数学知识之间的联系。
（2）函数的教学一定要突出函数图形的地位。不管是用解析式、图表法还是图像法去刻画一个具体函数时，我们都要让学生在脑子里形成一个图形。只有把握住图形才能把握住一个函数的整体情况，这样的学习习惯有助于提高运用几何思想、把握图形的能力。所以，我们常常说学习函数要体现数形结合。
（3）函数是刻画客观世界的一个基本数学模型。因此，对于函数的学习，应该与体会、感受和运用函数解决问题有机的结合起来。应该引导学生去思考函数的应用问题，特别是思考函数在日常生活和其他学科的应用。可以在教学中渗透数学建模的思想。
（4）在学习与函数知识有关内容时，理解函数思想。实际上，在整个高中数学课程中，都需要不断地体会、理解“函数思想”给我们带来的“好处”。
【关键词】认识 理解 函数 函数思想一、课题的产生
当我来到这所小学接过这个班时，我发现这个班的学生对数学学习兴趣淡薄，数学计算能力很差，速度很慢，不动脑筋，死搬硬套，不管什么问题，都是罗列起来相加或者是相乘，面对的是比全镇倒数第二名数学平均分还低19.2分的三十多名学生，第一次考试用尽了我所有办法，然而还比倒数第二名低8.7分，就在我一筹莫展时，看到了一只蚂蚁在一个苹果上，东跑西踮，上窜下跳， 来回转游很是辛苦，两个小时过去了，蚂蚁辛勤的工作毫无进展，在苹果上爬来爬去无从下口，就在这时，我顺手为它掀开一点苹果皮，五分钟过去之后，小蚂蚁尝到了苹果的甜头，就钻进苹果里去了，半小时之后，这个又大又红的苹果就被吃成一个大洞。 这个又大又红的苹果就好比科学知识的宝库，口算练习就像掀开一点儿苹果皮，为“小蚂蚁”打开了进入知识宝库的大门。就是在这样的背景下，我启动了“口算教学”它既能让学生全员参与（因为它不难不深），又能让孩子产生兴趣，这样长期下去会形成习惯，就能解决以上问题，而最重要的是在进行口算练习时，孩子的大脑始终处于想象状态，这样有助于发展学生的想象力和创造力。
二、活动过程记录
（一）分组活动根据自然座次把我班32人，每四人一组，分成8个小组，进行抢答练习，排出1，2，3，4名；再根据一轮产生的八个第一名8个人，分成两个小组，所有第二名分成两个小组，……重新进行第二轮抢答练习。根据二轮抢答结果进行第三次分组，再进行第三轮抢答。这样好的和好的一组，差的和差的一组，在同一条起跑线上进行练习。
（二）教师准备好样题，统计表，教师根据学生年龄特点，知识面的大小和新课标的要求，准备50个既要让学生动脑，又很简单，每个学生都能用笔算算出来的题。
（三）活动方法：在每组四人中，我们采用一人读题，三人抢答，先正确回答者为优胜者，在统计表上画“正”字，第一人读完50题换第二人读题，另外三人抢答，每组中，每人读完一题一轮结束，整理统计表，排出1，2，3，4名。
（四）活动时间安排：每次抢答需要15 20分钟完成一次，1，3，5各安排一次完成一轮抢答。
三、结题报告：
通过一年多实验，我们的学生已养成习惯，他们已经能在玩耍、嬉戏、欢乐的气氛中，愉快的完成口算练习，而使我受益最深的还是：“我授课轻松多了，学生接受能力提高了，运算速度加快了，动脑思考的多了，勤于动手的多了，成绩好的多了，学困生少了……”纠其原因和作用机理是：一人读出题目，其它三人要想说出答案就去思考，这个思考的过程，就是动脑思维的过程，人越动脑筋，大脑就变得越灵活，脑越灵活，就越愿意去解决问题，解决了问题就有一种成就感，有成就感就会给他带来快乐，他们越快乐，就越愿意体会这种感觉，因此，他们就会去寻找具有这种感觉的东西去解决数学问题，这样，他们的数学能力就在无意中培养起来了。
四、教学感悟：
计算教学是小学数学教学的重要组成部分，贯穿于小学数学教学的各个环节之中。自古以来，中国的计算教学都较为关注学生计算技能的培养，并取得了较好的成绩，在发展过程中也总结概括出了计算教学模式。近年来，随着素质教育的普遍实施，数学课堂教学比以往有了更进一步的发展，比如更加关注学生生活，更加关注情感、态度、价值观的培养等等一系列成功的变化。在发展的同时，也反应出了一定的问题。在计算教学方面，我认为主要有以下几个方面的问题：一、小学生计算能力较以往有所下降，影响了进一步的数学学习；二、学生数感不强，影响了解决问题的能力；三、小学生对计算器的依赖程度过高等等。我在计算教学中感到无所适从最重要的原因是关于计算教学价值的理解存在偏差。因此，本研究从国内外计算教学价值取向的发展变化出发，反思目前我国计算教学，重点研究计算教学的理性价值取向。
习惯是在我们不断的训练的基础上形成的，好的习惯一旦形成，就会为我们的教学开辟绿色通道，所以，培养习惯就是为我们教学铺路，口算抢答练习，在发展语言能力的同时，发展了学生的思维能力，激发了他们的想象力和创造潜能。孩子的想象是奇特的，就像一座无穷无尽的宝藏，只要你帮助他，就像掀开一点儿苹果皮一样，放飞他们的想象。就会放飞出陈景润、华罗庚、爱迪生、爱因斯坦……
我們班的数学成绩第二次是11名。第三次是第九名，第四次如果加上漏掉的十八个同学的口算成绩应是第六名。这一次考试我们争取进入前三名，而更重要的是培养了学生的想象力和创造力。大自然因为有了想象而妩媚，人是有了想象而有生机，所以我们要激励今天孩子们用自己的眼光看待世界，用自己的（经历）感受生活，用自己的头脑思考问题，用自己的智慧创造一切。
函数是高中数学的重要内容之一。函数的基础知识在现实生活、社会、经济及其他学科中有着广泛的应用；函数与代数式方程不等式等内容联系非常密切。为了更好的理解高中数学课程，需要弄清中、小学数学课程中函数思想的发展脉络。
（1）在义务教育阶段，特别是在小学时期，数、量、图、数据是引导儿童进入数学的源泉。在开始阶段，数和量常常是交织在一起，通常我们总说数量，数是用来刻画量的大小的一种工具，对于学生来说，我们更需要强调它们之间的联系。以重量、时间、长度、面积、路程等量为背景，对我们理解数的概念、数的表示、数的运算等是十分重要的。
在日常生活中，有两种量--常量和变量。在义务教育阶段，首先，帮助学生理解常量，或者理解数量，理解数量的大小，理解数量的加、减、乘、除，等等。
有些量是已知的，有一些是未知的，渗透未知量的概念，这是对量认识的一个飞跃，在小学阶段，经历了一个很长的过程。从常量到变量，这是认识函数思想的另一个飞跃。通过大量的事实，帮助学生了解在日常生活中存在各种变量，度、温度、湿度等等。有些变量和变量之间没有依赖关系，有些变量和变量之间存在着依赖关系，一个量的变化引起另一个量的变化。 通过大量的实例，就建立起了反映变量之间相互依赖关系的概念--函数关系。虽然这样的描述并不是十分严格，但是这是认识函数关系的重要视角。有人认为这是对函数的初步认识，这种说法不完全，变量与变量的依赖关系，从一个方面，揭示了函数的本质。函数是一个变量与另一个变量之间的一座桥，学习了映射，会对“桥”有更深入的理解。
（2）在高中阶段，学习的知识更加丰富了。我们利用更丰富的实例引导学生认识到，函数是刻画日常生活和其他学科规律的重要数学模型。在高中数学中，函数模型应该占有很重要的地位。
（3）在此基础上，进一步抽象概括出函数的严格数学定义。函数关系像一座桥梁把两个变量联系起来，形象的说，在直角坐标系中，函数图像就像一座桥梁把变量x和y联系起来了。
（4）知道了函数的定义之后，再去研究它的性质。
单调性是中学阶段函数最基本的性质之一。一旦我们弄清了一个函数的单调性，就能刻画出这个函数图形的基本形状，以及这个函数变化的基本状况。周期性也是中学阶段函数的一个最基本的性质。我们生活在一个周期变化的世界里。因此，学会用周期的观点来看待周围事物的变化是非常重要的。周期函数，比如，正余弦函数、正余切函数都是刻画周期变化的函数模型。用周期的观点来研究函数，可以使我们集中研究函数在一个周期里的变化，在此基础上，就可以了解函数在整个定义域内的变化情况。
奇偶性也是我们在中学阶段要研究的函数的性质，但是它不是最基本的性质。奇偶性反应的是函数图形的对称性质，可以帮助我们更加准确和集中地研究函数的变化规律。
（5）在高中数学课程中，通过函数的学习逐步形成了映射的思想和映射的定义，函数是两个实数集合之间的一种对应关系，而映射是两个集合之间的一种对应关系。映射能够帮助我们更好的理解兩类物体之间的“桥梁关系”。映射的思想和函数的思想在本质上是一样的，只是它们连接的两类对象不同。在运用函数（映射）的思想解决问题的过程中，会不断加深对于函数桥梁作用的理解。
（6）函数的思想在其他部分数学内容的学习中发挥着重要作用。
用函数的观点来讨论不等式的问题会有很大的“好处” 。不等式是高中必修课程中一个重要的内容，例如，一元二次不等式，简单的线性规划问题，用函数的观点看待这些问题，有助于更好的理解这些知识本身。
在高中课程中，函数与数列、函数与导数及其应用、函数与算法、函数与概率中的随机变量、函数与选修3.4中的大部分专题内容都有着密切的联系。用函数（映射）的思想去理解这些内容，是非常重要的一个出发点。反过来，通过这些内容的学习，更加深了对于函数思想的认识。
（7）在大学的数学中，函数（映射）的思想依然发挥着重要的作用。例如，数学系的课程中，数学分析、实变函数、复变函数、常微分方程、偏微分方程、泛函分析等等。这些学科都是从不同角度研究函数所构成的课程。值得一提的是，在对其他课程的学习中，函数（映射）思想仍然起到了重要的作用。
综上所述，函数思想是高中数学课程的一条主线，从一个角度链接起了高中数学课程的许多内容。有了这条主线就可以把数学的知识编织在一起，这样可以使我们对知识的掌握更牢固一些。
我们学习数学是“线性序”，但数学本身不是“线性的”。我们可以从一个知识出发，推出后面的知识，同样我们也可以从另一个知识出发，按照一定的顺序推出来。如果我们对这个网有了深刻的认识，可以从不同的角度从局部到整体，再从整体到局部，把所学的知识有机地联系起来。
为了在高中数学课程中贯穿这一主线，在教学时，应把握以下几点。
（1）对函数的研究一定不能停留在抽象的讨论。教师应该帮助学生在头脑中建立起几个重要的模型，并把这些留在头脑中。
学生应该在头脑中留下几个具体的实际模型，比如，分段函数，以及基本的函数模型，比如，简单的幂函数、指数函数与对数函数、三角函数。结合这些函数，不断地加深对于函数的定义、性质以及函数研究方法的理解。再通过这些模型，理解函数与其他数学知识之间的联系。
（2）函数的教学一定要突出函数图形的地位。不管是用解析式、图表法还是图像法去刻画一个具体函数时，我们都要让学生在脑子里形成一个图形。只有把握住图形才能把握住一个函数的整体情况，这样的学习习惯有助于提高运用几何思想、把握图形的能力。所以，我们常常说学习函数要体现数形结合。
（3）函数是刻画客观世界的一个基本数学模型。因此，对于函数的学习，应该与体会、感受和运用函数解决问题有机的结合起来。应该引导学生去思考函数的应用问题，特别是思考函数在日常生活和其他学科的应用。可以在教学中渗透数学建模的思想。
（4）在学习与函数知识有关内容时，理解函数思想。实际上，在整个高中数学课程中，都需要不断地体会、理解“函数思想”给我们带来的“好处”。