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【摘 要】在教育不断发展的背景下,以往的教学方式已难以满足现阶段中学教学的需求。中学教师需要不断提高自身的专业技能,在解题教学中引入反证法,开拓学生的思维,使学生养成良好的解题习惯,形成正确的解题思路,本文主要围绕反证法在初中数学解题中的应用展开讨论。
【关键词】反证法;初中数学;解题应用
数学是初中学科的重要组成部分,对学生思维能力的培养起着关键作用。在此背景下,中学教师需要转变传统的教学理念,在解题教学中引入反证法,以此创新学生的思维模式,使学生形成良好的解题思路。
1 反证法的定义及理论依据
1.1 反证法的定义
反证法即在将原命题否定后,找出题目中问题的立足点,再反过来证实原命题。具体求证一个命题时,可以先假设两个相对的命题,如果已经有条件证明两个命题是有矛盾的,或者得出的结果矛盾,那么就可以证实假设不成立,也就是说原命题成立[1]。这种证明命题的方式就叫做反证法。
1.2 反证法的理论依据
反证法的理论依据主要由排中律和矛盾律这两大内容组成,两者在定义上有所差异。矛盾律主要指的是:证明命题时,如果有两个完全对立的结论,那么其中有一个结论是不成立的。排中律指的是:针对一个命题,其要么是真命题,要么是假命题,不会有第三种可能出现。排中律要求解题者在思维上必须是清晰和明确的,解题者要能最大限度地将排中律和矛盾律贯彻到数学应用中。此外,排中律还有一个独特的特征,解题者在命题的证明过程中,不仅要有独立的思维,还要确定自己的立场,以此更好地证实命题。
矛盾律和排中律既有联系又存在一定差异。联系:解题者在证明命题时,一定不能出现逻辑上的矛盾,如果与排中律背道而驰的话,那么矛盾律也无法应用在解题中。差异:矛盾律表示,若两个结论处于对立状态,那么其中一个不成立;排中律表示,若两个结论处于对立状态,那么其中有一个结论是成立的。
2 反证法的解题步骤
将反证法引入命题解题,主要由反设、归谬以及结论三部分组成,它们在解题过程中是一个整体,且互相联系、缺一不可。首先,反设。采用反证法进行解题时,反设是最基础的内容,也是最关键的一个环节。反设的正确性直接影响解题过程和结果。在此过程中,解题者一定要充分了解题目给出的已知条件,借用所有条件对问题进行假设,最后再设出与求证内容相反的假设,以此进行下一步的求证。其次,归谬。归谬是运用反证法解题最关键的内容及重点所在。归谬主要指引入反设中的问题,使反设内容有一个明确的推理方向。最后,结论。结论主要是将反证法引入,通过这种方式得到最终结果。将反谬推理出的结果与反设假设的内容对比,若其产生矛盾,那么假设内容就会被推翻,这样来证明原来命题的结论,此时在得出结论后,整个命题已完成求证[2]。
在命题证实的过程中,矛盾是推动整个试题发展的重要因素之一。通常情况下,矛盾可以分为自相矛盾、公理矛盾等。在解答试题的过程中,利用反证法能够跳过多种障碍,将正确答案证实出来,这是反证法的优势所在。
3 利用反证法解题时需要注意的问题
3.1 正确否定结论
正确否定结论主要以反证法为根本出发点。如“一个三角形的3个内角中,最多有1个钝角。”“最多有1个”表示“可能1个都没有”或者“只有1个”。在此背景下,反设可以设成“2个内角为钝角”“3个内角都为钝角”。
基于以上提出的例子,解题者在证题时需要抓住题型结构,巧妙地将反证法引入,通过否定假设内容来证实原有命题成立,有了对立命题也就能更好地得出结论,高效解题。反证法可以锻炼学生的思维能力,丰富其数学知识,提高教师的教学质量。
3.2 明确推理特点
否定结论和推出结论是反证法的重要组成部分。由于无法预测到会发生何种矛盾、何时会出现这一矛盾,矛盾的发生具有不确定因素。一般情况下,解题者可以对矛盾进行猜想,将矛盾与命题联系进行思考(如在解答几何问题时,解题者会联想到相关定理或结论),这也是反证法的重要组成部分之一。通常很难将矛盾定义或猜测,这是解题时可有可无的部分。解题者只需要全面掌握假设内容,将解题步骤更好地推理出来,自然而然地就能找出其中的矛盾所在,使结论得到更有力的证实。
3.3 了解矛盾种类
在使用反证法论证命题时,不一定只能解出假设内容的结论。矛盾存在的结果具有多样性特点,其可能与题设产生对立关系,抑或是与命题产生冲突。因此,推理出两种对立的结果也是有可能的。
4 反证法在初中数学解题中的应用
4.1 反证法在否定性命题中的应用
当求证试题中出现“没有……”“不是……”“不能……”等类似词语时,用直接证法很难快速、正确地将试题解答出来,引入反证法则能够高效地将命题证实出来[3]。
4.2 反证法在限定式命题中的应用
当求证试题中出现“至多……”“至少……”“不多……”等类似词语时,仅仅凭借直接证法很难将试题解答出来,在此背景下,引入反证法解题,不但可以高效地解出试题,而且还能增强学生的逻辑性思维,提高其辩证能力。
4.3 反证法在无穷性命题中的应用
将反证法运用在无穷性命题的解题中,能快速高效地解出正确答案。
例4:求证是无理数。
分析:基于题目给出的已知条件过少,此时,利用直接证法很难将试题解答出來。又因为无理数属于无限不循环的数值,无限和不循环在数学应用中很难用数字直观表示出来。对于这一命题,不妨假设为有理数,这样就增加了一项解题条件,那就是用分数将表示出来。
证明:假设是有理数,那么就有 a、b 属于自然数,a 和 b 互质,b≠0 ,使=a2=2b2 ,a 为偶数,表示为 a=2c ,所以 a2=4c2 ,2c2=b2 ,那么可以判断 b 为偶数。那么与 a、b 互质矛盾,所以为无理数。
5 反证法在初中数学中的作用
5.1 反证法在初中数学中的魅力
逆向思维在反证法中起着关键作用,这一思维模式下解题者可以先从命题中引入,找出其中矛盾所在,随后再确定它的真实性。反证法的思维较为特殊,要求灵活思考,初学者极易对逆向思维不习惯,进而无法掌握其中要点,很少运用这一解题方法[4]。事实上,反证法在解题中占有重要位置,解题者可在此过程中发掘出更多的解题途径。在面对不易直接求证的数学试题时,解题者就需要考虑引入反证法。这一方法不仅可在解题中使用,还可以应用在现实生活中,生活中有时也需要将问题倒过来看,以更好地解决问题。初中数学解题中,有很多问题可以利用反证法来证实,这一解题方法既方便又灵活,解出的答案准确性较高。
5.2 结合实际生活,灵活运用数学思维
思维能力的培养对学生数学学习起着关键作用,学生可以对自己做过的题进行思考,找到解题思路,增强数学学习的热情。反证法在数学解题中有着重要作用,能够锻炼学生的思维能力,使他们从实际问题出发,更好地解决问题。在此过程中,教师需要转变以往的教学模式,引导学生进行探究,充分调动其学习积极性。教师需要在教学中渗入数学思维,帮助学生喜欢上数学这门学科。
【参考文献】
[1]陈正强.初中数学解题中反证法的应用策略探析[J].考试周刊,2020(82).
[2]黄丽红.反证法在初中数学解题中的应用[J].数学大世界(上旬),2020(5).
[3]马多贵.反证法在初中数学解题中的应用探讨[J].学周刊,2020(12).
[4]张本陆.反证法在初中数学解题中的应用[J].文理导航(中旬),2018(11).
【关键词】反证法;初中数学;解题应用
数学是初中学科的重要组成部分,对学生思维能力的培养起着关键作用。在此背景下,中学教师需要转变传统的教学理念,在解题教学中引入反证法,以此创新学生的思维模式,使学生形成良好的解题思路。
1 反证法的定义及理论依据
1.1 反证法的定义
反证法即在将原命题否定后,找出题目中问题的立足点,再反过来证实原命题。具体求证一个命题时,可以先假设两个相对的命题,如果已经有条件证明两个命题是有矛盾的,或者得出的结果矛盾,那么就可以证实假设不成立,也就是说原命题成立[1]。这种证明命题的方式就叫做反证法。
1.2 反证法的理论依据
反证法的理论依据主要由排中律和矛盾律这两大内容组成,两者在定义上有所差异。矛盾律主要指的是:证明命题时,如果有两个完全对立的结论,那么其中有一个结论是不成立的。排中律指的是:针对一个命题,其要么是真命题,要么是假命题,不会有第三种可能出现。排中律要求解题者在思维上必须是清晰和明确的,解题者要能最大限度地将排中律和矛盾律贯彻到数学应用中。此外,排中律还有一个独特的特征,解题者在命题的证明过程中,不仅要有独立的思维,还要确定自己的立场,以此更好地证实命题。
矛盾律和排中律既有联系又存在一定差异。联系:解题者在证明命题时,一定不能出现逻辑上的矛盾,如果与排中律背道而驰的话,那么矛盾律也无法应用在解题中。差异:矛盾律表示,若两个结论处于对立状态,那么其中一个不成立;排中律表示,若两个结论处于对立状态,那么其中有一个结论是成立的。
2 反证法的解题步骤
将反证法引入命题解题,主要由反设、归谬以及结论三部分组成,它们在解题过程中是一个整体,且互相联系、缺一不可。首先,反设。采用反证法进行解题时,反设是最基础的内容,也是最关键的一个环节。反设的正确性直接影响解题过程和结果。在此过程中,解题者一定要充分了解题目给出的已知条件,借用所有条件对问题进行假设,最后再设出与求证内容相反的假设,以此进行下一步的求证。其次,归谬。归谬是运用反证法解题最关键的内容及重点所在。归谬主要指引入反设中的问题,使反设内容有一个明确的推理方向。最后,结论。结论主要是将反证法引入,通过这种方式得到最终结果。将反谬推理出的结果与反设假设的内容对比,若其产生矛盾,那么假设内容就会被推翻,这样来证明原来命题的结论,此时在得出结论后,整个命题已完成求证[2]。
在命题证实的过程中,矛盾是推动整个试题发展的重要因素之一。通常情况下,矛盾可以分为自相矛盾、公理矛盾等。在解答试题的过程中,利用反证法能够跳过多种障碍,将正确答案证实出来,这是反证法的优势所在。
3 利用反证法解题时需要注意的问题
3.1 正确否定结论
正确否定结论主要以反证法为根本出发点。如“一个三角形的3个内角中,最多有1个钝角。”“最多有1个”表示“可能1个都没有”或者“只有1个”。在此背景下,反设可以设成“2个内角为钝角”“3个内角都为钝角”。
基于以上提出的例子,解题者在证题时需要抓住题型结构,巧妙地将反证法引入,通过否定假设内容来证实原有命题成立,有了对立命题也就能更好地得出结论,高效解题。反证法可以锻炼学生的思维能力,丰富其数学知识,提高教师的教学质量。
3.2 明确推理特点
否定结论和推出结论是反证法的重要组成部分。由于无法预测到会发生何种矛盾、何时会出现这一矛盾,矛盾的发生具有不确定因素。一般情况下,解题者可以对矛盾进行猜想,将矛盾与命题联系进行思考(如在解答几何问题时,解题者会联想到相关定理或结论),这也是反证法的重要组成部分之一。通常很难将矛盾定义或猜测,这是解题时可有可无的部分。解题者只需要全面掌握假设内容,将解题步骤更好地推理出来,自然而然地就能找出其中的矛盾所在,使结论得到更有力的证实。
3.3 了解矛盾种类
在使用反证法论证命题时,不一定只能解出假设内容的结论。矛盾存在的结果具有多样性特点,其可能与题设产生对立关系,抑或是与命题产生冲突。因此,推理出两种对立的结果也是有可能的。
4 反证法在初中数学解题中的应用
4.1 反证法在否定性命题中的应用
当求证试题中出现“没有……”“不是……”“不能……”等类似词语时,用直接证法很难快速、正确地将试题解答出来,引入反证法则能够高效地将命题证实出来[3]。
4.2 反证法在限定式命题中的应用
当求证试题中出现“至多……”“至少……”“不多……”等类似词语时,仅仅凭借直接证法很难将试题解答出来,在此背景下,引入反证法解题,不但可以高效地解出试题,而且还能增强学生的逻辑性思维,提高其辩证能力。
4.3 反证法在无穷性命题中的应用
将反证法运用在无穷性命题的解题中,能快速高效地解出正确答案。
例4:求证是无理数。
分析:基于题目给出的已知条件过少,此时,利用直接证法很难将试题解答出來。又因为无理数属于无限不循环的数值,无限和不循环在数学应用中很难用数字直观表示出来。对于这一命题,不妨假设为有理数,这样就增加了一项解题条件,那就是用分数将表示出来。
证明:假设是有理数,那么就有 a、b 属于自然数,a 和 b 互质,b≠0 ,使=a2=2b2 ,a 为偶数,表示为 a=2c ,所以 a2=4c2 ,2c2=b2 ,那么可以判断 b 为偶数。那么与 a、b 互质矛盾,所以为无理数。
5 反证法在初中数学中的作用
5.1 反证法在初中数学中的魅力
逆向思维在反证法中起着关键作用,这一思维模式下解题者可以先从命题中引入,找出其中矛盾所在,随后再确定它的真实性。反证法的思维较为特殊,要求灵活思考,初学者极易对逆向思维不习惯,进而无法掌握其中要点,很少运用这一解题方法[4]。事实上,反证法在解题中占有重要位置,解题者可在此过程中发掘出更多的解题途径。在面对不易直接求证的数学试题时,解题者就需要考虑引入反证法。这一方法不仅可在解题中使用,还可以应用在现实生活中,生活中有时也需要将问题倒过来看,以更好地解决问题。初中数学解题中,有很多问题可以利用反证法来证实,这一解题方法既方便又灵活,解出的答案准确性较高。
5.2 结合实际生活,灵活运用数学思维
思维能力的培养对学生数学学习起着关键作用,学生可以对自己做过的题进行思考,找到解题思路,增强数学学习的热情。反证法在数学解题中有着重要作用,能够锻炼学生的思维能力,使他们从实际问题出发,更好地解决问题。在此过程中,教师需要转变以往的教学模式,引导学生进行探究,充分调动其学习积极性。教师需要在教学中渗入数学思维,帮助学生喜欢上数学这门学科。
【参考文献】
[1]陈正强.初中数学解题中反证法的应用策略探析[J].考试周刊,2020(82).
[2]黄丽红.反证法在初中数学解题中的应用[J].数学大世界(上旬),2020(5).
[3]马多贵.反证法在初中数学解题中的应用探讨[J].学周刊,2020(12).
[4]张本陆.反证法在初中数学解题中的应用[J].文理导航(中旬),2018(11).