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【摘要】本文介绍《随机过程》课程教学的几个案例，来展示如何让学生快速掌握抽象的数学理论和方法，以及从中培养学生的科研能力。
【关键词】课程教学 科研能力 随机过程
【基金项目】随机进程代数模型的Fluid逼近问题研究（国家自然科学基金面上项目，批准号61472343，2015.1-2018.12）。
【中图分类号】G64 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2017）04-0225-02
研究生教育的本质是科研能力的培養，如何在研究生课程教学中培养学生的科研能力是一项重要的课题，这方面的重要性已有较多的阐述[1]。笔者多年来一直从事电子与通信专业研究生学位基础课程《随机过程》的教学，也带领研究生从事通信系统性能分析方面的科研工作。笔者一直思考的问题是如何把《随机过程》的课程教学与研究生的科研能力的培养结合起来，让学生在掌握信息与通信领域所必需的随机数学基础理论和方法的同时，也能用这些理论和方法来研究较前沿的科研问题。
连续时间Markov链是这门课程的核心内容，也是难点和重点所在。对于数学功底不扎实的学生而言，Markov链的基本理论掌握起来已属不易。本文将通过几个案例来展示我们的教学设计怎样让学生掌握基本理论和方法，并从中训练和培养学生的科研能力。
一、设计场景介绍连续时间Markov链定义
连续时间Markov链有三种等价的定义，即跳链/停留时间定义、无穷小定义和转移概率定义。这三种定义都比较抽象。我们的教学是设计一个具体直观的场景来介绍第一种定义。
有门牌号分别是1、2、3的三个房间：
①你到达3号房间后，1、2号房间各自等待一段随机时间后发来邀请，邀请你去1 和2 号房间。这个随机时间分别服从参数为Q31和Q32的指数分布。你选择去先给你发邀请的房间，即如果是你先接到1号房间的邀请，则去1号房间；反之你就去2号房间； 因此你在3号房间里面停留的时间服从参数为Q31+Q32的指数分布。
②如果你转移到1 号房间，你会收到2和3号房间分别发来的邀请函，发邀请函前所等待的时间分别服从参数为Q12和Q13的指数分布。同样，你选择去先给你发函的房间，因此你在1号房间里面停留的时间服从参数为Q12+Q13的指数分布。
③如果你转移到2 号房间，类似地，你会收到1和3号房间发来的邀请函，发邀请函所等待的时间分别服从参数为Q21和Q23的指数分布。你选择去先给你发函的房间，在2号房间里面停留的时间服从参数为Q21+Q23的指数分布。
每到一个房间，你都按照这样的规则等待和转移，这样你的行踪就构成了一个连续时间Markov链，并且该链Q的矩阵就是由上述指数分布的参数构成。这个连续时间Markov链的初始分布就是初始时刻你在各个房间的概率。
通过这个场景设计我们很直观地介绍了Markov链，并且讲清楚了Q矩阵的含义，在此基础上再介绍其他的定义方式就容易多了。
二、模拟场景介绍Markov链的性质
再引入指数分布的随机数发生器，就可以立刻把上述场景随机模拟出来。这有利于学生进一步了解Markov链的定义，并为将来科研活动中广泛运用各种Monte Carlo方法（例如MC MC）打下基础。通过随机模拟连续时间Markov链，可以介绍Markov链的状态的分类等性质。最重要的是，用模拟的方法可以很好地验证Markov过程的遍历性，即通俗所说的“时间的平均等于空间的平均”的性质，以及观察瞬时概率分布是如何收敛到平稳分布的。
三、连续时间Markov链的Poisson过程表示及应用
Poisson过程是一种特殊的Markov链。 但在上述连续时间Markov链的随机模拟过程中，可以引导学生观察Markov链状态转移的次数服从Poisson过程。那自然要问：这个取值于整数的Markov链能不能用Poisson过程表示出来吗？答案是肯定的。这就是美国科学院院士T. Kurtz的定理[2]。他的这个结论在当今通信系统的性能建模中有着广泛的应用。并且这种表示方法可以直接导出著名的Gillespie随机模拟方法，利用这个模拟方法可以提取并发系统的性能指标，这样就把学生带到了性能建模领域的学术前沿。
本文介绍了《随机过程》课程教学的几个案例，来展示如何让学生快速掌握抽象的数学理论，并在课程教学过程中进行科研能力的训练与培养。
参考文献：
[1]章晓莉.基于科研能力培养的研究生课程教学改革的思考，教育探索，2010年第7期，36-38页，2010年
[2]S. Ethier and T. Kurtz， Markov Processes： Characterization and Convergence， John Wiley & Sons， Inc.1986
作者简介：
丁杰（1978-），男，江苏江都人，博士，副教授，研究方向是并发系统的性能建模。
【关键词】课程教学 科研能力 随机过程
【基金项目】随机进程代数模型的Fluid逼近问题研究（国家自然科学基金面上项目，批准号61472343，2015.1-2018.12）。
【中图分类号】G64 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2017）04-0225-02
研究生教育的本质是科研能力的培養，如何在研究生课程教学中培养学生的科研能力是一项重要的课题，这方面的重要性已有较多的阐述[1]。笔者多年来一直从事电子与通信专业研究生学位基础课程《随机过程》的教学，也带领研究生从事通信系统性能分析方面的科研工作。笔者一直思考的问题是如何把《随机过程》的课程教学与研究生的科研能力的培养结合起来，让学生在掌握信息与通信领域所必需的随机数学基础理论和方法的同时，也能用这些理论和方法来研究较前沿的科研问题。
连续时间Markov链是这门课程的核心内容，也是难点和重点所在。对于数学功底不扎实的学生而言，Markov链的基本理论掌握起来已属不易。本文将通过几个案例来展示我们的教学设计怎样让学生掌握基本理论和方法，并从中训练和培养学生的科研能力。
一、设计场景介绍连续时间Markov链定义
连续时间Markov链有三种等价的定义，即跳链/停留时间定义、无穷小定义和转移概率定义。这三种定义都比较抽象。我们的教学是设计一个具体直观的场景来介绍第一种定义。
有门牌号分别是1、2、3的三个房间：
①你到达3号房间后，1、2号房间各自等待一段随机时间后发来邀请，邀请你去1 和2 号房间。这个随机时间分别服从参数为Q31和Q32的指数分布。你选择去先给你发邀请的房间，即如果是你先接到1号房间的邀请，则去1号房间；反之你就去2号房间； 因此你在3号房间里面停留的时间服从参数为Q31+Q32的指数分布。
②如果你转移到1 号房间，你会收到2和3号房间分别发来的邀请函，发邀请函前所等待的时间分别服从参数为Q12和Q13的指数分布。同样，你选择去先给你发函的房间，因此你在1号房间里面停留的时间服从参数为Q12+Q13的指数分布。
③如果你转移到2 号房间，类似地，你会收到1和3号房间发来的邀请函，发邀请函所等待的时间分别服从参数为Q21和Q23的指数分布。你选择去先给你发函的房间，在2号房间里面停留的时间服从参数为Q21+Q23的指数分布。
每到一个房间，你都按照这样的规则等待和转移，这样你的行踪就构成了一个连续时间Markov链，并且该链Q的矩阵就是由上述指数分布的参数构成。这个连续时间Markov链的初始分布就是初始时刻你在各个房间的概率。
通过这个场景设计我们很直观地介绍了Markov链，并且讲清楚了Q矩阵的含义，在此基础上再介绍其他的定义方式就容易多了。
二、模拟场景介绍Markov链的性质
再引入指数分布的随机数发生器，就可以立刻把上述场景随机模拟出来。这有利于学生进一步了解Markov链的定义，并为将来科研活动中广泛运用各种Monte Carlo方法（例如MC MC）打下基础。通过随机模拟连续时间Markov链，可以介绍Markov链的状态的分类等性质。最重要的是，用模拟的方法可以很好地验证Markov过程的遍历性，即通俗所说的“时间的平均等于空间的平均”的性质，以及观察瞬时概率分布是如何收敛到平稳分布的。
三、连续时间Markov链的Poisson过程表示及应用
Poisson过程是一种特殊的Markov链。 但在上述连续时间Markov链的随机模拟过程中，可以引导学生观察Markov链状态转移的次数服从Poisson过程。那自然要问：这个取值于整数的Markov链能不能用Poisson过程表示出来吗？答案是肯定的。这就是美国科学院院士T. Kurtz的定理[2]。他的这个结论在当今通信系统的性能建模中有着广泛的应用。并且这种表示方法可以直接导出著名的Gillespie随机模拟方法，利用这个模拟方法可以提取并发系统的性能指标，这样就把学生带到了性能建模领域的学术前沿。
本文介绍了《随机过程》课程教学的几个案例，来展示如何让学生快速掌握抽象的数学理论，并在课程教学过程中进行科研能力的训练与培养。
参考文献：
[1]章晓莉.基于科研能力培养的研究生课程教学改革的思考，教育探索，2010年第7期，36-38页，2010年
[2]S. Ethier and T. Kurtz， Markov Processes： Characterization and Convergence， John Wiley & Sons， Inc.1986
作者简介：
丁杰（1978-），男，江苏江都人，博士，副教授，研究方向是并发系统的性能建模。