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摘要:直觉思维是人类对客观世界及其关系的一种非常直接的识别或猜想的心理状态。它是一种逻辑跳跃式的思维,是根据对事物的生动的知觉印象,直接把握事物的本质和规律。
关键词:直觉思维,整体思考,联想,猜想,审美
日常生活中,经常听人说:“跟着感觉走”。其实这一句话中就蕴含着“直觉思维”的萌芽,只是没有上升到思维形式而已。直觉思维是人类对客观世界及其关系的一种非常直接的识别或猜想的心理状态。它是一种逻辑跳跃式的思维,是根据对事物的生动的知觉印象,直接把握事物的本质和规律。在数学思维活动中,直觉思维是非常重要的,数学中的许多发明与创造很多是直觉思维的结果。如两点之间直线最短,是出于直觉的认识;过直线外一点,只能作一条直线与已知直线平行,是出于直觉思维。“逻辑用于论证,直觉用于发明”,就是数学家宠加莱对于数学创造活动中直觉思维的作用的精避论述。
一般认为,在数学教学中加强直觉思维的训练应当从下列三个方面入手:第一,提借丰富的背景材料,恰当地设置教学情景,促使学生作整体思考。直觉思维的特征之一,是思维形式的整体性,对问题作细致考察是必要的,但必须有整体考察的环节。
例如:已知(z-x)2-4(x-y)(y-z)=0,求证:x+z=2y
证明一:整体思考发现已知等式的左边有判别式△=b2-4ac的形式,于是由直觉判断联想到一用一元二次方程来解决问题。
设有方程(x-y)t2+(z-x)t+(y-z)=0
由于方程的各系数之和为0,于是可知t=1是方程的根
而△=(z-x)2-4(x-y)(y-z)=0
故t=1为方程的两个相等实根
再由根与系数关系,得1×1=(y-z)/(x-y)
故有x+z=2y
证法二:整体考察可知,已知等式可化为关于x的一元二次方程。然后根据直觉猜想:解关于x的方程便可以得出所要证明的结论。
由已知等式得 x2+z(z-2y)x+(z-2y)2=0
于是有(x+z-2y)2=0
故 x+z=2y
由此可见,对于面临的问题情景首先从整体上考察其特点,着眼于从整体上揭示出事物的本质与内在联系,往往可以激发直觉思维,导致思维的创新。
第二,引导学生寻找和发现事物的内在联系。直觉思维的另一特征是思维方向的综合性。
例如:设α-2m+β=0 (1),m2-α2β+2mn-αβ2=0 (2),其中,m、n、α、β均为实数,且m≠0,求证:m2≥2n
分析:首先寻找内在的联系,发现两式中有α+β及αβ,并且可以用m,n表示出α+β和αβ。于是引发直觉想象:可以构造一个以α、β为 两根,以m、n为系数的一元二次方程。直觉判断:可以运用△≥0来证明不等式m2≥2n成立。
证明:由(1),得α+β=2m
由(2),得2β(α+β)=2m(1/2m2+n)
从而αβ=1/2m2+n
于是,α、β是方程
X2-2mx+(1/2m2+n)=0
的两个实根
∴△=4m2-(2m2+4n)≥0
即m2≥2n
在数学教学中,引导学生从复杂的问题中寻找内在联系,特别是发现隐蔽的联系,从而把各种信息作综合考察并作出直觉想象和判断,是激发直觉思维的重要途径。
第三,教学中要安排一定的直觉阶段,给学生留下直觉思维的空间。
例如,如图,有一个棱长为3的立方体,
它由27个棱长为1的小立方体组成,其中19
个看得见,8个看不见。问棱长为n的立方体
中,看不见的棱长为1的小立方体有多少个,
看得见的小立方体有多少个?
分析:本道题可以有多种解法,但是都比较繁,一个直觉思维能力比较强的人可能会发现:从大立方体的正面、上面、右面各剥一层小立方体,剩下部分恰好就是看不见的立方体。这时多留些时间给学生思考、想象,利用多媒体演示的话效果会更好。于是学生很容易得出棱长为n的立方体中,看不见的小立方体有(n-1)3个,看得见的小立方体有n3-(n-1)3个,十分简便。
第四,渗透数学的哲学观点及审美观念。直觉的产生基于对研究对象整体的把握,而哲学观点则有利于把握事物的本质,哲学观点包括数学中普遍存在的对立统一、运动变化,相互转化,对称性等。例如,(a+b)2=a2+2ab+b2,即使没有学过完全平方式,也可以运用对称的观点来判断结论 的真伪。正如科学家狄拉克对麦克斯方程组提出质疑时所说,如果一个物理方程在数学上看上去不美,那么这个方程的正确性是可疑的。显然美感和美的意识是数学直觉的本质,提高审美能力,有利于培养数学事物间所有存在着的和谐关系及秩序的直觉意识,审美能力越强,则数学直觉能力也越强。
应该指出的是,直觉思维是在人的实践经验知识的基础上,形成和发展起来的一种认识能力,是可以通过后天培养的。任何直觉思维都是持久探索和思考的结果。直觉的获得虽然具有偶然性,但决不是无缘无故的凭空臆造,若没有深厚的功底,是不会引发出思维火花的。
总之,培养学生的直觉思维能力,要和培养逻辑思维能力并重,以逻辑思维育直觉思维,以直觉思维促逻辑思维,开发学生的内在潜力,让学生的思维在广度、深度、独立性、灵活性等方面得到全面发展。这正是我们数学教育工作者应该努力的方向。
参考文献:
李玉琪主编《中学数学教学与实践研究》高等教育出版社2008年
李淑文主编《中学数学教学概论》中央广播电视大学出版社2009年
关键词:直觉思维,整体思考,联想,猜想,审美
日常生活中,经常听人说:“跟着感觉走”。其实这一句话中就蕴含着“直觉思维”的萌芽,只是没有上升到思维形式而已。直觉思维是人类对客观世界及其关系的一种非常直接的识别或猜想的心理状态。它是一种逻辑跳跃式的思维,是根据对事物的生动的知觉印象,直接把握事物的本质和规律。在数学思维活动中,直觉思维是非常重要的,数学中的许多发明与创造很多是直觉思维的结果。如两点之间直线最短,是出于直觉的认识;过直线外一点,只能作一条直线与已知直线平行,是出于直觉思维。“逻辑用于论证,直觉用于发明”,就是数学家宠加莱对于数学创造活动中直觉思维的作用的精避论述。
一般认为,在数学教学中加强直觉思维的训练应当从下列三个方面入手:第一,提借丰富的背景材料,恰当地设置教学情景,促使学生作整体思考。直觉思维的特征之一,是思维形式的整体性,对问题作细致考察是必要的,但必须有整体考察的环节。
例如:已知(z-x)2-4(x-y)(y-z)=0,求证:x+z=2y
证明一:整体思考发现已知等式的左边有判别式△=b2-4ac的形式,于是由直觉判断联想到一用一元二次方程来解决问题。
设有方程(x-y)t2+(z-x)t+(y-z)=0
由于方程的各系数之和为0,于是可知t=1是方程的根
而△=(z-x)2-4(x-y)(y-z)=0
故t=1为方程的两个相等实根
再由根与系数关系,得1×1=(y-z)/(x-y)
故有x+z=2y
证法二:整体考察可知,已知等式可化为关于x的一元二次方程。然后根据直觉猜想:解关于x的方程便可以得出所要证明的结论。
由已知等式得 x2+z(z-2y)x+(z-2y)2=0
于是有(x+z-2y)2=0
故 x+z=2y
由此可见,对于面临的问题情景首先从整体上考察其特点,着眼于从整体上揭示出事物的本质与内在联系,往往可以激发直觉思维,导致思维的创新。
第二,引导学生寻找和发现事物的内在联系。直觉思维的另一特征是思维方向的综合性。
例如:设α-2m+β=0 (1),m2-α2β+2mn-αβ2=0 (2),其中,m、n、α、β均为实数,且m≠0,求证:m2≥2n
分析:首先寻找内在的联系,发现两式中有α+β及αβ,并且可以用m,n表示出α+β和αβ。于是引发直觉想象:可以构造一个以α、β为 两根,以m、n为系数的一元二次方程。直觉判断:可以运用△≥0来证明不等式m2≥2n成立。
证明:由(1),得α+β=2m
由(2),得2β(α+β)=2m(1/2m2+n)
从而αβ=1/2m2+n
于是,α、β是方程
X2-2mx+(1/2m2+n)=0
的两个实根
∴△=4m2-(2m2+4n)≥0
即m2≥2n
在数学教学中,引导学生从复杂的问题中寻找内在联系,特别是发现隐蔽的联系,从而把各种信息作综合考察并作出直觉想象和判断,是激发直觉思维的重要途径。
第三,教学中要安排一定的直觉阶段,给学生留下直觉思维的空间。
例如,如图,有一个棱长为3的立方体,
它由27个棱长为1的小立方体组成,其中19
个看得见,8个看不见。问棱长为n的立方体
中,看不见的棱长为1的小立方体有多少个,
看得见的小立方体有多少个?
分析:本道题可以有多种解法,但是都比较繁,一个直觉思维能力比较强的人可能会发现:从大立方体的正面、上面、右面各剥一层小立方体,剩下部分恰好就是看不见的立方体。这时多留些时间给学生思考、想象,利用多媒体演示的话效果会更好。于是学生很容易得出棱长为n的立方体中,看不见的小立方体有(n-1)3个,看得见的小立方体有n3-(n-1)3个,十分简便。
第四,渗透数学的哲学观点及审美观念。直觉的产生基于对研究对象整体的把握,而哲学观点则有利于把握事物的本质,哲学观点包括数学中普遍存在的对立统一、运动变化,相互转化,对称性等。例如,(a+b)2=a2+2ab+b2,即使没有学过完全平方式,也可以运用对称的观点来判断结论 的真伪。正如科学家狄拉克对麦克斯方程组提出质疑时所说,如果一个物理方程在数学上看上去不美,那么这个方程的正确性是可疑的。显然美感和美的意识是数学直觉的本质,提高审美能力,有利于培养数学事物间所有存在着的和谐关系及秩序的直觉意识,审美能力越强,则数学直觉能力也越强。
应该指出的是,直觉思维是在人的实践经验知识的基础上,形成和发展起来的一种认识能力,是可以通过后天培养的。任何直觉思维都是持久探索和思考的结果。直觉的获得虽然具有偶然性,但决不是无缘无故的凭空臆造,若没有深厚的功底,是不会引发出思维火花的。
总之,培养学生的直觉思维能力,要和培养逻辑思维能力并重,以逻辑思维育直觉思维,以直觉思维促逻辑思维,开发学生的内在潜力,让学生的思维在广度、深度、独立性、灵活性等方面得到全面发展。这正是我们数学教育工作者应该努力的方向。
参考文献:
李玉琪主编《中学数学教学与实践研究》高等教育出版社2008年
李淑文主编《中学数学教学概论》中央广播电视大学出版社2009年