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经过几年的数学实践,我认为培养初中数学能力主要包括以下这三个方面:打好基础知识, 形成自学习惯,培养记忆能力。
一、切实打好数学基础
有些学生对概念性的题不会做或做不完整,对于运算和定理掌握不牢。针对这些存在问题,我从以下这几个方法,帮助他们解决问题。
1.弄清数学概念,区分概念的联系和区别。在初中数学教材中,“距离”有平面内任意两点间的距离,点到直线的距离和两平行线间的距离。它们的共同点(即联系)都是指平面内“两点间”的线段长度,区别之处在于:前者是指连结两点间的线段长度;中间者是从直线外一点到这条直线的垂线段的长度,后者可转化为点到直线的距离问题,在运用知识解决问题上就应有区别和联系。
例如:在直线L上的点到圆心的距离等于圆O半径,则直线L与圆O的位置关系是()
(A)相离(B)相切(C)相交(D)相切或相交
由于学生误解为圆心到直线L的距离等于圆O的半径(即点到直线的距离),导致得到错误答案(B),其实正确的答案是(D)。因为直线L和圆O相切或相交都符合题中已知条件。通过对“距离”知识的系统复习,对照所画图形观察思考,加强对比联系,学生便得到正确的答案。
2.注意定理的条件。
例如:已知弦AB、CD的弦心距分别为d1,d2,若AB>CD,则d1,和d2的关系是()。
(A)dl>d2(B)d1 学生在运用“圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系”定理时忘记了前提条件:“在同圆或等圆中”,所以误选(B)。而题目并没有这个前提条件,所以正确答案应为(D)。
3.强化二次根式的性质应用条件,并通过典型题练习掌握。在二次根式中,被开方数不能为负数,所以(■)=a的隐含条件是a≥0;又当a≥0时,■=|a|=a,当a<0时,■=|a|=-a。可通过化简(■)2+■练习去掌握,使学生对二次根式的性质透彻理解,记忆深刻,达到灵活运用的目的。当然,打好数学基础还要注意掌握法则、公式的运用,等式、方程、函数等意义及解题的基本思想和方法。
二、培养自学习惯和能力
解决数学问题需要学生具有综合运算能力和独立分析解题能力。为此,我组成兴趣小组通过设计专题进行学习研究等活动,利用动脑、动手、动口的机会发展学生们的专长,利用直观学具、教学园地和课外读物等,给他们提供自学条件,使他们形成自学习惯。具体来说,要求学生应做到“三多”。
1.多看。对难理解的数学概念、定理、公式反复看,要看懂、掌握并记住。例如,对几何中的黄金分割概念,通过反复多次学习,从实质上认识黄金分割是比例中项问题,再联系求比例中项的方法和黄金分割点的作法,就加深了学生对黄金分割这一概念的理解和记忆。
2.多想。通过多想找出数学知识间的内在联系和规律性。例如,对代数中的函数问题,要弄清各种函数的定义、表达式、性质及图像,多想想它们的联系和区别,加强对比记忆,抓住本质,掌握规律。
3.多练。即以课本为主,并结合课外,选做各类型题目。在多练中力求做到:(1)运算准确迅速。进行限时训练,培养运算能力和技巧。(2)多题一解,总结解题方法和步骤。解无理方程、分式方程和二次方程都可用换元法,运用在一定条件下可以用转化思想将复杂问题简单化。例如,在解无理方程2x2-6x-5=5■时,首先可变形为一元二次方程的一般形式,即2(x2-3x-1)-5■-3=0;再用y=■换元变形为2y2-5y-3=0,然后解这个以y为元的一元二次方程即可,最后再代入换元式求出x的值。需要注意的是解无理方程往往会引起增根,因此必须验根。(3)抓住本质,一题多解。例如,“某人乘船由A地顺流而下到B地,即时又逆流向上到C地(C在A、B之间),共需4小时。已知船在静水中的速度为7.5千米/小时,水流速度为2.5千米/小时。若A、C两地距离为10千米,求A、B两地的距离。”这是代数应用题中常见的行程问题,关于此题的解法有很多种,限于版面,这里就不一一列举了。通过从多方面、多角度的思考和分析,可激发学生学习的兴趣,培养学生思维的灵活性和创造性,提高他们分析问题和解决问题的能力。(4)适当做一些难度较大的综合题。描绘y=3x2-7x-1的图像,并按下列条件分别求x值的范围,(1)y>0;(2)y<0。对这样的题目,我要求学生积极思考,独立完成,以疑启思,这样不仅锻炼了他们的思维,也发展了他们的智能。
三、培养记忆能力
记忆是重要的思维活动形式之一,也是学生智力的重要组成部分,对学生记忆能力的培养,既是对思维能力的训练和培养,也是促进基础知识的掌握、形成技能的有效途径。如何增进学生的记忆效果和发展记忆能力呢?
1.重视结构的作用。数学知识结构有大、中、小之分。大结构是整个数学学科的体系,中结构指具体章节的结构,小结结构指具体知识点和分项细目的结构。这些不同层次的结构组成了数学学科的整体。美国著名教育家卢姆认为:(1)懂得了基本结构中的基本原理,有助于人们理解其他类似的事物。(2)把一件事物放进构造好的模式里就不易忘记。数学学科是一个复杂的系统,而“结构”则是系统的基本特征。从某种角度看,学生学习实际上主要是对知识结构的理解和掌握。教师应通过各种方式,让学生获得一定的知识结构,促进知识的系统化,以达到最终理解和掌握知识的目的。
2.数形结合,增进记忆效果。直观图像是记忆的有力助手,也是学生学习数学知识的重要工具。教师应充分应用图像,努力在学生大脑中建立一定的数学知识表象。实践证明,如果引导学生经常有意识记忆图形,回忆图形,非常有利于记忆抽象的数学知识。
例如,要让学生记住指数函数y=ax(a>0,a≠1)的性质,只要学生形成y=ax图像,这样回忆图形时,唤起相应的表象就能十分顺利地描述函数的性质。凡用到指数函数的性质时,只要将图形草草一画,性质便一目了然了。正如斯图尔特曾说的:“图形比词语所携带的信息多得多。”因此,教师应尽量发挥图形的作用,增强学生的记忆效果。
3.利用联想发展记忆能力。巴甫洛夫认为,记忆要依靠联想,而联想则是新旧知识建立联系的产物。实践证明,人们对知识的认识过程是“温故知新”和“知新温故”的对立统一过程。一方面,一切先学完的功课都应该成为所有后学功课的基础,这种基础是必须彻底打好的,旧知识积累越多,新知识联系得越广,就越容易产生联想,越容易理解新知识,记住新知识。另一方面,学好新知识,更加深了对旧知识的认识与理解,加强了对旧知识的记忆掌握与应用。
一、切实打好数学基础
有些学生对概念性的题不会做或做不完整,对于运算和定理掌握不牢。针对这些存在问题,我从以下这几个方法,帮助他们解决问题。
1.弄清数学概念,区分概念的联系和区别。在初中数学教材中,“距离”有平面内任意两点间的距离,点到直线的距离和两平行线间的距离。它们的共同点(即联系)都是指平面内“两点间”的线段长度,区别之处在于:前者是指连结两点间的线段长度;中间者是从直线外一点到这条直线的垂线段的长度,后者可转化为点到直线的距离问题,在运用知识解决问题上就应有区别和联系。
例如:在直线L上的点到圆心的距离等于圆O半径,则直线L与圆O的位置关系是()
(A)相离(B)相切(C)相交(D)相切或相交
由于学生误解为圆心到直线L的距离等于圆O的半径(即点到直线的距离),导致得到错误答案(B),其实正确的答案是(D)。因为直线L和圆O相切或相交都符合题中已知条件。通过对“距离”知识的系统复习,对照所画图形观察思考,加强对比联系,学生便得到正确的答案。
2.注意定理的条件。
例如:已知弦AB、CD的弦心距分别为d1,d2,若AB>CD,则d1,和d2的关系是()。
(A)dl>d2(B)d1
3.强化二次根式的性质应用条件,并通过典型题练习掌握。在二次根式中,被开方数不能为负数,所以(■)=a的隐含条件是a≥0;又当a≥0时,■=|a|=a,当a<0时,■=|a|=-a。可通过化简(■)2+■练习去掌握,使学生对二次根式的性质透彻理解,记忆深刻,达到灵活运用的目的。当然,打好数学基础还要注意掌握法则、公式的运用,等式、方程、函数等意义及解题的基本思想和方法。
二、培养自学习惯和能力
解决数学问题需要学生具有综合运算能力和独立分析解题能力。为此,我组成兴趣小组通过设计专题进行学习研究等活动,利用动脑、动手、动口的机会发展学生们的专长,利用直观学具、教学园地和课外读物等,给他们提供自学条件,使他们形成自学习惯。具体来说,要求学生应做到“三多”。
1.多看。对难理解的数学概念、定理、公式反复看,要看懂、掌握并记住。例如,对几何中的黄金分割概念,通过反复多次学习,从实质上认识黄金分割是比例中项问题,再联系求比例中项的方法和黄金分割点的作法,就加深了学生对黄金分割这一概念的理解和记忆。
2.多想。通过多想找出数学知识间的内在联系和规律性。例如,对代数中的函数问题,要弄清各种函数的定义、表达式、性质及图像,多想想它们的联系和区别,加强对比记忆,抓住本质,掌握规律。
3.多练。即以课本为主,并结合课外,选做各类型题目。在多练中力求做到:(1)运算准确迅速。进行限时训练,培养运算能力和技巧。(2)多题一解,总结解题方法和步骤。解无理方程、分式方程和二次方程都可用换元法,运用在一定条件下可以用转化思想将复杂问题简单化。例如,在解无理方程2x2-6x-5=5■时,首先可变形为一元二次方程的一般形式,即2(x2-3x-1)-5■-3=0;再用y=■换元变形为2y2-5y-3=0,然后解这个以y为元的一元二次方程即可,最后再代入换元式求出x的值。需要注意的是解无理方程往往会引起增根,因此必须验根。(3)抓住本质,一题多解。例如,“某人乘船由A地顺流而下到B地,即时又逆流向上到C地(C在A、B之间),共需4小时。已知船在静水中的速度为7.5千米/小时,水流速度为2.5千米/小时。若A、C两地距离为10千米,求A、B两地的距离。”这是代数应用题中常见的行程问题,关于此题的解法有很多种,限于版面,这里就不一一列举了。通过从多方面、多角度的思考和分析,可激发学生学习的兴趣,培养学生思维的灵活性和创造性,提高他们分析问题和解决问题的能力。(4)适当做一些难度较大的综合题。描绘y=3x2-7x-1的图像,并按下列条件分别求x值的范围,(1)y>0;(2)y<0。对这样的题目,我要求学生积极思考,独立完成,以疑启思,这样不仅锻炼了他们的思维,也发展了他们的智能。
三、培养记忆能力
记忆是重要的思维活动形式之一,也是学生智力的重要组成部分,对学生记忆能力的培养,既是对思维能力的训练和培养,也是促进基础知识的掌握、形成技能的有效途径。如何增进学生的记忆效果和发展记忆能力呢?
1.重视结构的作用。数学知识结构有大、中、小之分。大结构是整个数学学科的体系,中结构指具体章节的结构,小结结构指具体知识点和分项细目的结构。这些不同层次的结构组成了数学学科的整体。美国著名教育家卢姆认为:(1)懂得了基本结构中的基本原理,有助于人们理解其他类似的事物。(2)把一件事物放进构造好的模式里就不易忘记。数学学科是一个复杂的系统,而“结构”则是系统的基本特征。从某种角度看,学生学习实际上主要是对知识结构的理解和掌握。教师应通过各种方式,让学生获得一定的知识结构,促进知识的系统化,以达到最终理解和掌握知识的目的。
2.数形结合,增进记忆效果。直观图像是记忆的有力助手,也是学生学习数学知识的重要工具。教师应充分应用图像,努力在学生大脑中建立一定的数学知识表象。实践证明,如果引导学生经常有意识记忆图形,回忆图形,非常有利于记忆抽象的数学知识。
例如,要让学生记住指数函数y=ax(a>0,a≠1)的性质,只要学生形成y=ax图像,这样回忆图形时,唤起相应的表象就能十分顺利地描述函数的性质。凡用到指数函数的性质时,只要将图形草草一画,性质便一目了然了。正如斯图尔特曾说的:“图形比词语所携带的信息多得多。”因此,教师应尽量发挥图形的作用,增强学生的记忆效果。
3.利用联想发展记忆能力。巴甫洛夫认为,记忆要依靠联想,而联想则是新旧知识建立联系的产物。实践证明,人们对知识的认识过程是“温故知新”和“知新温故”的对立统一过程。一方面,一切先学完的功课都应该成为所有后学功课的基础,这种基础是必须彻底打好的,旧知识积累越多,新知识联系得越广,就越容易产生联想,越容易理解新知识,记住新知识。另一方面,学好新知识,更加深了对旧知识的认识与理解,加强了对旧知识的记忆掌握与应用。