论文部分内容阅读
摘要：文章总结了环境库兹涅茨曲线适应性缺点，针对这些缺点，将洛特卡-沃尔泰拉方程引入污染治理模型中，通过对模型解的探讨，得到以下结论，首先，由于模型第一组解在原点具有不稳定性，因此当污染不加以治理时，污染程度将以指数形式上升。其次，模型的第二组解具有焦点稳定特征，污染及污染治理会经历四个时期。此外，当污染的自然增长率和治理投入的自然减少率外生给定时，可以通过提高治理效率和治理效益来降低污染水平。
关键词：环境库兹涅茨曲线；洛特卡-沃尔泰拉方程；污染治理
当前全球经济增长呈现放缓趋势，对经济增长的需求日益迫切。与此同时，随着城市化进程和产业结构升级的逐步推进，自然环境也遭到了极大的污染和破坏。环境污染和节能减排问题越来越受到关注，众多的学者也在不同的领域进行大量的研究。其中，很多文献都聚焦于经济增长和环境污染之间的关系上，最著名的当属环境库兹涅茨曲线。
20世纪90年代，Grossman和Kruegerz（1991）首次针对环境质量和人均收入提出了环境库兹涅茨曲线（Environmental Kuznets Curve，EKC）假说。他们发现环境污染水平和人均收入之间也呈现倒“U”型关系，随着人均收入的不断提高，环境污染水平会不断提高，但当污染水平达到拐点之后，随着人均收入的提高，污染水平会随之下降。目前，已有大量国内外学者针对环境库兹涅茨曲线的合理性进行了实证性检验。整体的检验结果表明，虽然某些特定的环境指标符合环境库兹涅茨曲线的倒“U”型模型，但是并非所有的环境指标都和收入水平呈相同的变动关系，即环境库滋涅茨曲线可能存在不同形态。佘群芝（2008）在针对环境库兹涅茨曲线的理论批评的综论中提到，不同污染物的污染水平与收入间关系呈现差异形态，有的呈“U”型，也有的呈“N”型。
学术界在对环境库兹涅茨曲线形态提出质疑的同时，还针对模型中环境指标和收入水平之间的耦合性特征展开了讨论。环境的不断恶化会阻碍经济发展，倘若一国在环境污染相当严重时人均收入仍然处于低水平状态，那么经济可能无法继续发展，环境也可能得不到改善。针对上述机制，Arrow（1995）等人认为，在原有环境库兹涅茨曲线模型中，将收入看作外生变量是缺乏合理性的，环境的恶化很可能影响未来生产效率，进而影响收入水平。
针对以上关于环境库滋涅茨曲线的理论及适应性缺点，本文试图借助洛特卡-沃尔泰拉方程，来描述环境发展的不同阶段，并引入治理模型，在微观层面上对环境库兹涅茨曲线进行补充和发展。
洛特卡-沃尔泰拉方程由两个一阶非线性微分方程组成，又称掠食者—猎物方程。此方程分别在1925年与1926年，由阿弗雷德·洛特卡与维多·沃尔泰拉独立发表。本文引入洛特卡-沃尔泰拉方程，来描述环境污染治理的过程，模型的一般设定如下：
本文假設环境及环境治理投入可以量化，污染物的排放量假设为x，y代表治理污染的投入；dx/dt与dy/dt污染物和治理投入的时间变化；t表示时间；α，β，γ与δ 表示相关系数，皆为正实数。
第一式所表达的是污染物排放量的增加速度。此模型假设污染物排放量在不受限制的情况下，会以指数形式自然增长，以上述方程式中的αx表现。此外假设污染物被降低的比例，和治理投入成常数比，以上述方程式中的βxy表现，β是可以看作是对治理效率的测度，β越大，治理效率越高。由上述的方程式可知：污染物排放量的改变，受到治理投入以及治理效率的影响。
第二式所表达的是治理投入的增加速度。在实际情况中，污染治理的力度取决于政策、减排协议和技术增长等外生因素。但这些污染治理投入最根本的决定因素还是污染本身，因为有了污染，才会有污染治理投入。因此，本文暂时将污染定为方程中的内生变量，且假定治理会带来一定的收益，使得治理的投入持续增加。此方程式中γy 表示治理投入的自然降低值，在没有污染的情况下，治理投入也以指数形式降低。
模型的平衡解会发生在治理投入和污染物排放量大小不再变化的时候。例如：两条微分方程皆等于零时：
模型中的α，γ永远比零大，所以第一个特征值的符号为正，第二个为负。可知当均衡点位于原点时，是一个鞍点（saddle point）均衡。第一组均衡点实际上是表示污染和治理投入都为零的状况，然而，鞍点均衡是一种具有双重特征的均衡：在x即污染物排放量先为零时，治理投入y也会为零，在这种情况下均衡点是稳定的；而在另一些方向上均衡点是不稳定的，如治理投入y先为零时，则污染物排放量会以指数增加，从而脱离这个非均衡点。所以在此模型中，位于原点的均衡点不具有稳定性。在现实状况中，会发现，如果对污染不进行治理，污染发展的速度是极快的。当然，人们对于污染也不会熟视无睹，对于大多数污染，人们都会选择进行治理，以避免污染雪崩式发展。
（二）第二组均衡解
第二个均衡解是当数值为（α/β，γ/δ）时，此时雅可比矩阵变成：
第二组均衡解为一个焦点均衡解，它的特征是具有涡旋轨道，这些涡旋轨道或循环性地流向焦点（稳点焦点）。焦点的稳定性相当重要，当处于稳定态的时候，非零的变量会趋向它，一些初始的向量会收敛，另一些会发散，系数α、β、γ与δ，能够决定变量在哪种情况下达成平衡状态。 洛特卡-沃尔泰拉模型的第二组解具有这样的特征，这是一组周期性的解，两个变量的值产生周期性振荡，而振幅决定于两者的初始密度，两个变量x和y的数量呈现出周期性耦合的特征。
如果以治理投入y为纵坐标、污染物排放量为横坐标，按时间顺序做出的相位图，就可以得到一个封闭环（图1）。相位图表示两个变量的密度将按封闭环的轨道逆时针方向循环，其中心点即为焦点平衡点（x=α/β，y=γ/δ），通过平衡点作互相垂直的线，将相位图分为4块，在垂直线右面治理投入增加，在左面减少，在水平线下面，污染物排放量增加，在上面减少。因此，洛特卡-沃尔泰拉污染治理模型表明，在参数不变的情况下，污染物排放量—治理投入动态中分4个时期，1.污染物排放量增加，治理投入也增加；2.污染物排放量减少，治理投入继续增加；3.污染物排放量和治理投入都减少；4.治理投入继续减少，而污染物排放量增加，如此循环不息。
为了验证污染治理与污染投入之间的关系，本文选取来自中国国家统计局、《中国环境统计年鉴》2004～2014年的统计数据。为了消除不同单位和量纲的影响，本文对所选变量都进行了标准化处理。将污染物排放水平和治理投入放在同一时间维度上进行考察，每种污染物指标与污染治理投入的关系如图2所示。
从图2的结果中可以看出，污染物排放量和污染治理投入并不是简单的线性关系，而是呈现出一种周期性耦合特征。由于每種污染物发展阶段不同，污染物和治理投入之间的关系并不是一致的，工业废水指标一直是上升的，而工业废气则是一直下降的。这从另一个侧面也可以说明，污染与经济发展的关系并不是简单地符合环境库滋涅茨曲线所描述的倒“U”型关系，污染的发展阶段和周期划分需要更加细化。而城镇生活污水和二氧化硫排放这两项指标与污染治理投入呈现出明显的周期性耦合特征。当污染物排放量增加，治理投入也增加；而随着治理投入的增加，污染物排放量呈现出减少的趋势。这符合模型第二组均衡解的特征，说明本文的模型具有良好的现实适应性。
本文将洛特卡-沃尔泰拉方程引入污染治理模型中，通过对模型适应性的探讨以及对现实数据的分析，认为污染治理模型可以在微观层次很好地描述污染治理过程的变化，是对现有污染发展阶段和治理模型的重要补充。
由于模型中的参数α为污染物排放量在不存在治理情况下的自然增长率，γ 为治理投入在不存在污染物排放情况下的自然减少率，而这些参数无法在短期内改变。因此，如果想要降低焦点均衡点的污染物排放量和治理投入，就必须提高β和δ的值，即提高治理效率和治理效益。当污染的自然增加率和治理投入的自然减少率外生给定时，增加污染治理的效率，可以降低稳定点的污染水平；污染或者治理带来的效益越好，均衡点处的治理污染投入的会越低。从现实情况来看，科技进步和有效的环境政策是提高治理效率的有效措施；而对治理行动进行补贴和鼓励等措施，可以提高治理效益，从而降低均衡点处的治理投入。
通过对污染治理模型解的探讨，得到以下结论：根据微分方程组在原点的不稳定性，当污染不加以治理时，其将以指数形式上升。当外生条件恒定时，污染及污染治理会经过四个时期，围绕焦点均衡点循环。当污染的自然增长率和治理投入的自然减少率外生给定时，可以通过提高治理效率或治理效益来降低污染水平。
[1]佘群芝.环境库兹涅茨曲线的理论批评综论[J].中南财经政法大学学报，2008（01）.
[2]赵细康，李建民，王金营，周春旗.环境库兹涅茨曲线及在中国的检验[J].南开经济研究，2005（03）.
[3]包群，彭水军，阳小晓.是否存在环境库兹涅茨倒U型曲线？——基于六类污染指标的经验研究[J].上海经济研究，2005（12）.
[4]Grossman，G. M.，Krueger，A.B. Environmental Impact of a North American Free Trade Agreement[Z].NBER Working Paper，1991.
[5]Arrow，K.，Bolin，B. et al. ESOnomic Growth，Carrying Capacity， and the Environment[J].Science，1995（268）.
[6]Lotka A. Elements of Physical Biology[M]. Waverlf Press，BM，1925.
（作者单位：徐博，华东师范大学经济学院；唐玉，东北财经大学社会与行为跨学科研究中心。徐博为本文通讯作者）
关键词：环境库兹涅茨曲线；洛特卡-沃尔泰拉方程；污染治理
一、引文和论文综述
当前全球经济增长呈现放缓趋势，对经济增长的需求日益迫切。与此同时，随着城市化进程和产业结构升级的逐步推进，自然环境也遭到了极大的污染和破坏。环境污染和节能减排问题越来越受到关注，众多的学者也在不同的领域进行大量的研究。其中，很多文献都聚焦于经济增长和环境污染之间的关系上，最著名的当属环境库兹涅茨曲线。
20世纪90年代，Grossman和Kruegerz（1991）首次针对环境质量和人均收入提出了环境库兹涅茨曲线（Environmental Kuznets Curve，EKC）假说。他们发现环境污染水平和人均收入之间也呈现倒“U”型关系，随着人均收入的不断提高，环境污染水平会不断提高，但当污染水平达到拐点之后，随着人均收入的提高，污染水平会随之下降。目前，已有大量国内外学者针对环境库兹涅茨曲线的合理性进行了实证性检验。整体的检验结果表明，虽然某些特定的环境指标符合环境库兹涅茨曲线的倒“U”型模型，但是并非所有的环境指标都和收入水平呈相同的变动关系，即环境库滋涅茨曲线可能存在不同形态。佘群芝（2008）在针对环境库兹涅茨曲线的理论批评的综论中提到，不同污染物的污染水平与收入间关系呈现差异形态，有的呈“U”型，也有的呈“N”型。
学术界在对环境库兹涅茨曲线形态提出质疑的同时，还针对模型中环境指标和收入水平之间的耦合性特征展开了讨论。环境的不断恶化会阻碍经济发展，倘若一国在环境污染相当严重时人均收入仍然处于低水平状态，那么经济可能无法继续发展，环境也可能得不到改善。针对上述机制，Arrow（1995）等人认为，在原有环境库兹涅茨曲线模型中，将收入看作外生变量是缺乏合理性的，环境的恶化很可能影响未来生产效率，进而影响收入水平。
针对以上关于环境库滋涅茨曲线的理论及适应性缺点，本文试图借助洛特卡-沃尔泰拉方程，来描述环境发展的不同阶段，并引入治理模型，在微观层面上对环境库兹涅茨曲线进行补充和发展。
二、洛特卡-沃尔泰拉污染治理模型
洛特卡-沃尔泰拉方程由两个一阶非线性微分方程组成，又称掠食者—猎物方程。此方程分别在1925年与1926年，由阿弗雷德·洛特卡与维多·沃尔泰拉独立发表。本文引入洛特卡-沃尔泰拉方程，来描述环境污染治理的过程，模型的一般设定如下：
本文假設环境及环境治理投入可以量化，污染物的排放量假设为x，y代表治理污染的投入；dx/dt与dy/dt污染物和治理投入的时间变化；t表示时间；α，β，γ与δ 表示相关系数，皆为正实数。
第一式所表达的是污染物排放量的增加速度。此模型假设污染物排放量在不受限制的情况下，会以指数形式自然增长，以上述方程式中的αx表现。此外假设污染物被降低的比例，和治理投入成常数比，以上述方程式中的βxy表现，β是可以看作是对治理效率的测度，β越大，治理效率越高。由上述的方程式可知：污染物排放量的改变，受到治理投入以及治理效率的影响。
第二式所表达的是治理投入的增加速度。在实际情况中，污染治理的力度取决于政策、减排协议和技术增长等外生因素。但这些污染治理投入最根本的决定因素还是污染本身，因为有了污染，才会有污染治理投入。因此，本文暂时将污染定为方程中的内生变量，且假定治理会带来一定的收益，使得治理的投入持续增加。此方程式中γy 表示治理投入的自然降低值，在没有污染的情况下，治理投入也以指数形式降低。
三、模型的解
模型的平衡解会发生在治理投入和污染物排放量大小不再变化的时候。例如：两条微分方程皆等于零时：
模型中的α，γ永远比零大，所以第一个特征值的符号为正，第二个为负。可知当均衡点位于原点时，是一个鞍点（saddle point）均衡。第一组均衡点实际上是表示污染和治理投入都为零的状况，然而，鞍点均衡是一种具有双重特征的均衡：在x即污染物排放量先为零时，治理投入y也会为零，在这种情况下均衡点是稳定的；而在另一些方向上均衡点是不稳定的，如治理投入y先为零时，则污染物排放量会以指数增加，从而脱离这个非均衡点。所以在此模型中，位于原点的均衡点不具有稳定性。在现实状况中，会发现，如果对污染不进行治理，污染发展的速度是极快的。当然，人们对于污染也不会熟视无睹，对于大多数污染，人们都会选择进行治理，以避免污染雪崩式发展。
（二）第二组均衡解
第二个均衡解是当数值为（α/β，γ/δ）时，此时雅可比矩阵变成：
第二组均衡解为一个焦点均衡解，它的特征是具有涡旋轨道，这些涡旋轨道或循环性地流向焦点（稳点焦点）。焦点的稳定性相当重要，当处于稳定态的时候，非零的变量会趋向它，一些初始的向量会收敛，另一些会发散，系数α、β、γ与δ，能够决定变量在哪种情况下达成平衡状态。 洛特卡-沃尔泰拉模型的第二组解具有这样的特征，这是一组周期性的解，两个变量的值产生周期性振荡，而振幅决定于两者的初始密度，两个变量x和y的数量呈现出周期性耦合的特征。
如果以治理投入y为纵坐标、污染物排放量为横坐标，按时间顺序做出的相位图，就可以得到一个封闭环（图1）。相位图表示两个变量的密度将按封闭环的轨道逆时针方向循环，其中心点即为焦点平衡点（x=α/β，y=γ/δ），通过平衡点作互相垂直的线，将相位图分为4块，在垂直线右面治理投入增加，在左面减少，在水平线下面，污染物排放量增加，在上面减少。因此，洛特卡-沃尔泰拉污染治理模型表明，在参数不变的情况下，污染物排放量—治理投入动态中分4个时期，1.污染物排放量增加，治理投入也增加；2.污染物排放量减少，治理投入继续增加；3.污染物排放量和治理投入都减少；4.治理投入继续减少，而污染物排放量增加，如此循环不息。
为了验证污染治理与污染投入之间的关系，本文选取来自中国国家统计局、《中国环境统计年鉴》2004～2014年的统计数据。为了消除不同单位和量纲的影响，本文对所选变量都进行了标准化处理。将污染物排放水平和治理投入放在同一时间维度上进行考察，每种污染物指标与污染治理投入的关系如图2所示。
从图2的结果中可以看出，污染物排放量和污染治理投入并不是简单的线性关系，而是呈现出一种周期性耦合特征。由于每種污染物发展阶段不同，污染物和治理投入之间的关系并不是一致的，工业废水指标一直是上升的，而工业废气则是一直下降的。这从另一个侧面也可以说明，污染与经济发展的关系并不是简单地符合环境库滋涅茨曲线所描述的倒“U”型关系，污染的发展阶段和周期划分需要更加细化。而城镇生活污水和二氧化硫排放这两项指标与污染治理投入呈现出明显的周期性耦合特征。当污染物排放量增加，治理投入也增加；而随着治理投入的增加，污染物排放量呈现出减少的趋势。这符合模型第二组均衡解的特征，说明本文的模型具有良好的现实适应性。
四、结语
本文将洛特卡-沃尔泰拉方程引入污染治理模型中，通过对模型适应性的探讨以及对现实数据的分析，认为污染治理模型可以在微观层次很好地描述污染治理过程的变化，是对现有污染发展阶段和治理模型的重要补充。
由于模型中的参数α为污染物排放量在不存在治理情况下的自然增长率，γ 为治理投入在不存在污染物排放情况下的自然减少率，而这些参数无法在短期内改变。因此，如果想要降低焦点均衡点的污染物排放量和治理投入，就必须提高β和δ的值，即提高治理效率和治理效益。当污染的自然增加率和治理投入的自然减少率外生给定时，增加污染治理的效率，可以降低稳定点的污染水平；污染或者治理带来的效益越好，均衡点处的治理污染投入的会越低。从现实情况来看，科技进步和有效的环境政策是提高治理效率的有效措施；而对治理行动进行补贴和鼓励等措施，可以提高治理效益，从而降低均衡点处的治理投入。
通过对污染治理模型解的探讨，得到以下结论：根据微分方程组在原点的不稳定性，当污染不加以治理时，其将以指数形式上升。当外生条件恒定时，污染及污染治理会经过四个时期，围绕焦点均衡点循环。当污染的自然增长率和治理投入的自然减少率外生给定时，可以通过提高治理效率或治理效益来降低污染水平。
参考文献：
[1]佘群芝.环境库兹涅茨曲线的理论批评综论[J].中南财经政法大学学报，2008（01）.
[2]赵细康，李建民，王金营，周春旗.环境库兹涅茨曲线及在中国的检验[J].南开经济研究，2005（03）.
[3]包群，彭水军，阳小晓.是否存在环境库兹涅茨倒U型曲线？——基于六类污染指标的经验研究[J].上海经济研究，2005（12）.
[4]Grossman，G. M.，Krueger，A.B. Environmental Impact of a North American Free Trade Agreement[Z].NBER Working Paper，1991.
[5]Arrow，K.，Bolin，B. et al. ESOnomic Growth，Carrying Capacity， and the Environment[J].Science，1995（268）.
[6]Lotka A. Elements of Physical Biology[M]. Waverlf Press，BM，1925.
（作者单位：徐博，华东师范大学经济学院；唐玉，东北财经大学社会与行为跨学科研究中心。徐博为本文通讯作者）