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【摘要】本文在探讨提高数学思维能力的基础上，主要从设计开放性题型入手，论述其对数学教学中培养数学思维能力的重要性和可行性，以及培养学生数学思维能力的一些方法和途径。
【关键词】开放性题型；初中数学；思维能力
一、开放性题型对数学思维的重要性
开放型习题是相对有明确条件和明确结论的封闭式习题而言的，是指题目的条件不完备或结论不确定的习题。解答开放型习题，由于没有现成的解题模式，解题时往往需要从多个不同角度进行思考和探索，且有些问题的答案是不确定的，因而能激发学生丰富的想象力和强烈的好奇心，提高学生的学习兴趣，调动学生主动参 与的积极性。
练习是数学教学重要的组成部分，恰到好处的习题，不仅能巩固知识，形成技能，而且能启发思维，培养能力。在教学过程中，除了要注意增加变式题、综合题外，适当设计一些开放性题型，可以培养学生思维的深刻性 和灵活性，克服学生思维的呆板性。培养学生的数学思维能力是素质教育的核心问题，几乎人人在提，但是它在我们学校教育主阵地的课堂当中如何真正落实呢？这个问题似乎太大，一时间是难以解决的，正所谓“冰冻三尺非一日之寒。”对学生思维能力的培养是要常抓不懈的系统工程，只要每位教育工作者都充分重视起来，就能造就出更多卓越人才。
二、开放型习题对提高学生数学思维的作用
（一）注重开放性问题的发现和解决，培养学生数学思维
“问题”是数学思维的心脏，学生思维活动就是从问题开始的。以问题为中心的课堂教学是培养思维深刻性的好方法。同时，不定型开放问题，所给条件包含着答案不唯一的因素，在解题的过程中，必须利用已有的知识，结合有关条件，从不同的角度对问题作全面分析，正确判断，得出结论，从而更好培养学生思维的深刻性。
从“一元二次方程的根的判别式”的教学处理可见一斑：首先让学生用公式法解下列方程： ， ， ；然后让学生主动去探索老师设计的开放性问题：1、同是一元二次方程，其实根据的情况不同，这与求根公式中哪一部分的计算有关？2、一元二次方程的实根据情况与这部分值的正负又有什么关系？（学生归纳）3、以后请你判断一元二次方程实根据的情况，是否还要通过解方程后再作定论？4、有什么快速判断一元二次方程实根情况的方法呢？教师可以举例：当k为何值时，关于x的方程 有两个不相等的实数根。然后让学生先尝试，老师随后点拨。这种“提问探究”式的开放性教学，不仅让学生获得数学知识，还训练了学生获得知识的思维过程。
（二）运用多向型开放题，培养学生思维的广阔性
多向型开放题，对同一个问题可以有多种思考方向，使学生产生纵横联想，启发学生一题多解、一题多变、一题多思，训练学生的发散思维，培养学生思维的广阔性和灵活性。这类题，可以给学生最大的思维空间，使学生从不同的角度分析问题，探究数量间的相互关系，并能从不同的解法中找出最简捷的方法，提高学生初步的逻辑思维能力，从而培养学生思维的广阔性和灵活性。
教师在教学过程中，要多运用多向型开放题培养学生思维的广阔性。如在中学数学“三角形三边关系”的教学中，我们一般是从两方面去引导学生思考推理过程的。方法一是复习前面学过的公理“两点之间的线段最短”，应用这个公理可以解释三角形三边关系。方法二是通过让学生动手画图，任意画一个三角形，测量a，b，c的长度，研究任何两边之和与第三边的大小关系即可得出结论。再比如例题，在△ABC中，AB=AC，延长AB到D，使BD=AB，E为AB的中点，求证：CE= 。很多学生都用“加倍法”或“折半法”解决了此题。就比如下面的方法一和方法二。方法一，取DC的中点F，连结BF，通过证△EBC≌△BDC即可。方法二，延长CE至G，使CE=EG，通过证△ACG≌△BDC。这时，教师应启发学生，同样是“折半”，只有取一线段的中点这种方法吗？同学们跃跃欲试，这时我们就可以又得到下面几种方法。方法三，通过B作BF∥AC，交CD于F，先证FC= ，再证△BEC≌△BFC即可。方法四，作BF∥CD，交AC于F，先证BF= ，再证△BEC≌△CFB即可。之后教师再启发学生，上面的四种证法有什么共同点？学生总结出都做了辅助线，最后得出不做辅助线的解题方法。方法五 ∵AE=EB，∴ ；又∵AD=2AB，AB=AC，∴ ，∴ ，而∠A=∠A，∴△ACE∽△ADC，∴ ，∴CE= 。这个例题的处理启发我们，培养学生的发散思维，就是要学生主动地寻求问题“一解”之外的思路，鼓励学生面对问题能够摆脱常规思路的支配，学会解开放性题型，“标新立异”，举一反三，触类旁通，这样，才能达到增强思维灵活性、创造性的目的。为培养学生的发散思维能力，教师在讲课时对同一问题可用不同的方法进行多方位讲解或给出不同的答案；要注意为学生布置能锻炼发散思维的作业，如答案不唯一，需要分情况讨论的问题，对同一问题可采用不同变式让学生练习，要鼓励学生一题多解。
（三）运用缺少型开放题，培养学生思维的灵活性
缺少型开放题，按常规解法所给条件似乎不足，但如果换个角度去思考，便可得到解决。比如：在一个面积为12平方厘米的正方形内剪一个最大的圆，所剪圆的面积是多少平方厘米？按常规的思考方法：要求圆的面积，需先求出圆的半径，根据题意，圆的半径就是正方形边长的一半，但根据题中所给条件无法求出。换个角度来考虑：可以设所剪圆的半径为r，那么正方形的 边长为2r，正方形的面积为（2r）[2]=4r[2]=12，r[2]=3，所以圆的面积是3.14×3=9.42（平方厘米）。但是还可以这样想：把原正方形平均分成4个小正方形，每个小正方形的边长就是所剪圆的半径，设圆的半径 为r，那么每个小正方形的面积为r[2]，原正方形的面积为4r[2]，r[2]=12÷4，所剪圆的面积是3.14×（12 ÷4）=9.42（平方厘米）。通过此类题的练习，有利于培养学生思维的灵活性，提高灵活解题的能力。
总之，解答开放型习题，由于没有现成的解题模式，往往需要从多个不同角度进行思考和深索，因而能激发学生丰富的想象力和强烈的好奇心，它是培养思维能力的重要手段，只要我们重视学生在获取和运用知识的过程中，培养学生的思维能力，定会达到减轻学生负担，提高学生数学素质的目的。
参考文献：
[1]李裕达.数学思维能力及其培养之我见[J].数学教学论文专辑.2003.（2）
[2]王全怀.挖掘课本习题潜在功能是培养学生思维能力的有效途径[J].数学通报.2001（2）
[3]彭秋棠.中学数学教学中学生发散思维能力的培养.中学理科教学研究.2006
【关键词】开放性题型；初中数学；思维能力
一、开放性题型对数学思维的重要性
开放型习题是相对有明确条件和明确结论的封闭式习题而言的，是指题目的条件不完备或结论不确定的习题。解答开放型习题，由于没有现成的解题模式，解题时往往需要从多个不同角度进行思考和探索，且有些问题的答案是不确定的，因而能激发学生丰富的想象力和强烈的好奇心，提高学生的学习兴趣，调动学生主动参 与的积极性。
练习是数学教学重要的组成部分，恰到好处的习题，不仅能巩固知识，形成技能，而且能启发思维，培养能力。在教学过程中，除了要注意增加变式题、综合题外，适当设计一些开放性题型，可以培养学生思维的深刻性 和灵活性，克服学生思维的呆板性。培养学生的数学思维能力是素质教育的核心问题，几乎人人在提，但是它在我们学校教育主阵地的课堂当中如何真正落实呢？这个问题似乎太大，一时间是难以解决的，正所谓“冰冻三尺非一日之寒。”对学生思维能力的培养是要常抓不懈的系统工程，只要每位教育工作者都充分重视起来，就能造就出更多卓越人才。
二、开放型习题对提高学生数学思维的作用
（一）注重开放性问题的发现和解决，培养学生数学思维
“问题”是数学思维的心脏，学生思维活动就是从问题开始的。以问题为中心的课堂教学是培养思维深刻性的好方法。同时，不定型开放问题，所给条件包含着答案不唯一的因素，在解题的过程中，必须利用已有的知识，结合有关条件，从不同的角度对问题作全面分析，正确判断，得出结论，从而更好培养学生思维的深刻性。
从“一元二次方程的根的判别式”的教学处理可见一斑：首先让学生用公式法解下列方程： ， ， ；然后让学生主动去探索老师设计的开放性问题：1、同是一元二次方程，其实根据的情况不同，这与求根公式中哪一部分的计算有关？2、一元二次方程的实根据情况与这部分值的正负又有什么关系？（学生归纳）3、以后请你判断一元二次方程实根据的情况，是否还要通过解方程后再作定论？4、有什么快速判断一元二次方程实根情况的方法呢？教师可以举例：当k为何值时，关于x的方程 有两个不相等的实数根。然后让学生先尝试，老师随后点拨。这种“提问探究”式的开放性教学，不仅让学生获得数学知识，还训练了学生获得知识的思维过程。
（二）运用多向型开放题，培养学生思维的广阔性
多向型开放题，对同一个问题可以有多种思考方向，使学生产生纵横联想，启发学生一题多解、一题多变、一题多思，训练学生的发散思维，培养学生思维的广阔性和灵活性。这类题，可以给学生最大的思维空间，使学生从不同的角度分析问题，探究数量间的相互关系，并能从不同的解法中找出最简捷的方法，提高学生初步的逻辑思维能力，从而培养学生思维的广阔性和灵活性。
教师在教学过程中，要多运用多向型开放题培养学生思维的广阔性。如在中学数学“三角形三边关系”的教学中，我们一般是从两方面去引导学生思考推理过程的。方法一是复习前面学过的公理“两点之间的线段最短”，应用这个公理可以解释三角形三边关系。方法二是通过让学生动手画图，任意画一个三角形，测量a，b，c的长度，研究任何两边之和与第三边的大小关系即可得出结论。再比如例题，在△ABC中，AB=AC，延长AB到D，使BD=AB，E为AB的中点，求证：CE= 。很多学生都用“加倍法”或“折半法”解决了此题。就比如下面的方法一和方法二。方法一，取DC的中点F，连结BF，通过证△EBC≌△BDC即可。方法二，延长CE至G，使CE=EG，通过证△ACG≌△BDC。这时，教师应启发学生，同样是“折半”，只有取一线段的中点这种方法吗？同学们跃跃欲试，这时我们就可以又得到下面几种方法。方法三，通过B作BF∥AC，交CD于F，先证FC= ，再证△BEC≌△BFC即可。方法四，作BF∥CD，交AC于F，先证BF= ，再证△BEC≌△CFB即可。之后教师再启发学生，上面的四种证法有什么共同点？学生总结出都做了辅助线，最后得出不做辅助线的解题方法。方法五 ∵AE=EB，∴ ；又∵AD=2AB，AB=AC，∴ ，∴ ，而∠A=∠A，∴△ACE∽△ADC，∴ ，∴CE= 。这个例题的处理启发我们，培养学生的发散思维，就是要学生主动地寻求问题“一解”之外的思路，鼓励学生面对问题能够摆脱常规思路的支配，学会解开放性题型，“标新立异”，举一反三，触类旁通，这样，才能达到增强思维灵活性、创造性的目的。为培养学生的发散思维能力，教师在讲课时对同一问题可用不同的方法进行多方位讲解或给出不同的答案；要注意为学生布置能锻炼发散思维的作业，如答案不唯一，需要分情况讨论的问题，对同一问题可采用不同变式让学生练习，要鼓励学生一题多解。
（三）运用缺少型开放题，培养学生思维的灵活性
缺少型开放题，按常规解法所给条件似乎不足，但如果换个角度去思考，便可得到解决。比如：在一个面积为12平方厘米的正方形内剪一个最大的圆，所剪圆的面积是多少平方厘米？按常规的思考方法：要求圆的面积，需先求出圆的半径，根据题意，圆的半径就是正方形边长的一半，但根据题中所给条件无法求出。换个角度来考虑：可以设所剪圆的半径为r，那么正方形的 边长为2r，正方形的面积为（2r）[2]=4r[2]=12，r[2]=3，所以圆的面积是3.14×3=9.42（平方厘米）。但是还可以这样想：把原正方形平均分成4个小正方形，每个小正方形的边长就是所剪圆的半径，设圆的半径 为r，那么每个小正方形的面积为r[2]，原正方形的面积为4r[2]，r[2]=12÷4，所剪圆的面积是3.14×（12 ÷4）=9.42（平方厘米）。通过此类题的练习，有利于培养学生思维的灵活性，提高灵活解题的能力。
总之，解答开放型习题，由于没有现成的解题模式，往往需要从多个不同角度进行思考和深索，因而能激发学生丰富的想象力和强烈的好奇心，它是培养思维能力的重要手段，只要我们重视学生在获取和运用知识的过程中，培养学生的思维能力，定会达到减轻学生负担，提高学生数学素质的目的。
参考文献：
[1]李裕达.数学思维能力及其培养之我见[J].数学教学论文专辑.2003.（2）
[2]王全怀.挖掘课本习题潜在功能是培养学生思维能力的有效途径[J].数学通报.2001（2）
[3]彭秋棠.中学数学教学中学生发散思维能力的培养.中学理科教学研究.2006